На чём основано правило знаков Декарта?

Пусть последовательность функций

следует правилу Декарта в открытом интервале $a<x<b$, т. е., точнее говоря, обладает следующим свойством: какова бы ни была последовательность $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ вещественных чисел, не всех равных нулю, число нулей линейной комбинации

лежащих в интервале $a<x<b$, не превосходит числа перемен знака в последовательности $a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$.

Показать, что тогда последовательность $h_{1}(x), h_{2}(x), \ldots , h_{n}(x)$ должна обладать следующим свойством: определители Вронского [VII, § 5]

образованные для всех систем целых чисел

не должны обращаться в нуль в интервале $a<x<b$. Кроме того, любые два из этих определителей, имеющие один и тот же порядок, должны иметь и общий знак. ($l=1,2,3, \ldots$ — число строк).

(Продолжение.) В частности, для применимости правила Декарта необходимо, чтобы в интервале $a<x<b$ отношения

были все положительны и либо все постоянно убывали, либо все постоянно возрастали.

(Продолжение.) Пусть $1 \leqslant \alpha \leqslant n$. Перечисленным в 87 условиям, налагаемым на определители Вронского, одновременно с $h_{1}(x), h_{2}(x), \ldots , h_{n}(x)$ удовлетворяют также $n-1$ функций

(Продолжение.) Приведенное в 87 необходимое условие применимости правила Декарта является также достаточным.

Проверить выполнение критерия 87 для рассмотренных в 77 функций $e^{\lambda_{1} x}, e^{\lambda_{2} x}, \ldots , e^{\lambda_{n} x}$.