Банк задач по математике

Задача 5.77

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ — вещественные числа, $\lambda_{1}<\lambda_{2}<\lambda_{3}<\ldots <\lambda_{n}$ . Обозначим через $N$ число вещественных нулей целой функции

F(x)=a_{1} e^{\lambda _{1} x}+a_{2} e^{\lambda _{2} x}+\ldots +a_{n} e^{\lambda _{n} x}

и через $W$ — число перемен знака в последовательности $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ . Показать, что $W-N$ представляет собой неотрицательное четное число. (Отличное от 41 обобщение теорем 36, 37: заменить $e^{x}$ на $x$ .)

?

Примечание.

?

Laguerre, 1. c. 1, стр. 3.

Задача 5.77.1

Целая функция

F(x) = \sum _{k=1}^{n} (-1)^{n-k} \binom {n}{k} k^x

имеет простые нули в точках

x = 1, 2, 3, \ldots , n-1

и не имеет других вещественных нулей. ( $k^x$ понимается как $e^{x \log k}$ , где $\log k$ берется в главном значении.)

?

Задача 5.78

Пусть $\lambda_{1}<\lambda_{2}<\lambda_{3}<\ldots$ , $\lim_{n \rightarrow \infty } \lambda_{n}=\infty$ . Показать, что ряд Дирихле

a_{1} e^{-\lambda _{1} x}+a_{2} e^{-\lambda _{2} x}+\ldots +a_{n} e^{-\lambda _{n} x}+\ldots

внутри своей области сходимости (некоторой ограниченной слева полуплоскости) имеет не больше вещественных нулей, чем последовательность коэффициентов $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \ldots$ имеет перемен знака. (Обобщение теоремы 38.)

?

Задача 5.79

Пусть $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}, \lambda_{1}, \lambda_{2}, \ldots , \lambda_{n}$ — вещественные числа, удовлетворяющие условиям

n \geqslant 2, \quad a_{\nu } \neq 0 \quad (\nu =1,2, \ldots , n), \quad \lambda _{1}<\lambda _{2}<\ldots <\lambda _{n} .

Пусть, далее, полином

P(x)=a_{1}\left(x-\lambda _{1}\right)^{m}+a_{2}\left(x-\lambda _{2}\right)^{m}+\ldots +a_{n}\left(x-\lambda _{n}\right)^{m}

( $m$ — целое положительное число) не обращается тождественно в нуль. Показать, что число $N$ вещественных нулей полинома $P(x)$ не превосходит числа $W$ перемен знака в последовательности

a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots , a_{n-1}, a_{n},(-1)^{m} a_{1} .

?

Примечание.

?

J. J. Sylvester, 1. с. 74, стр. 360, 401; см. 1. с. 31, стр. 30. См. также 77, 14.

Задача 5.80

Пусть $Z$ — число изменений знака функции $\varphi (\lambda )$ в интервале $0<\lambda <\infty$ и $N$ — число вещественных нулей интеграла

F(x)=\int _{0}^{\infty } \varphi (\lambda ) e^{-\lambda x} d \lambda .

Показать, что $N \leqslant Z$ .

В число $N$ входят, конечно, лишь нули, находящиеся внутри области сходимости (некоторой ограниченной слева полуплоскости).

?

Примечание.

?

Laguerre, 1. c. 1, стр. 29; см. G. Pólya, C. R., т. 156, стр. 996, 1913. Не предельным переходом от 77, а надлежащим переносом проведенных там доказательств!

Задача 5.81

Интегралы

\int _{0}^{\infty } f(x) x^{n} d x=M_{n} \quad (n=0,1,2,3, \ldots )

(предполагаемые сходящимися) называются моментами функции $f(x)$ . Рассмотрим случай, когда не все моменты равны нулю [II 139, III 153]. Примем, например, что $M_{\mu } \neq 0$ , и положим

$a_{n}=M_{n}$ , если $M_{n} \neq 0$ ,
$a_{n}=-\operatorname {sign}\left(a_{n+1}\right)$ , если $M_{n}=0$ и $n<\mu$ ,
$a_{n}=-\operatorname {sign}\left(a_{n-1}\right)$ , если $M_{n}=0$ и $n>\mu$ . (Рекуррентное определение последовательности $a_{n}$ ; сначала надо определить знак $a_{\mu }$ .) Показать, что число изменений знака функции $f(x)$ не меньше числа перемен знака в последовательности $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots$ (II 140 представляет собой частный случай этого предложения.)

?

Примечание.

?

См. L. Fejér, C. R., т. 158, стр. 1328—1331, 1914.

Задача 5.82

(Продолжение задачи 80.) Число положительных нулей, лежащих внутри области сходимости, не превосходит числа изменений знака функции $\Phi (\lambda )=\int_{0}^{\lambda } \varphi (x) d x$ . (Аналог теоремы 44.)

?

Задача 5.83

(Продолжение задачи 78.) Число положительных нулей, лежащих внутри области сходимости, не превышает числа перемен знака в последовательности

a_{1}, a_{1}+a_{2}, a_{1}+a_{2}+a_{3}, \ldots

(Обобщение теоремы 44.)

?

Примечание.

?

Задача 5.83.1

Пусть $C$ — число перемен знака конечной последовательности

a_1, \quad a_1+a_2, \quad a_1+a_2+a_3, \quad \ldots , \quad a_1+a_2+\cdots +a_n,

$\lambda_i$ ( $i=1,2,\ldots ,n$ ) — вещественные числа, удовлетворяющие условию

\lambda _1<\lambda _2<\lambda _3<\cdots <\lambda _n,

и

D(x) = a_1 e^{-\lambda _1 x} + a_2 e^{-\lambda _2 x} + \cdots + a_n e^{-\lambda _n x},

где предполагается, что $D(0)=0$ . Тогда $D(x)$ имеет не более $C+1$ вещественных нулей.

(И предположение, и заключение сильнее, чем в 83. Обобщение задачи 44.1.)

?

Задача 5.84

Число положительных нулей факториального ряда

a_{0}+\frac{1!a_{1}}{x}+\frac{2!a_{2}}{x(x+1)}+\frac{3!a_{3}}{x(x+1)(x+2)}+\ldots ,

лежащих внутри его области сходимости, не превосходит числа перемен знака в последовательности

a_{0}, a_{0}+a_{1}, a_{0}+a_{1}+a_{2}, \ldots

?

Примечание.

?

Оно не превосходит даже числа нулей степенного ряда $f(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots$ , лежащих в интервале $0<x<1$ ; 80, 44.

Задача 5.85

Пусть коэффициенты $p_{0}, p_{1}, p_{2}, \ldots$ бесконечного (необрывающегося) ряда

F(x)=p_{0}+p_{1} x+p_{2} x^{2}+\ldots ,

имеющего радиус сходимости $\rho$ , неотрицательны. Пусть, далее, $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ , $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ вещественны и

0<\alpha _{1}<\alpha _{2}<\ldots <\alpha _{n} \leqslant 1 .

Тогда число нулей функции

a_{1} F\left(\alpha _{1} x\right)+a_{2} F\left(\alpha _{2} x\right)+\ldots +a_{n} F\left(\alpha _{n} x\right),

лежащих в интервале $0<x<\rho$ , не превышает числа перемен знака в последовательности

\begin{aligned} a_{n}, a_{n}+a_{n-1}, & a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}, \ldots \\ & \ldots , a_{n}+a_{n-1}+\ldots +a_{2}+a_{1} . \end{aligned}

?

Примечание.

?

Laguerre, 1. c. 1, стр. 28. См. также 38, 83.

Задача 5.86

(Продолжение.) Если $0<\beta_{1}<\beta_{2}<\ldots <\beta_{n}$ и $\alpha_{n} \beta_{n}$ еще заключено внутри круга сходимости ряда $F(x)$ , то

\begin{vmatrix} F\left(\alpha _{1} \beta _{1}\right) & F\left(\alpha _{1} \beta _{2}\right) & \ldots & F\left(\alpha _{1} \beta _{n}\right) \\ F\left(\alpha _{2} \beta _{1}\right) & F\left(\alpha _{2} \beta _{2}\right) & \ldots & F\left(\alpha _{2} \beta _{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ F\left(\alpha _{n} \beta _{1}\right) & F\left(\alpha _{n} \beta _{2}\right) & \ldots & F\left(\alpha _{n} \beta _{n}\right) \end{vmatrix} \neq 0 .

(Отсюда без труда вытекает 76.)

?

Доказательство Лагерра правила знаков Декарта