Банк задач по математике

Задача 5.92

Пусть $0<a<b$ . Если $f(x)$ обращается в нуль в $n+1$ точке интервала $[a, b]$ и все нули полинома $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}$ — вещественные, то в некоторой внутренней точке $\xi$ интервала $a, b$ имеет место равенство

a_{0} f(\xi )+a_{1} f^{\prime }(\xi )+a_{2} f^{\prime \prime }(\xi )+\ldots +a_{n} f^{(n)}(\xi )=0 .

?

Примечание.

?

Задача 5.93

(Обобщение теоремы Ролля на однородные линейные дифференциальные выражения.) Пусть дифференциальное уравнение $n$ -го порядка

y^{(n)}+\varphi _{1}(x) y^{(n-1)}+\varphi _{2}(x) y^{(n-2)}+\ldots +\varphi _{n}(x) y=0 \tag {*}

имеет $n-1$ решений $h_{1}(x), h_{2}(x), \ldots , h_{n-1}(x)$ , удовлетворяющих в интервале $a<x<b$ условиям

\begin{aligned} h_{1}(x)>0, \quad \begin{vmatrix} h_{1}(x) & h_{1}^{\prime }(x) \\ h_{2}(x) & h_{2}^{\prime }(x) \end{vmatrix} & >0, \ldots \\ \ldots , \quad & \begin{vmatrix} h_{1}(x) & h_{1}^{\prime }(x) & \ldots & h_{1}^{(n-2)}(x) \\ h_{2}(x) & h_{2}^{\prime }(x) & \ldots & h_{2}^{(n-2)}(x) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ h_{n-1}(x) & h_{n-1}^{\prime }(x) & \ldots & h_{n-1}^{(n-2)}(x) \end{vmatrix}>0 . \tag {**} \end{aligned}

Если в интервале $a<x<b$ лежит $n+1$ нуль функции $f(x)$ , то в этом интервале существует такая точка $\xi$ , что

f^{(n)}(\xi )+\varphi _{1}(\xi ) f^{(n-1)}(\xi )+\varphi _{2}(\xi ) f^{(n-2)}(\xi )+\ldots +\varphi _{n}(\xi ) f(\xi )=0 .

?

Примечание.

?

G. Pólya, Trans. American M. S., т. 24, стр. 312—324, 1922; см. H. Poincaré, Interméd. des math., т. 1, стр. 141—144, 1894. См. также VII 62.

Задача 5.94

(Продолжение.) Утверждение теоремы сохраняет силу и при замене предположения менее сильным, именно, что $f(x)$ совпадает в $n+1$ точке с одним из решений дифференциального уравнения (*). (Обобщение теоремы 71, относящейся к уравнению $y^{(n)}=0$ .)

?

Задача 5.94.1

Замкнутая кривая $\mathfrak {C}$ без кратных точек является границей области $\mathfrak {R}$ , части плоскости $x,y$ . Функция $f(x,y)$ непрерывна в замыкании $\mathfrak {R}$ (объединении $\mathfrak {R}$ и $\mathfrak {C}$ ) и имеет в $\mathfrak {R}$ непрерывные частные производные второго порядка. Если $f(x,y)$ обращается в нуль вдоль $\mathfrak {C}$ , а также в некоторой внутренней точке области $\mathfrak {R}$ , то существует такая точка $\xi ,\eta$ в $\mathfrak {R}$ , в которой

\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} = 0.

?

Задача 5.95

(Обобщение дифференциальной теоремы о среднем значении на систему функций.) Отношение определителей

\begin{vmatrix} f_{1}\left(x_{1}\right) & f_{1}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{1}\left(x_{n}\right) \\ f_{2}\left(x_{1}\right) & f_{2}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{2}\left(x_{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n}\left(x_{1}\right) & f_{n}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{n}\left(x_{n}\right) \end{vmatrix}:\begin{vmatrix} \varphi _{1}\left(x_{1}\right) & \varphi _{1}\left(x_{2}\right) & \ldots & \varphi _{1}\left(x_{n}\right) \\ \varphi _{2}\left(x_{1}\right) & \varphi _{2}\left(x_{2}\right) & \ldots & \varphi _{2}\left(x_{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \varphi _{n}\left(x_{1}\right) & \varphi _{n}\left(x_{2}\right) & \ldots & \varphi _{n}\left(x_{n}\right) \end{vmatrix},

где $x_{1}<x_{2}<x_{3}<\ldots <x_{n}$ , можно приравнять отношению определителей

\begin{vmatrix} f_{1}\left(\xi _{1}\right) & f_{1}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & f_{1}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \\ f_{2}\left(\xi _{1}\right) & f_{2}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & f_{2}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n}\left(\xi _{1}\right) & f_{n}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & f_{n}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \end{vmatrix}:\begin{vmatrix} \varphi _{1}\left(\xi _{1}\right) & \varphi _{1}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & \varphi _{1}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \\ \varphi _{2}\left(\xi _{1}\right) & \varphi _{2}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & \varphi _{2}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \varphi _{n}\left(\xi _{1}\right) & \varphi _{n}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & \varphi _{n}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \end{vmatrix},

если числам $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \xi_{n}$ придать надлежащие промежуточные значения:

\xi _{1}=x_{1}, \quad \xi _{1}<\xi _{2}<x_{2}, \quad \xi _{2}<\xi _{3}<x_{3}, \ldots , \xi _{n-1}<\xi _{n}<x_{n} .

?

Примечание.

?

См. H. A. Schwarz, Gesammelte Mathematische Abhandlungen, т. 2, стр. 296, Berlin, J. Springer, 1890; T. J. Stieltjes, Oeuvres, т. 2, стр. 110, Groningen, P. Noordhoff, 1918.

Задача 5.96

Пусть $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$ . Показать, что

\begin{vmatrix} f_{1}\left(x_{1}\right) & f_{1}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{1}\left(x_{n}\right) \\ f_{2}\left(x_{1}\right) & f_{2}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{2}\left(x_{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n}\left(x_{1}\right) & f_{n}\left(x_{2}\right) & \ldots & f_{n}\left(x_{n}\right) \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \binom {x_{1}}{1} & \binom {x_{2}}{1} & \ldots & \binom {x_{n}}{1} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \binom {x_{1}}{n-1} & \binom {x_{2}}{n-1} & \ldots & \binom {x_{n}}{n-1} \end{vmatrix} \cdot \begin{vmatrix} f_{1}\left(\xi _{1}\right) & f_{1}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & f_{1}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \\ f_{2}\left(\xi _{1}\right) & f_{2}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & f_{2}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ f_{n}\left(\xi _{1}\right) & f_{n}^{\prime }\left(\xi _{2}\right) & \ldots & f_{n}^{(n-1)}\left(\xi _{n}\right) \end{vmatrix},

где $\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \xi_{n}$ — некоторые числа, удовлетворяющие неравенствам, приведенным в конце предыдущей задачи.

?

Задача 5.97

Показать, что

\sum _{\nu =1}^{n} \frac{f\left(x_{\nu }\right)}{\left(x_{\nu }-x_{1}\right) \ldots \left(x_{\nu }-x_{\nu -1}\right)\left(x_{\nu }-x_{\nu +1}\right) \ldots \left(x_{\nu }-x_{n}\right)}=\frac{f^{(n-1)}(\xi )}{(n-1)!},

где $\xi$ — точка, заключенная внутри наименьшего интервала, содержащего попарно различные точки $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ .

?

Задача 5.98

Показать, что

\begin{aligned} & f(x+n h)-\binom {n}{1} f(x+(n-1) h)+\binom {n}{2} f(x+(n-2) h)-\ldots \\ & \ldots +(-1)^{n} f(x)=h^{n} f^{(n)}(\xi ), \end{aligned}

где $\xi$ заключено между $x$ и $x+n h$ ( $h$ может принимать и отрицательные значения). В частности, при $n=1$ имеем обычную теорему о среднем значении.

?

Задача 5.99

(Отличное от 95 обобщение теоремы о среднем значении на системы функций.) Пусть функции $h_{1}(x), h_{2}(x), \ldots , h_{n-1}(x)$ удовлетворяют неравенствам (**) задачи 93, $f(x)$ — произвольная функция и $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$ . Показать, что существует такое $\xi$ , $x_{1}<\xi <x_{n}$ , что

\operatorname {sign}\left(\begin{vmatrix} h_{1}\left(x_{1}\right) & h_{1}\left(x_{2}\right) & \ldots & h_{1}\left(x_{n}\right) \\ h_{2}\left(x_{1}\right) & h_{2}\left(x_{2}\right) & \ldots & h_{2}\left(x_{n}\right) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ h_{n-1}\left(x_{1}\right) & h_{n-1}\left(x_{2}\right) & \ldots & h_{n-1}\left(x_{n}\right) \\ f\left(x_{1}\right) & f\left(x_{2}\right) & \ldots & f\left(x_{n}\right) \end{vmatrix}\right)=\operatorname {sign}\left(\begin{vmatrix} h_{1}(\xi ) & h_{1}^{\prime }(\xi ) & \ldots & h_{1}^{(n-1)}(\xi ) \\ h_{2}(\xi ) & h_{2}^{\prime }(\xi ) & \ldots & h_{2}^{(n-1)}(\xi ) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ h_{n-1}(\xi ) & h_{n-1}^{\prime }(\xi ) & \ldots & h_{n-1}^{(n-1)}(\xi ) \\ f(\xi ) & f^{\prime }(\xi ) & \ldots & f^{(n-1)}(\xi ) \end{vmatrix}\right) .

?

Примечание.

?

L. c. 93. Полной индукцией; принять во внимание 89.

Задача 5.100

Доказать 76, основываясь на 91.

?

Обобщения теоремы Ролля