Применения правила знаков Декарта

Трансцендентное уравнение

где $\lambda$ — положительная правильная дробь, имеет единственный положительный корень; с возрастанием $n$ этот корень монотонно возрастает до бесконечности.

Функция $x^{-5}\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)^{-1}$ положительного переменного $x$ при $x \rightarrow 0$ и $x \rightarrow \infty$ стремится к нулю, а в промежутке между нулем и бесконечностью имеет один максимум и вовсе не имеет минимума.

Пусть $R(f)$ обозначает число перемен знака функции $f(x)$ в $(0,1)$, а $Z(K_n)$ — число нулей полинома

(см. введение к задаче 144 части II) в $(0,1)$. Доказать, что

Пусть радиус сходимости степенного ряда $a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots$ будет $\geqslant 1$. Показать, что число нулей этого степенного ряда в интервале $0<x<1$ не превышает числа перемен знака в последовательности

Пусть $C$ — число перемен знака конечной последовательности

положим

и пусть $P(1)=0$. Тогда $P(x)$ имеет не более $C+1$ положительных нулей. Показать также, что граница $C+1$ может достигаться.

Уравнение

где $\left(\frac{n}{p}\right)$ — символ Лежандра¹, имеет только один положительный корень, именно $x=1$.

Уравнение 162-й степени

имеет ровно пять положительных корней, причем все эти корни — простые.

(Дополнение к 36.) Если полином $a_{0}+a_{1} x+\ldots +a_{n} x^{n}$ имеет лишь вещественные нули, то $N=W$.

Пусть $\nu_{1}, \nu_{2}, \ldots , \nu_{n}$ — целые числа, $0 \leqslant \nu_{1}<\nu_{2}<\ldots <\nu_{n}$, далее $0<\alpha_{1}<\alpha_{2}<\ldots <\alpha_{n}$. Показать, что

(Этот определитель является обобщением определителя Вандермонда, получающегося при $\nu_{1}=0, \nu_{2}=1, \ldots , \nu_{n}=n-1$.)

Пусть $a_{0} \neq 0$, $a_{n} \neq 0$ и $2 m$ последовательных коэффициентов полинома $a_{0}+a_{1} x+\ldots +a_{n} x^{n}$ равны нулю ($m$ — целое положительное). Тогда полином имеет по меньшей мере $2 m$ мнимых нулей.

Пусть полином $P(x)$ имеет лишь вещественные нули, причем $P(0)=1$, $P(x) \neq \operatorname {const}$. Положим

Полиномы $1+b_{1} x+b_{2} x^{2}+\ldots +b_{2 m} x^{2 m}$ имеют лишь мнимые нули.

Пусть $m$ — целое число, большее или равное единице, и

где сумма распространена на все системы неотрицательных целых чисел $l_{1}, l_{2}, \ldots , l_{n}$, удовлетворяющих соотношению

Показать, что однородная симметрическая функция $S\left(x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}\right)$ $n$ вещественных переменных $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ является положительно определенной, т. е. больше нуля при всех системах значений $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$, кроме $x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0$.

Пусть полином $P(x)=x^{n}+\ldots$ имеет лишь положительные нули. Показать, что в разложении

все коэффициенты $B_{n}, B_{n+1}, \ldots$ положительны.