Глава 5.1

Теорема Ролля и правило знаков Декарта

[107/99%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

1 · Нули функций, перемены знака последовательностей[21/100%]

Задача 5.1

Последовательности

a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} \text{ и } a_{n}, a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots , a_{0}

обладают одним и тем же числом перемен знака.

Примечание.

По поводу всей главы см. Laguerre, Oeuvres, t. 1, Paris, Gauthier-Villars, 1898.

Задача 5.2

При вычеркивании членов последовательности число перемен знака не увеличивается.

Задача 5.3

При вставке между членами последовательности любого количества членов, равных нулю, число перемен знака не изменяется. Точно так же это число не изменится, если рядом с некоторым членом последовательности вставить новый, одного с ним знака.

Задача 5.4

Последовательность $a_{0}, a_{0}+a_{1}, a_{1}+a_{2}, \ldots , a_{n-1}+a_{n}, a_{n}$ обладает не большим числом перемен знака, чем последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ .

Задача 5.5

Пусть бесконечная последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ имеет лишь конечное число $W$ перемен знака. Показать, что образованная с ее помощью последовательность

a_{0}, a_{0}+a_{1}, a_{0}+2 a_{1}+a_{2}, \ldots , a_{0}+\binom {n}{1} a_{1}+\binom {n}{2} a_{2}+\ldots +a_{n}, \ldots

также обладает лишь конечным, притом не большим, чем $W$ , числом перемен знака.

Примечание.

Задача 5.6

В интервале, в котором всюду $\varphi (x)>0$ , функции $f(x)$ и $f(x) \varphi (x)$ имеют одни и те же нули.

Задача 5.7

Если $p_{0}>0, p_{1}>0, p_{2}>0, \ldots$ , то последовательности

a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots \text{ и } a_{0} p_{0}, a_{1} p_{1}, a_{2} p_{2}, \ldots

имеют одни и те же места перемены знака.

Задача 5.8

Пусть значения $f(x)$ в точках $a$ и $b$ отличны от нуля. Тогда интервал $a<x<b$ будет содержать четное или нечетное число нулей этой функции, смотря по тому, будут ли $f(a)$ и $f(b)$ иметь одинаковые или же противоположные знаки.

Задача 5.9

Пусть $a_{j}$ и $a_{k}$ отличны от нуля. Ограниченная ими часть последовательности $a_{j}, a_{j+1}, \ldots , a_{k-1}, a_{k}$ будет иметь четное или нечетное число перемен знака, смотря по тому, будут ли $a_{j}$ и $a_{k}$ иметь одинаковые или же разные знаки.

Задача 5.10

Если $a$ и $b$ — два соседних нуля функции $f(x)$ [т. е. $f(a)=f(b)=0$ , $f(x) \neq 0$ при $a<x<b$ ], то в интервале $a<x<b$ производная $f^{\prime }(x)$ имеет нечетное число нулей (следовательно, по меньшей мере один).

Задача 5.11

Если $j+1$ и $k+1$ суть соседние места перемены знака последовательности $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ , то разностная последовательность

a_{j+1}-a_{j}, a_{j+2}-a_{j+1}, \ldots , a_{k}-a_{k-1}, a_{k+1}-a_{k}

имеет нечетное число перемен знака (следовательно, по меньшей мере одну).

Задача 5.12

Если в интервале $a, b$ функция $f(x)$ имеет $N$ нулей, то $f^{\prime }(x)$ имеет в этом же интервале самое меньшее $N-1$ нулей. Теорема справедлива независимо от того, будет ли интервал $a, b$ открытым, замкнутым или полуоткрытым; он может даже приводиться к одной точке.

Задача 5.13

Если последовательность

a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}

имеет $W$ перемен знака, то составленная из нее разностная последовательность

a_{1}-a_{0}, a_{2}-a_{1}, \ldots , a_{n}-a_{n-1}

будет иметь самое меньшее $W-1$ перемену знака.

Задача 5.14

Если $f(x)$ в конечном интервале $a<x<b$ имеет $N$ нулей и удовлетворяет одному из условий

\operatorname {sign}\left(f(a)\right)=\operatorname {sign}\left(f^{\prime }(a)\right) \neq 0, \quad \operatorname {sign}\left(f(b)\right)=-\operatorname {sign}\left(f^{\prime }(b)\right) \neq 0,

то $f^{\prime }(x)$ имеет в том же интервале $(a, b)$ не менее $N$ нулей. Если выполнены оба условия, то $f^{\prime }(x)$ в $(a, b)$ будет иметь их не менее чем $N+1$ .

Задача 5.15

Если конечная последовательность

a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}

имеет $W$ перемен знака, то образованная из нее последовательность

a_{0}, a_{1}-a_{0}, a_{2}-a_{1}, \ldots , a_{n}-a_{n-1},-a_{n}

будет иметь их не менее $W+1$ . (За исключением того тривиального случая, когда все члены $a_{\nu }$ последовательности равны нулю.)

Задача 5.16

Если $\lim_{x \rightarrow +\infty } f(x)=0$ , то $f^{\prime }(x)$ между $a$ и $+\infty$ имеет не меньшее количество нулей, чем $f(x)$ . (То же, конечно, будет справедливо, если вместо $+\infty$ взять $-\infty$ .)

Задача 5.17

Если $\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n}=0$ , то бесконечная последовательность

a_{0}, a_{1}-a_{0}, a_{2}-a_{1}, \ldots , a_{n}-a_{n-1}, \ldots

обладает бо́льшим числом перемен знака, чем первоначальная последовательность

a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots

Задача 5.18

Пусть $f(x)$ имеет в интервале $0<x<\infty$ $N$ нулей. Тогда функция

\alpha f(x)+f^{\prime }(x),

где $\alpha$ вещественно, будет иметь в этом интервале по меньшей мере $N-1$ нулей; более того, если выполнено условие $\lim_{x \rightarrow +\infty } e^{\alpha x} f(x)=0$ , то указанная функция имеет минимум $N$ нулей.

Задача 5.19

Пусть бесконечная последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ имеет $W$ перемен знака. Тогда последовательность

\alpha a_{0}, \quad \alpha a_{1}-a_{0}, \quad \alpha a_{2}-a_{1}, \quad \ldots , \quad \alpha a_{n}-a_{n-1}, \quad \ldots ,

где $\alpha >0$ , имеет по меньшей мере $W$ перемен знака. Если, кроме того, выполнено условие $\lim_{n \rightarrow \infty } a_{n} \alpha^{n}=0$ , то указанная последовательность имеет даже минимум $W+1$ перемену знака.

Задача 5.20

Если функция $f(x)$ имеет в интервале $0<x<\infty$ $N$ нулей, то функция $\int_{0}^{x} f(x) d x$ имеет в том же интервале не более $N$ нулей.

Задача 5.21

Если последовательность $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ имеет $W$ перемен знака, то последовательность

a_{0}, a_{0}+a_{1}, a_{0}+a_{1}+a_{2}, \ldots , a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}, \ldots

имеет не более $W$ перемен знака.

2 · Перемены знака функции[6/100%]

Задача 5.22

Пусть функция $f(x)$ отлична от нуля и имеет постоянный знак как в некоторой окрестности точки $a$ , так и в некоторой окрестности точки $b$ . Показать, что в интервале $a<x<b$ функция имеет четное или нечетное количество изменений знака, смотря по тому, будут ли $f(a)$ и $f(b)$ иметь одинаковые или же противоположные знаки.

Задача 5.23

Если функция $f(x)$ имеет в интервале $0<x<\infty$ $Z$ изменений знака, то функция $\int_{0}^{x} f(x) d x$ имеет в том же интервале не более $Z$ изменений знака.

Задача 5.24

Пусть $Z$ — число изменений знака и $N$ — число нулей функции $f(x)$ в одном и том же открытом интервале. Показать, что тогда $N-Z$ будет неотрицательным четным числом.

Задача 5.25

Если $f(a)=f(b)=0$ , то в интервале $a<x<b$ производная $f^{\prime }(x)$ имеет нечетное число изменений знака.

Задача 5.26

(1)(2)

Пусть вещественные числа $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ не равны нулю и $a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}$ . В некоторых случаях можно утверждать, что дробно-рациональная функция

f(x)=\frac{A_{1}}{x-a_{1}}+\frac{A_{2}}{x-a_{2}}+\ldots +\frac{A_{n}}{x-a_{n}}

имеет лишь вещественные нули. В частности, это имеет место в следующих двух случаях:

(1)

$A_{1}>0, A_{2}>0, \ldots , A_{n-1}>0$ ;

(2)

$A_{1}>0, A_{2}>0, \ldots , A_{k-1}>0, A_{k+1}>0, \ldots , A_{n}>0$ ,

A_{1}+A_{2}+\ldots +A_{n}<0, \quad 1<k<n .

Задача 5.27

Тригонометрический полином

f(x)=a_{0}+a_{1} \cos x+a_{2} \cos 2 x+\ldots +a_{n} \cos n x

с вещественными коэффициентами $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ наверное имеет лишь вещественные нули, если выполняется неравенство

\left|a_{0}\right|+\left|a_{1}\right|+\left|a_{2}\right|+\ldots +\left|a_{n-1}\right|<a_{n} .

3 · Первое доказательство правила знаков Декарта[14/100%]

Задача 5.28

Если $\alpha$ положительно, то полиномы $P(x)$ и $P(\alpha x)$ имеют одинаковое число перемен знака.

Задача 5.29

Обозначим числа перемен знака полиномов

\begin{gathered} P(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}, \\ P(-x)=a_{0}-a_{1} x+a_{2} x^{2}-\ldots +(-1)^{n} a_{n} x^{n} \end{gathered}

через $W^{+}$ , соотв. $W^{-}$ . Показать, что

W^{+}+W^{-} \leqslant n .

Задача 5.30

Пусть $\alpha >0$ . При переходе от полинома

a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}

к полиному

\begin{aligned} (\alpha -x)\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}\right)= \\ =\alpha a_{0}+\left(\alpha a_{1}-a_{0}\right) x+\left(\alpha a_{2}-a_{1}\right) x^{2}+\ldots -a_{n} x^{n+1} \end{aligned}

число перемен знака возрастает и притом на нечетное число.

Примечание.

Для случая $\alpha =1$ см. 15.

Задача 5.31

Пусть $\alpha >0$ . При переходе от степенного ряда

a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots

к степенному ряду

\begin{aligned} (\alpha -x)\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots \right)= \\ =\alpha a_{0}+\left(\alpha a_{1}-a_{0}\right) x+\left(\alpha a_{2}-a_{1}\right) x^{2}+\ldots \end{aligned}

число перемен знака не уменьшается. Более того, оно наверное возрастает, если первоначальный ряд $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots$ сходится при $x=\alpha$ .

Примечание.

G. Pólya, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 23, стр. 22, 1914.

Задача 5.32

Пусть $\alpha >0$ . При переходе от степенного ряда

a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots

к степенному ряду

\begin{aligned} (\alpha +x)\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots \right)= \\ =\alpha a_{0}+\left(\alpha a_{1}+a_{0}\right) x+\left(\alpha a_{2}+a_{1}\right) x^{2}+\ldots \end{aligned}

число перемен знака не может возрасти.

Задача 5.33

При переходе от степенного ряда

a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots

к степенному ряду

\frac{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots }{1-x}=a_{0}+\left(a_{0}+a_{1}\right) x+\left(a_{0}+a_{1}+a_{2}\right) x^{2}+\ldots

число перемен знака не может возрасти.

Задача 5.34

Пусть $\alpha >0$ . При переходе от степенного ряда

a_{0}+\frac{a_{1}}{1!} x+\frac{a_{2}}{2!} x^{2}+\frac{a_{3}}{3!} x^{3}+\ldots

к степенному ряду

e^{\alpha x}\left(a_{0}+\frac{a_{1}}{1!} x+\frac{a_{2}}{2!} x^{2}+\ldots \right)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{a_{0} \alpha ^{n}+\binom {n}{1} a_{1} \alpha ^{n-1}+\ldots +a_{n}}{n!} x^{n}

число перемен знака не может возрасти.

Примечание.

Laguerre, 1. c. 1, стр. 22. В доказательстве имеются пробелы.

Задача 5.35

Пусть $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n}$ — положительные числа. Положим

\begin{aligned} a_{0}+\frac{a_{1} x}{p_{1}-x}+\frac{a_{2} x^{2}}{\left(p_{1}-x\right)\left(p_{2}-x\right)}+\ldots +\frac{a_{n} x^{n}}{\left(p_{1}-x\right)\left(p_{2}-x\right) \ldots \left(p_{n}-x\right)}= \\ =A_{0}+A_{1} x+A_{2} x^{2}+\ldots \end{aligned}

(для достаточно малых $x$ ряд сходится). Показать, что число перемен знака в конечной последовательности $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ будет не меньше числа перемен знака в бесконечной последовательности $A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots$

Примечание.

Полная индукция, 31.

Задача 5.36

Пусть $N$ — число положительных нулей полинома $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}$ и $W$ — число перемен знака в последовательности его коэффициентов. Показать, что

W-N \geqslant 0 .

Примечание.

Задача 5.37

(Продолжение.) $W-N$ есть четное число.

Задача 5.38

Пусть $\rho$ — радиус сходимости степенного ряда $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots$ , $N$ — число его нулей в интервале $0<x<\rho$ и $W$ — число перемен знака в последовательности коэффициентов этого ряда. Показать, что

N \leqslant W .

Значит, в частности, если $W$ конечно, то $N$ также конечно.

Примечание.

Laguerre, 1. c. 1, стр. 5. Наряду с 31 применить некоторые сведения из теории функций.

Задача 5.39

Степенной ряд

2-\frac{x}{1 \cdot 2}-\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}-\frac{x^{3}}{3 \cdot 4}-\ldots

не имеет нулей в своем круге сходимости. (Последовательность его коэффициентов имеет одну перемену знака — теорема 37 на степенные ряды автоматически не переносится!)

Задача 5.40

(Продолжение задачи 38.) Если $\rho =\infty$ или же $\rho$ конечно, но ряд $a_{0}+a_{1} \rho +a_{2} \rho^{2}+\ldots$ расходится, то разность $W-N$ представляет собой неотрицательное четное число (здесь предполагается, что $W$ конечно).

Задача 5.41

Обозначим наименьшее из вещественных чисел $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \xi_{n}$ через $\xi_{\alpha }$ , а наибольшее — через $\xi_{\omega }$ . Число нулей полинома

a_{0}+a_{1}\left(x-\xi _{1}\right)+a_{2}\left(x-\xi _{1}\right)\left(x-\xi _{2}\right)+\ldots +a_{n}\left(x-\xi _{1}\right)\left(x-\xi _{2}\right) \ldots \left(x-\xi _{n}\right),

лежащих в интервале $\xi_{\omega }<x<\infty$ , либо равно, либо на четное число меньше числа перемен знака в последовательности

a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n},

а число нулей этого полинома, лежащих в интервале $-\infty <x<\xi_{\alpha }$ , точно так же либо равно, либо на четное число меньше числа перемен знака в последовательности

a_{0},-a_{1}, a_{2},-a_{3}, \ldots ,(-1)^{n} a_{n} .

(При $\xi_{1}=\xi_{2}=\ldots =\xi_{n}$ равносильно 36, 37.)

Примечание.

C. Runge, см. 1. c. 31, стр. 25. См. также 35.

4 · Применения правила знаков Декарта[13/100%]

Задача 5.42

Трансцендентное уравнение

1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\ldots +\frac{x^{n}}{n!}=\lambda e^{x},

где $\lambda$ — положительная правильная дробь, имеет единственный положительный корень; с возрастанием $n$ этот корень монотонно возрастает до бесконечности.

Задача 5.43

Функция $x^{-5}\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)^{-1}$ положительного переменного $x$ при $x \rightarrow 0$ и $x \rightarrow \infty$ стремится к нулю, а в промежутке между нулем и бесконечностью имеет один максимум и вовсе не имеет минимума.

Задача 5.43.1

Пусть $R(f)$ обозначает число перемен знака функции $f(x)$ в $(0,1)$ , а $Z(K_n)$ — число нулей полинома

K_n(x) = \sum _{v=0}^{n} f\left(\frac{v}{n}\right) \binom {n}{v} x^v (1-x)^{n-v}, \qquad n = 0, 1, 2, \ldots

(см. введение к задаче 144 части II) в $(0,1)$ . Доказать, что

Z(K_n) \leqslant R(f).

Задача 5.43.1

Пусть $R(f)$ обозначает число перемен знака функции $f(x)$ в $(0,1)$ , а $Z(K_n)$ — число нулей полинома

K_n(x) = \sum _{v=0}^{n} f\left(\frac{v}{n}\right) \binom {n}{v} x^v (1-x)^{n-v}, \qquad n = 0, 1, 2, \ldots

(см. введение к задаче 144 части II) в $(0,1)$ . Доказать, что

Z(K_n) \leqslant R(f).

Задача 5.44

Пусть радиус сходимости степенного ряда $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots$ будет $\geqslant 1$ . Показать, что число нулей этого степенного ряда в интервале $0<x<1$ не превышает числа перемен знака в последовательности

a_{0}, a_{0}+a_{1}, a_{0}+a_{1}+a_{2}, \ldots , a_{0}+a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}, \ldots

Задача 5.44.1

Пусть $C$ — число перемен знака конечной последовательности

a_0, \quad a_0+a_1, \quad a_0+a_1+a_2, \quad \ldots , \quad a_0+a_1+\cdots +a_n,

положим

P(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n,

и пусть $P(1)=0$ . Тогда $P(x)$ имеет не более $C+1$ положительных нулей. Показать также, что граница $C+1$ может достигаться.

Задача 5.44.1

Пусть $C$ — число перемен знака конечной последовательности

a_0, \quad a_0+a_1, \quad a_0+a_1+a_2, \quad \ldots , \quad a_0+a_1+\cdots +a_n,

положим

P(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n,

Задача 5.45

Уравнение

\left(\frac{1}{19}\right) x+\left(\frac{2}{19}\right) x^{2}+\left(\frac{3}{19}\right) x^{3}+\ldots +\left(\frac{18}{19}\right) x^{18}=0,

где $\left(\frac{n}{p}\right)$ — символ Лежандра¹, имеет только один положительный корень, именно $x=1$ .

*) По поводу символа Лежандра см., например, И. М. Виноградов, Основы теории чисел, изд. 8-е, Гостехиздат, 1972. ↩

Примечание.

См. M. Fekete, Rend. Palermo, т. 34, стр. 89, 1912. Уравнение — возвратное, так что достаточно исследовать нули в интервале $0<x<1$ , применяя 44, 33.

Задача 5.46

Уравнение 162-й степени

\left(\frac{1}{163}\right) x+\left(\frac{2}{163}\right) x^{2}+\left(\frac{3}{163}\right) x^{3}+\ldots +\left(\frac{162}{163}\right) x^{162}=0

имеет ровно пять положительных корней, причем все эти корни — простые.

Примечание.

G. Pólya, Deutsche Math.-Ver., т. 28, стр. 37, 1919. Исследовать точку $x=0{,}7$ .

Задача 5.47

(Дополнение к 36.) Если полином $a_{0}+a_{1} x+\ldots +a_{n} x^{n}$ имеет лишь вещественные нули, то $N=W$ .

Задача 5.48

Пусть $\nu_{1}, \nu_{2}, \ldots , \nu_{n}$ — целые числа, $0 \leqslant \nu_{1}<\nu_{2}<\ldots <\nu_{n}$ , далее $0<\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots <\alpha_{n}$ . Показать, что

\begin{vmatrix} \alpha _{1}^{\nu _{1}} & \alpha _{1}^{\nu _{2}} & \ldots & \alpha _{1}^{\nu _{n}} \\ \alpha _{2}^{\nu _{1}} & \alpha _{2}^{\nu _{2}} & \ldots & \alpha _{2}^{\nu _{n}} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \alpha _{n}^{\nu _{1}} & \alpha _{n}^{\nu _{2}} & \ldots & \alpha _{n}^{\nu _{n}} \end{vmatrix}>0 .

(Этот определитель является обобщением определителя Вандермонда, получающегося при $\nu_{1}=0, \nu_{2}=1, \ldots , \nu_{n}=n-1$ .)

Примечание.

Доказать сначала, что определитель не равен нулю, 36.

Задача 5.49

Пусть $a_{0} \neq 0$ , $a_{n} \neq 0$ и $2 m$ последовательных коэффициентов полинома $a_{0}+a_{1} x+\ldots +a_{n} x^{n}$ равны нулю ( $m$ — целое положительное). Тогда полином имеет по меньшей мере $2 m$ мнимых нулей.

Задача 5.50

Пусть полином $P(x)$ имеет лишь вещественные нули, причем $P(0)=1$ , $P(x) \neq \operatorname {const}$ . Положим

\frac{1}{P(x)}=1+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots +b_{n} x^{n}+\ldots

Полиномы $1+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots +b_{2 m} x^{2 m}$ имеют лишь мнимые нули.

Примечание.

Laguerre, 1. c. 1, стр. 111. См. 49.

Задача 5.51

Пусть $m$ — целое число, большее или равное единице, и

S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right)=\sum x_{1}^{l_{1}} x_{2}^{l_{2}} \ldots x_{n}^{l_{n}},

где сумма распространена на все системы неотрицательных целых чисел $l_{1}, l_{2}, \ldots , l_{n}$ , удовлетворяющих соотношению

l_{1}+l_{2}+\ldots +l_{n}=2 m .

Показать, что однородная симметрическая функция $S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right)$ $n$ вещественных переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ является положительно определенной, т. е. больше нуля при всех системах значений $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ , кроме $x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0$ .

Примечание.

J. Grommer, J. für Math., т. 144, стр. 130--131, 1914.

Задача 5.52

Пусть полином $P(x)=x^{n}+\ldots$ имеет лишь положительные нули. Показать, что в разложении

\frac{1}{P(x)}=\frac{1}{x^{n}}+\frac{B_{n}}{x^{n+1}}+\frac{B_{n+1}}{x^{n+2}}+\ldots

все коэффициенты $B_{n}, B_{n+1}, \ldots$ положительны.

5 · Применения теоремы Ролля[26/96%]

Задача 5.53

Производная полинома имеет не больше мнимых нулей, чем сам полином.

Задача 5.54

Кратные нули производной полинома, имеющего лишь вещественные нули, являются также кратными нулями самого полинома.

Задача 5.55

Все производные полинома, имеющего лишь вещественные и притом простые нули, также имеют лишь вещественные и простые нули, причем каждый нуль $(\nu +1)$ -й производной лежит между двумя соседними нулями $\nu$ -й производной.

Примечание.

53, 54.

Задача 5.56

Последовательные производные функции $\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{1}{2}}$ имеют лишь вещественные и притом простые нули, причем каждый нуль $\nu$ -й производной лежит между двумя соседними нулями $(\nu +1)$ -й.

Задача 5.57

То же, что в 56, имеет место и для последовательных производных функции $x\left(1+x^{2}\right)^{-1}$ .

Задача 5.58

Полиномы Лежандра, Лагерра и Эрмита можно определить посредством формул

\begin{gathered} P_{n}(x)=\frac{1}{2^{n} n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}}\left(x^{2}-1\right)^{n}, \quad e^{-x} L_{n}(x)=\frac{1}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{-x} x^{n}, \\ e^{-\frac{x^{2}}{2}} H_{n}(x)=\frac{1}{n!} \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{-\frac{x^{2}}{2}} \end{gathered}

[VI 84, VI 99, VI 100]. Показать, исходя из этого определения, что указанные полиномы имеют лишь вещественные и притом простые нули, расположенные соответственно в интервалах

(-1,+1),(0,+\infty ),(-\infty ,+\infty ) .

(VI 97, VI 99, VI 100.)

Задача 5.59

Пусть $q$ — целое число $\geqslant 2$ . Положим

\frac{d^{n-1}}{d x^{n-1}}\left(\frac{x^{q-1}}{1+x^{q}}\right)=\frac{Q_{n}(x)}{\left(1+x^{q}\right)^{n}}, \quad \frac{d^{n}}{d x^{n}} e^{-x^{q}}=e^{-x^{q}} R_{n}(x) .

Проведем в плоскости комплексного переменного из начала координат $q$ лучей, делящих полный угол $2 \pi$ на $q$ равных частей, причем одним из этих лучей пусть служит положительная вещественная полуось. Показать, что нули полиномов $Q_{n}(x)$ , $R_{n}(x)$ лежат на этих лучах и распределены на них совершенно одинаково, причем не совпадающие с началом координат являются простыми. (Частный случай $q=2$ рассмотрен уже в 57, 58.)

Задача 5.60

Пусть $\mu , \nu$ — целые числа, $0 \leqslant \mu <\mu +\nu \leqslant n$ . Показать, что ни один из полиномов

a_{\mu }+\binom {\nu }{1} a_{\mu +1} x+\binom {\nu }{2} a_{\mu +2} x^{2}+\ldots +\binom {\nu }{\nu -1} a_{\mu +\nu -1} x^{\nu -1}+a_{\mu +\nu } x^{\nu }

не имеет больше мнимых корней, чем полином

a_{0}+\binom {n}{1} a_{1} x+\binom {n}{2} a_{2} x^{2}+\ldots +\binom {n}{n-1} a_{n-1} x^{n-1}+a_{n} x^{n} .

(Обобщение теоремы 53.)

Задача 5.61

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ — положительные числа, не все равные между собой. Положим

\left(x+a_{1}\right)\left(x+a_{2}\right) \ldots \left(x+a_{n}\right)=x^{n}+\binom {n}{1} m_{1} x^{n-1}+\binom {n}{2} m_{2}^{2} x^{n-2}+\ldots +m_{n}^{n},

где $m_{1}, m_{2}, \ldots , m_{n}$ положительны. Очевидно, $m_{1}$ есть среднее арифметическое, а $m_{n}$ — среднее геометрическое чисел $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ . Показать, что

m_{1}>m_{2}>m_{3}>\ldots >m_{n-1}>m_{n} .

Задача 5.62

Пусть $\alpha$ вещественно, $P(x)$ — произвольный полином. Показать, что полином $\alpha P(x)+P^{\prime }(x)$ имеет не больше мнимых нулей, чем первоначальный полином $P(x)$ . (Обобщение теоремы 53.)

Задача 5.62.1

Полиномы

s_1^n x + s_2^n x^2 + s_3^n x^3 + \cdots + s_n^n x^n, \qquad S_1^n x + S_2^n x^2 + S_3^n x^3 + \cdots + S_n^n x^n

имеют только вещественные, неположительные и простые нули. (Определения см. соответственно во введениях к задачам 199 и 187 части I: это два родственных семейства полиномов бернуллиева типа, для которых задачи 199 и 187 части I устанавливают, что все их нули вещественны, неположительны и просты.)

Задача 5.62.1

Полиномы

s_1^n x + s_2^n x^2 + s_3^n x^3 + \cdots + s_n^n x^n, \qquad S_1^n x + S_2^n x^2 + S_3^n x^3 + \cdots + S_n^n x^n

Задача 5.63

Если уравнение

a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}=0

имеет лишь вещественные корни, то полином

a_{0} P(x)+a_{1} P^{\prime }(x)+\ldots +a_{n} P^{(n)}(x),

где $P(x)$ — произвольный полином, имеет не более мнимых нулей, чем сам полином $P(x)$ .

Задача 5.64

Полином

P(x)-\frac{P^{\prime \prime }(x)}{1!}+\frac{P^{(\mathrm{IV})}(x)}{2!}-\frac{P^{(\mathrm{VI})}(x)}{3!}+\ldots

имеет не больше мнимых нулей, чем сам полином $P(x)$ .

Задача 5.65

Если уравнение

a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}=0

имеет лишь вещественные корни, то тем же свойством обладает и уравнение

a_{0}+\frac{a_{1}}{1!} x+\frac{a_{2}}{2!} x^{2}+\ldots +\frac{a_{n}}{n!} x^{n}=0 .

Задача 5.65.1

Предположим дополнительно, что $a_0 \neq 0$ , и рассмотрим степенной ряд

\frac{1}{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n} = b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots .

Тогда полином

b_0P(x)+b_1P'(x)+b_2P''(x)+\cdots +b_kP^{(k)}(x)+\cdots

имеет не меньше невещественных нулей, чем сам полином $P(x)$ .

Задача 5.65.1

Предположим дополнительно, что $a_0 \neq 0$ , и рассмотрим степенной ряд

\frac{1}{a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n} = b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots .

Тогда полином

b_0P(x)+b_1P'(x)+b_2P''(x)+\cdots +b_kP^{(k)}(x)+\cdots

имеет не меньше невещественных нулей, чем сам полином $P(x)$ .

Задача 5.66

Пусть $P(x)$ — полином $n$ -й степени. Если вещественное число $\alpha$ лежит вне интервала $[-n, 0]$ , то $\alpha P(x)+x P^{\prime }(x)$ имеет не больше мнимых нулей, чем $P(x)$ . (Обобщение теоремы 53, отличное от 60 и 62.)

Задача 5.67

Если все нули полинома $Q(x)$ вещественные и лежат вне интервала $[0, n]$ , то уравнение

a_{0} Q(0)+a_{1} Q(1) x+a_{2} Q(2) x^{2}+\ldots +a_{n} Q(n) x^{n}=0

имеет не больше мнимых корней, чем уравнение

a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}=0 .

Примечание.

Laguerre, 1. c. 1, стр. 200.

Задача 5.68

Пусть $0<q<1$ . Показать, что уравнение

a_{0}+a_{1} q x+a_{2} q^{4} x^{2}+\ldots +a_{n} q^{n^{2}} x^{n}=0

имеет не больше мнимых корней, чем уравнение

a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}=0 .

Задача 5.69

Пусть $q>0$ . Показать, что уравнение

2 a_{0}+\left(q+q^{-1}\right) a_{1} x+\left(q^{\sqrt{2}}+q^{-\sqrt{2}}\right) a_{2} x^{2}+\ldots +\left(q^{\sqrt{n}}+q^{-\sqrt{n}}\right) a_{n} x^{n}=0

имеет не больше мнимых корней, чем уравнение

a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}=0 .

Примечание.

Laguerre, задача; решение — G. Pólya, Interméd. des math., т. 20, стр. 127, 1913.

Задача 5.70

Если кривая $y=f(x)$ пересекает некоторую прямую в трех различных точках, то между крайними точками пересечения находится по крайней мере одна точка перегиба кривой.

Задача 5.71

Если данная функция совпадает с некоторым полиномом $(n-1)$ -й степени в $n+1$ точке, то $n$ -я производная этой функции обращается в нуль по крайней мере в одной промежуточной точке.

Задача 5.72

Разность

(1+x)^{\alpha }-\left(1+\frac{\alpha }{1} x+\frac{\alpha (\alpha -1)}{1 \cdot 2} x^{2}+\ldots +\frac{\alpha (\alpha -1) \ldots (\alpha -n+2)}{1 \cdot 2 \ldots (n-1)} x^{n-1}\right),

где $\alpha \neq 0$ — вещественное постоянное число, обращается в нуль в точке $x=0$ и больше ни в одной точке интервала $(-1, \infty )$ .

Задача 5.73

Остаток показательного ряда

\frac{x^{n}}{n!}+\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}+\frac{x^{n+2}}{(n+2)!}+\ldots

не обращается в нуль ни при каком вещественном значении $x$ кроме $x=0$ .

Задача 5.74

Показать, что $n$ -я частичная сумма показательного ряда

1+\frac{x}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\ldots +\frac{x^{n}}{n!}

либо совсем не имеет вещественных нулей, либо имеет только один, смотря по тому, будет ли $n$ четным или нечетным.

Примечание.

J. J. Sylvester, Mathematical Papers, т. 2, стр. 516, Cambridge, University Press, 1908.

Задача 5.75

Пусть полиномы $P_{1}(x), P_{2}(x), \ldots , P_{l}(x) \not\equiv 0$ и имеют соответственно степени $m_{1}-1, m_{2}-2, \ldots , m_{l}-1$ , далее $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{l}$ — отличные друг от друга вещественные числа. Показать, что

g(x)=P_{1}(x) e^{a_{1} x}+P_{2}(x) e^{a_{2} x}+\ldots +P_{l}(x) e^{a_{l} x}

имеет самое большее $m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{l}-1$ вещественных нулей.

Задача 5.76

Пусть $\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots <\alpha_{n}$ , $\beta_{1}<\beta_{2}<\ldots <\beta_{n}$ . Тогда

\begin{vmatrix} e^{\alpha _{1} \beta _{1}} & e^{\alpha _{1} \beta _{2}} & \ldots & e^{\alpha _{1} \beta _{n}} \\ e^{\alpha _{2} \beta _{1}} & e^{\alpha _{2} \beta _{2}} & \ldots & e^{\alpha _{2} \beta _{n}} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ e^{\alpha _{n} \beta _{1}} & e^{\alpha _{n} \beta _{2}} & \ldots & e^{\alpha _{n} \beta _{n}} \end{vmatrix}>0 .

(Обобщение теоремы 48.)

Примечание.

См. G. Pólya, задача, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 28, стр. 173, 1920.

6 · Доказательство Лагерра правила знаков Декарта[12/100%]

Задача 5.77

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ — вещественные числа, $\lambda_{1}<\lambda_{2}<\lambda_{3}<\ldots <\lambda_{n}$ . Обозначим через $N$ число вещественных нулей целой функции

F(x)=a_{1} e^{\lambda _{1} x}+a_{2} e^{\lambda _{2} x}+\ldots +a_{n} e^{\lambda _{n} x}

и через $W$ — число перемен знака в последовательности $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ . Показать, что $W-N$ представляет собой неотрицательное четное число. (Отличное от 41 обобщение теорем 36, 37: заменить $e^{x}$ на $x$ .)

Примечание.

Laguerre, 1. c. 1, стр. 3.

Задача 5.77.1

Целая функция

F(x) = \sum _{k=1}^{n} (-1)^{n-k} \binom {n}{k} k^x

имеет простые нули в точках

x = 1, 2, 3, \ldots , n-1

и не имеет других вещественных нулей. ( $k^x$ понимается как $e^{x \log k}$ , где $\log k$ берется в главном значении.)

Задача 5.77.1

Целая функция

F(x) = \sum _{k=1}^{n} (-1)^{n-k} \binom {n}{k} k^x

имеет простые нули в точках

x = 1, 2, 3, \ldots , n-1

и не имеет других вещественных нулей. ( $k^x$ понимается как $e^{x \log k}$ , где $\log k$ берется в главном значении.)

Задача 5.78

Пусть $\lambda_{1}<\lambda_{2}<\lambda_{3}<\ldots$ , $\lim_{n \rightarrow \infty } \lambda_{n}=\infty$ . Показать, что ряд Дирихле

a_{1} e^{-\lambda _{1} x}+a_{2} e^{-\lambda _{2} x}+\ldots +a_{n} e^{-\lambda _{n} x}+\ldots

внутри своей области сходимости (некоторой ограниченной слева полуплоскости) имеет не больше вещественных нулей, чем последовательность коэффициентов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ имеет перемен знака. (Обобщение теоремы 38.)

Задача 5.79

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ — вещественные числа, удовлетворяющие условиям

n \geqslant 2, \quad a_{\nu } \neq 0 \quad (\nu =1,2, \ldots , n), \quad \lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n} .

Пусть, далее, полином

P(x)=a_{1}\left(x-\lambda _{1}\right)^{m}+a_{2}\left(x-\lambda _{2}\right)^{m}+\ldots +a_{n}\left(x-\lambda _{n}\right)^{m}

( $m$ — целое положительное число) не обращается тождественно в нуль. Показать, что число $N$ вещественных нулей полинома $P(x)$ не превосходит числа $W$ перемен знака в последовательности

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots , a_{n-1}, a_{n},(-1)^{m} a_{1} .

Примечание.

J. J. Sylvester, 1. с. 74, стр. 360, 401; см. 1. с. 31, стр. 30. См. также 77, 14.

Задача 5.80

Пусть $Z$ — число изменений знака функции $\varphi (\lambda )$ в интервале $0<\lambda <\infty$ и $N$ — число вещественных нулей интеграла

F(x)=\int _{0}^{\infty } \varphi (\lambda ) e^{-\lambda x} d \lambda .

Показать, что $N \leqslant Z$ .

В число $N$ входят, конечно, лишь нули, находящиеся внутри области сходимости (некоторой ограниченной слева полуплоскости).

Примечание.

Laguerre, 1. c. 1, стр. 29; см. G. Pólya, C. R., т. 156, стр. 996, 1913. Не предельным переходом от 77, а надлежащим переносом проведенных там доказательств!

Задача 5.81

Интегралы

\int _{0}^{\infty } f(x) x^{n} d x=M_{n} \quad (n=0,1,2,3, \ldots )

(предполагаемые сходящимися) называются моментами функции $f(x)$ . Рассмотрим случай, когда не все моменты равны нулю [II 139, III 153]. Примем, например, что $M_{\mu } \neq 0$ , и положим

$a_{n}=M_{n}$ , если $M_{n} \neq 0$ ,
$a_{n}=-\operatorname {sign}\left(a_{n+1}\right)$ , если $M_{n}=0$ и $n<\mu$ ,
$a_{n}=-\operatorname {sign}\left(a_{n-1}\right)$ , если $M_{n}=0$ и $n>\mu$ . (Рекуррентное определение последовательности $a_{n}$ ; сначала надо определить знак $a_{\mu }$ .) Показать, что число изменений знака функции $f(x)$ не меньше числа перемен знака в последовательности $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ (II 140 представляет собой частный случай этого предложения.)

Примечание.

См. L. Fejér, C. R., т. 158, стр. 1328—1331, 1914.

Задача 5.82

(Продолжение задачи 80.) Число положительных нулей, лежащих внутри области сходимости, не превосходит числа изменений знака функции $\Phi (\lambda )=\int_{0}^{\lambda } \varphi (x) d x$ . (Аналог теоремы 44.)

Задача 5.83

(Продолжение задачи 78.) Число положительных нулей, лежащих внутри области сходимости, не превышает числа перемен знака в последовательности

a_{1}, a_{1}+a_{2}, a_{1}+a_{2}+a_{3}, \ldots

(Обобщение теоремы 44.)

Примечание.

Задача 5.83.1

Пусть $C$ — число перемен знака конечной последовательности

a_1, \quad a_1+a_2, \quad a_1+a_2+a_3, \quad \ldots , \quad a_1+a_2+\cdots +a_n,

$\lambda_i$ ( $i=1,2,\ldots ,n$ ) — вещественные числа, удовлетворяющие условию

\lambda _1<\lambda _2<\lambda _3<\cdots <\lambda _n,

D(x) = a_1 e^{-\lambda _1 x} + a_2 e^{-\lambda _2 x} + \cdots + a_n e^{-\lambda _n x},

где предполагается, что $D(0)=0$ . Тогда $D(x)$ имеет не более $C+1$ вещественных нулей.

(И предположение, и заключение сильнее, чем в 83. Обобщение задачи 44.1.)

Задача 5.83.1

Пусть $C$ — число перемен знака конечной последовательности

a_1, \quad a_1+a_2, \quad a_1+a_2+a_3, \quad \ldots , \quad a_1+a_2+\cdots +a_n,

$\lambda_i$ ( $i=1,2,\ldots ,n$ ) — вещественные числа, удовлетворяющие условию

\lambda _1<\lambda _2<\lambda _3<\cdots <\lambda _n,

D(x) = a_1 e^{-\lambda _1 x} + a_2 e^{-\lambda _2 x} + \cdots + a_n e^{-\lambda _n x},

где предполагается, что $D(0)=0$ . Тогда $D(x)$ имеет не более $C+1$ вещественных нулей.

(И предположение, и заключение сильнее, чем в 83. Обобщение задачи 44.1.)

Задача 5.84

Число положительных нулей факториального ряда

a_{0}+\frac{1!a_{1}}{x}+\frac{2!a_{2}}{x(x+1)}+\frac{3!a_{3}}{x(x+1)(x+2)}+\ldots ,

лежащих внутри его области сходимости, не превосходит числа перемен знака в последовательности

a_{0}, a_{0}+a_{1}, a_{0}+a_{1}+a_{2}, \ldots

Примечание.

Оно не превосходит даже числа нулей степенного ряда $f(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots$ , лежащих в интервале $0<x<1$ ; 80, 44.

Задача 5.85

Пусть коэффициенты $p_{0}, p_{1}, p_{2}, \ldots$ бесконечного (необрывающегося) ряда

F(x)=p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+\ldots ,

имеющего радиус сходимости $\rho$ , неотрицательны. Пусть, далее, $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ , $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ вещественны и

0<\alpha _{1}<\alpha _{2}<\ldots <\alpha _{n} \leqslant 1 .

Тогда число нулей функции

a_{1} F\left(\alpha _{1} x\right)+a_{2} F\left(\alpha _{2} x\right)+\ldots +a_{n} F\left(\alpha _{n} x\right),

лежащих в интервале $0<x<\rho$ , не превышает числа перемен знака в последовательности

\begin{aligned} a_{n}, a_{n}+a_{n-1}, & a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}, \ldots \\ & \ldots , a_{n}+a_{n-1}+\ldots +a_{2}+a_{1} . \end{aligned}

Примечание.

Laguerre, 1. c. 1, стр. 28. См. также 38, 83.

Задача 5.86

(Продолжение.) Если $0<\beta_{1}<\beta_{2}<\ldots <\beta_{n}$ и $\alpha_{n} \beta_{n}$ еще заключено внутри круга сходимости ряда $F(x)$ , то

\begin{vmatrix} F\left(\alpha _{1} \beta _{1}\right) & F\left(\alpha _{1} \beta _{2}\right) & \ldots & F\left(\alpha _{1} \beta _{n}\right) \\ F\left(\alpha _{2} \beta _{1}\right) & F\left(\alpha _{2} \beta _{2}\right) & \ldots & F\left(\alpha _{2} \beta _{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ F\left(\alpha _{n} \beta _{1}\right) & F\left(\alpha _{n} \beta _{2}\right) & \ldots & F\left(\alpha _{n} \beta _{n}\right) \end{vmatrix} \neq 0 .

(Отсюда без труда вытекает 76.)

7 · На чём основано правило знаков Декарта?[5/100%]

Задача 5.87

Пусть последовательность функций

h_{1}(x), h_{2}(x), \ldots , h_{n}(x)

следует правилу Декарта в открытом интервале $a<x<b$ , т. е., точнее говоря, обладает следующим свойством: какова бы ни была последовательность $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ вещественных чисел, не всех равных нулю, число нулей линейной комбинации

a_{1} h_{1}(x)+a_{2} h_{2}(x)+\ldots +a_{n} h_{n}(x),

лежащих в интервале $a<x<b$ , не превосходит числа перемен знака в последовательности $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ .

Показать, что тогда последовательность $h_{1}(x), h_{2}(x), \ldots , h_{n}(x)$ должна обладать следующим свойством: определители Вронского [VII, § 5]

W\left[h_{\nu _{1}}(x), h_{\nu _{2}}(x), h_{\nu _{3}}(x), \ldots , h_{\nu _{l}}(x)\right],

образованные для всех систем целых чисел

\nu _{1}, \nu _{2}, \ldots , \nu _{l} \quad \left(1 \leqslant \nu _{1}<\nu _{2}<\ldots <\nu _{l} \leqslant n\right),

не должны обращаться в нуль в интервале $a<x<b$ . Кроме того, любые два из этих определителей, имеющие один и тот же порядок, должны иметь и общий знак. ( $l=1,2,3, \ldots$ — число строк).

Примечание.

Принять во внимание кратность нулей.

Задача 5.88

(Продолжение.) В частности, для применимости правила Декарта необходимо, чтобы в интервале $a<x<b$ отношения

\frac{h_{2}(x)}{h_{1}(x)}, \frac{h_{3}(x)}{h_{2}(x)}, \ldots , \frac{h_{n}(x)}{h_{n-1}(x)}

были все положительны и либо все постоянно убывали, либо все постоянно возрастали.

Задача 5.89

(Продолжение.) Пусть $1 \leqslant \alpha \leqslant n$ . Перечисленным в 87 условиям, налагаемым на определители Вронского, одновременно с $h_{1}(x), h_{2}(x), \ldots , h_{n}(x)$ удовлетворяют также $n-1$ функций

\begin{aligned} H_{1} & =-\frac{d}{d x} \frac{h_{1}}{h_{\alpha }}, & H_{2} & =-\frac{d}{d x} \frac{h_{2}}{h_{\alpha }}, \ldots , & H_{\alpha -1} & =-\frac{d}{d x} \frac{h_{\alpha -1}}{h_{\alpha }}, \\ H_{\alpha } & =\frac{d}{d x} \frac{h_{\alpha +1}}{h_{\alpha }}, \ldots , & H_{n-2} & =\frac{d}{d x} \frac{h_{n-1}}{h_{\alpha }}, & H_{n-1} & =\frac{d}{d x} \frac{h_{n}}{h_{\alpha }} . \end{aligned}

Примечание.

VII 58.

Задача 5.90

(Продолжение.) Приведенное в 87 необходимое условие применимости правила Декарта является также достаточным.

Примечание.

Задача 5.91

Проверить выполнение критерия 87 для рассмотренных в 77 функций $e^{\lambda_{1} x}, e^{\lambda_{2} x}, \ldots , e^{\lambda_{n} x}$ .

8 · Обобщения теоремы Ролля[10/100%]

Задача 5.92

Пусть $0<a<b$ . Если $f(x)$ обращается в нуль в $n+1$ точке интервала $[a, b]$ и все нули полинома $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}$ — вещественные, то в некоторой внутренней точке $\xi$ интервала $a, b$ имеет место равенство

a_{0} f(\xi )+a_{1} f^{\prime }(\xi )+a_{2} f^{\prime \prime }(\xi )+\ldots +a_{n} f^{(n)}(\xi )=0 .

Примечание.

Задача 5.93

(Обобщение теоремы Ролля на однородные линейные дифференциальные выражения.) Пусть дифференциальное уравнение $n$ -го порядка

y^{(n)}+\varphi _{1}(x) y^{(n-1)}+\varphi _{2}(x) y^{(n-2)}+\ldots +\varphi _{n}(x) y=0 \tag {*}

имеет $n-1$ решений $h_{1}(x), h_{2}(x), \ldots , h_{n-1}(x)$ , удовлетворяющих в интервале $a<x<b$ условиям

\begin{aligned} h_{1}(x)>0, \quad \begin{vmatrix} h_{1}(x) & h_{1}^{\prime }(x) \\ h_{2}(x) & h_{2}^{\prime }(x) \end{vmatrix} & >0, \ldots \\ \ldots , \quad & \begin{vmatrix} h_{1}(x) & h_{1}^{\prime }(x) & \ldots & h_{1}^{(n-2)}(x) \\ h_{2}(x) & h_{2}^{\prime }(x) & \ldots & h_{2}^{(n-2)}(x) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ h_{n-1}(x) & h_{n-1}^{\prime }(x) & \ldots & h_{n-1}^{(n-2)}(x) \end{vmatrix}>0 . \tag {**} \end{aligned}

Если в интервале $a<x<b$ лежит $n+1$ нуль функции $f(x)$ , то в этом интервале существует такая точка $\xi$ , что

f^{(n)}(\xi )+\varphi _{1}(\xi ) f^{(n-1)}(\xi )+\varphi _{2}(\xi ) f^{(n-2)}(\xi )+\ldots +\varphi _{n}(\xi ) f(\xi )=0 .

Примечание.

G. Pólya, Trans. American M. S., т. 24, стр. 312—324, 1922; см. H. Poincaré, Interméd. des math., т. 1, стр. 141—144, 1894. См. также VII 62.

Задача 5.94

(Продолжение.) Утверждение теоремы сохраняет силу и при замене предположения менее сильным, именно, что $f(x)$ совпадает в $n+1$ точке с одним из решений дифференциального уравнения (*). (Обобщение теоремы 71, относящейся к уравнению $y^{(n)}=0$ .)

Задача 5.94.1

Замкнутая кривая $\mathfrak {C}$ без кратных точек является границей области $\mathfrak {R}$ , части плоскости $x,y$ . Функция $f(x,y)$ непрерывна в замыкании $\mathfrak {R}$ (объединении $\mathfrak {R}$ и $\mathfrak {C}$ ) и имеет в $\mathfrak {R}$ непрерывные частные производные второго порядка. Если $f(x,y)$ обращается в нуль вдоль $\mathfrak {C}$ , а также в некоторой внутренней точке области $\mathfrak {R}$ , то существует такая точка $\xi ,\eta$ в $\mathfrak {R}$ , в которой

\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = 0.

Задача 5.94.1

\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = 0.

Задача 5.95

(Обобщение дифференциальной теоремы о среднем значении на систему функций.) Отношение определителей

\begin{vmatrix} f_{1}\left(x_{1}\right) & f_{1}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{1}\left(x_{n}\right) \\ f_{2}\left(x_{1}\right) & f_{2}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{2}\left(x_{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n}\left(x_{1}\right) & f_{n}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{n}\left(x_{n}\right) \end{vmatrix}:\begin{vmatrix} \varphi _{1}\left(x_{1}\right) & \varphi _{1}\left(x_{2}\right) & \ldots & \varphi _{1}\left(x_{n}\right) \\ \varphi _{2}\left(x_{1}\right) & \varphi _{2}\left(x_{2}\right) & \ldots & \varphi _{2}\left(x_{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \varphi _{n}\left(x_{1}\right) & \varphi _{n}\left(x_{2}\right) & \ldots & \varphi _{n}\left(x_{n}\right) \end{vmatrix},

где $x_{1}<x_{2}<x_{3}<\ldots <x_{n}$ , можно приравнять отношению определителей

\begin{vmatrix} f_{1}\left(\xi _{1}\right) & f_{1}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & f_{1}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \\ f_{2}\left(\xi _{1}\right) & f_{2}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & f_{2}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n}\left(\xi _{1}\right) & f_{n}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & f_{n}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \end{vmatrix}:\begin{vmatrix} \varphi _{1}\left(\xi _{1}\right) & \varphi _{1}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & \varphi _{1}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \\ \varphi _{2}\left(\xi _{1}\right) & \varphi _{2}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & \varphi _{2}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \varphi _{n}\left(\xi _{1}\right) & \varphi _{n}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & \varphi _{n}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \end{vmatrix},

если числам $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \xi_{n}$ придать надлежащие промежуточные значения:

\xi _{1}=x_{1}, \quad \xi _{1}<\xi _{2}<x_{2}, \quad \xi _{2}<\xi _{3}<x_{3}, \ldots , \xi _{n-1}<\xi _{n}<x_{n} .

Примечание.

См. H. A. Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, т. 2, стр. 296, Berlin, J. Springer, 1890; T. J. Stieltjes, Oeuvres, т. 2, стр. 110, Groningen, P. Noordhoff, 1918.

Задача 5.96

Пусть $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$ . Показать, что

\begin{vmatrix} f_{1}\left(x_{1}\right) & f_{1}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{1}\left(x_{n}\right) \\ f_{2}\left(x_{1}\right) & f_{2}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{2}\left(x_{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n}\left(x_{1}\right) & f_{n}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{n}\left(x_{n}\right) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \binom {x_{1}}{1} & \binom {x_{2}}{1} & \ldots & \binom {x_{n}}{1} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \binom {x_{1}}{n-1} & \binom {x_{2}}{n-1} & \ldots & \binom {x_{n}}{n-1} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} f_{1}\left(\xi _{1}\right) & f_{1}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & f_{1}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \\ f_{2}\left(\xi _{1}\right) & f_{2}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & f_{2}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n}\left(\xi _{1}\right) & f_{n}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & f_{n}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \end{vmatrix},

где $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \xi_{n}$ — некоторые числа, удовлетворяющие неравенствам, приведенным в конце предыдущей задачи.

Задача 5.97

Показать, что

\sum _{\nu =1}^{n} \frac{f\left(x_{\nu }\right)}{\left(x_{\nu }-x_{1}\right) \ldots \left(x_{\nu }-x_{\nu -1}\right)\left(x_{\nu }-x_{\nu +1}\right) \ldots \left(x_{\nu }-x_{n}\right)}=\frac{f^{(n-1)}(\xi )}{(n-1)!},

где $\xi$ — точка, заключенная внутри наименьшего интервала, содержащего попарно различные точки $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ .

Задача 5.98

Показать, что

\begin{aligned} & f(x+n h)-\binom {n}{1} f(x+(n-1) h)+\binom {n}{2} f(x+(n-2) h)-\ldots \\ & \ldots +(-1)^{n} f(x)=h^{n} f^{(n)}(\xi ), \end{aligned}

где $\xi$ заключено между $x$ и $x+n h$ ( $h$ может принимать и отрицательные значения). В частности, при $n=1$ имеем обычную теорему о среднем значении.

Задача 5.99

(Отличное от 95 обобщение теоремы о среднем значении на системы функций.) Пусть функции $h_{1}(x), h_{2}(x), \ldots , h_{n-1}(x)$ удовлетворяют неравенствам (**) задачи 93, $f(x)$ — произвольная функция и $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$ . Показать, что существует такое $\xi$ , $x_{1}<\xi <x_{n}$ , что

\operatorname {sign}\left(\begin{vmatrix} h_{1}\left(x_{1}\right) & h_{1}\left(x_{2}\right) & \ldots & h_{1}\left(x_{n}\right) \\ h_{2}\left(x_{1}\right) & h_{2}\left(x_{2}\right) & \ldots & h_{2}\left(x_{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ h_{n-1}\left(x_{1}\right) & h_{n-1}\left(x_{2}\right) & \ldots & h_{n-1}\left(x_{n}\right) \\ f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) & \ldots & f\left(x_{n}\right) \end{vmatrix}\right)=\operatorname {sign}\left(\begin{vmatrix} h_{1}(\xi ) & h_{1}^{\prime }(\xi ) & \ldots & h_{1}^{(n-1)}(\xi ) \\ h_{2}(\xi ) & h_{2}^{\prime }(\xi ) & \ldots & h_{2}^{(n-1)}(\xi ) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ h_{n-1}(\xi ) & h_{n-1}^{\prime }(\xi ) & \ldots & h_{n-1}^{(n-1)}(\xi ) \\ f(\xi ) & f^{\prime }(\xi ) & \ldots & f^{(n-1)}(\xi ) \end{vmatrix}\right) .

Примечание.

L. c. 93. Полной индукцией; принять во внимание 89.

Задача 5.100

Доказать 76, основываясь на 91.

Теорема Ролля и правило знаков Декарта

Footnotes