Перемены знака функции

Пусть функция $f(x)$ отлична от нуля и имеет постоянный знак как в некоторой окрестности точки $a$, так и в некоторой окрестности точки $b$. Показать, что в интервале $a<x<b$ функция имеет четное или нечетное количество изменений знака, смотря по тому, будут ли $f(a)$ и $f(b)$ иметь одинаковые или же противоположные знаки.

Если функция $f(x)$ имеет в интервале $0<x<\infty$ $Z$ изменений знака, то функция $\int_{0}^{x} f(x) d x$ имеет в том же интервале не более $Z$ изменений знака.

Пусть $Z$ — число изменений знака и $N$ — число нулей функции $f(x)$ в одном и том же открытом интервале. Показать, что тогда $N-Z$ будет неотрицательным четным числом.

Если $f(a)=f(b)=0$, то в интервале $a<x<b$ производная $f^{\prime }(x)$ имеет нечетное число изменений знака.

Пусть вещественные числа $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$ не равны нулю и $a_{1}<a_{2}<\ldots <a_{n}$. В некоторых случаях можно утверждать, что дробно-рациональная функция

имеет лишь вещественные нули. В частности, это имеет место в следующих двух случаях:

Тригонометрический полином

с вещественными коэффициентами $a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ наверное имеет лишь вещественные нули, если выполняется неравенство