3

Первое доказательство правила знаков Декарта

[14/100%]
Показать
LaTeX
Задача 5.28

Если α\alpha положительно, то полиномы P(x)P(x) и P(αx)P(\alpha x) имеют одинаковое число перемен знака.

?
Задача 5.29

Обозначим числа перемен знака полиномов

P(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,P(−x)=a0−a1x+a2x2−…+(−1)nanxn \begin{gathered} P(x)=a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}, \\ P(-x)=a_{0}-a_{1} x+a_{2} x^{2}-\ldots +(-1)^{n} a_{n} x^{n} \end{gathered}

через W+W^{+}, соотв. W−W^{-}. Показать, что

W++W−⩽n. W^{+}+W^{-} \leqslant n .
?
Задача 5.30

Пусть α>0\alpha >0. При переходе от полинома

a0+a1x+a2x2+…+anxn a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}

к полиному

(α−x)(a0+a1x+a2x2+…+anxn)==αa0+(αa1−a0)x+(αa2−a1)x2+…−anxn+1 \begin{aligned} (\alpha -x)\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n}\right)= \\ =\alpha a_{0}+\left(\alpha a_{1}-a_{0}\right) x+\left(\alpha a_{2}-a_{1}\right) x^{2}+\ldots -a_{n} x^{n+1} \end{aligned}

число перемен знака возрастает и притом на нечетное число.

?
Примечание.
?

Для случая α=1\alpha =1 см. 15.

Задача 5.31

Пусть α>0\alpha >0. При переходе от степенного ряда

a0+a1x+a2x2+a3x3+… a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots

к степенному ряду

(α−x)(a0+a1x+a2x2+a3x3+…)==αa0+(αa1−a0)x+(αa2−a1)x2+… \begin{aligned} (\alpha -x)\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots \right)= \\ =\alpha a_{0}+\left(\alpha a_{1}-a_{0}\right) x+\left(\alpha a_{2}-a_{1}\right) x^{2}+\ldots \end{aligned}

число перемен знака не уменьшается. Более того, оно наверное возрастает, если первоначальный ряд a0+a1x+a2x2+…a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots сходится при x=αx=\alpha.

?
Примечание.
?

G. Pólya, Arch. d. Math. u. Phys., серия 3, т. 23, стр. 22, 1914.

Задача 5.32

Пусть α>0\alpha >0. При переходе от степенного ряда

a0+a1x+a2x2+a3x3+… a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots

к степенному ряду

(α+x)(a0+a1x+a2x2+a3x3+…)==αa0+(αa1+a0)x+(αa2+a1)x2+… \begin{aligned} (\alpha +x)\left(a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots \right)= \\ =\alpha a_{0}+\left(\alpha a_{1}+a_{0}\right) x+\left(\alpha a_{2}+a_{1}\right) x^{2}+\ldots \end{aligned}

число перемен знака не может возрасти.

?
Задача 5.33

При переходе от степенного ряда

a0+a1x+a2x2+a3x3+… a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+a_{3} x^{3}+\ldots

к степенному ряду

a0+a1x+a2x2+…1−x=a0+(a0+a1)x+(a0+a1+a2)x2+… \frac{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots }{1-x}=a_{0}+\left(a_{0}+a_{1}\right) x+\left(a_{0}+a_{1}+a_{2}\right) x^{2}+\ldots

число перемен знака не может возрасти.

?
Задача 5.34

Пусть α>0\alpha >0. При переходе от степенного ряда

a0+a11!x+a22!x2+a33!x3+… a_{0}+\frac{a_{1}}{1!} x+\frac{a_{2}}{2!} x^{2}+\frac{a_{3}}{3!} x^{3}+\ldots

к степенному ряду

eαx(a0+a11!x+a22!x2+…)=∑n=0∞a0αn+(n1)a1αn−1+…+ann!xn e^{\alpha x}\left(a_{0}+\frac{a_{1}}{1!} x+\frac{a_{2}}{2!} x^{2}+\ldots \right)=\sum _{n=0}^{\infty } \frac{a_{0} \alpha ^{n}+\binom {n}{1} a_{1} \alpha ^{n-1}+\ldots +a_{n}}{n!} x^{n}

число перемен знака не может возрасти.

?
Примечание.
?

Laguerre, 1. c. 1, стр. 22. В доказательстве имеются пробелы.

Задача 5.35

Пусть p1,p2,…,pnp_{1}, p_{2}, \ldots , p_{n} — положительные числа. Положим

a0+a1xp1−x+a2x2(p1−x)(p2−x)+…+anxn(p1−x)(p2−x)…(pn−x)==A0+A1x+A2x2+… \begin{aligned} a_{0}+\frac{a_{1} x}{p_{1}-x}+\frac{a_{2} x^{2}}{\left(p_{1}-x\right)\left(p_{2}-x\right)}+\ldots +\frac{a_{n} x^{n}}{\left(p_{1}-x\right)\left(p_{2}-x\right) \ldots \left(p_{n}-x\right)}= \\ =A_{0}+A_{1} x+A_{2} x^{2}+\ldots \end{aligned}

(для достаточно малых xx ряд сходится). Показать, что число перемен знака в конечной последовательности a0,a1,a2,…,ana_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n} будет не меньше числа перемен знака в бесконечной последовательности A0,A1,A2,…A_{0}, A_{1}, A_{2}, \ldots

?
Примечание.
?

Полная индукция, 31.

Задача 5.36

Пусть NN — число положительных нулей полинома a0+a1x+a2x2+…+anxna_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots +a_{n} x^{n} и WW — число перемен знака в последовательности его коэффициентов. Показать, что

W−N⩾0. W-N \geqslant 0 .
?
Примечание.
?
Задача 5.37

(Продолжение.) W−NW-N есть четное число.

?
Задача 5.38

Пусть ρ\rho — радиус сходимости степенного ряда a0+a1x+a2x2+…a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}+\ldots, NN — число его нулей в интервале 0<x<ρ0<x<\rho и WW — число перемен знака в последовательности коэффициентов этого ряда. Показать, что

N⩽W. N \leqslant W .

Значит, в частности, если WW конечно, то NN также конечно.

?
Примечание.
?

Laguerre, 1. c. 1, стр. 5. Наряду с 31 применить некоторые сведения из теории функций.

Задача 5.39

Степенной ряд

2−x1⋅2−x22⋅3−x33⋅4−… 2-\frac{x}{1 \cdot 2}-\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}-\frac{x^{3}}{3 \cdot 4}-\ldots

не имеет нулей в своем круге сходимости. (Последовательность его коэффициентов имеет одну перемену знака — теорема 37 на степенные ряды автоматически не переносится!)

?
Задача 5.40

(Продолжение задачи 38.) Если ρ=∞\rho =\infty или же ρ\rho конечно, но ряд a0+a1ρ+a2ρ2+…a_{0}+a_{1} \rho +a_{2} \rho^{2}+\ldots расходится, то разность W−NW-N представляет собой неотрицательное четное число (здесь предполагается, что WW конечно).

?
Задача 5.41

Обозначим наименьшее из вещественных чисел ξ1,ξ2,…,ξn\xi_{1}, \xi_{2}, \ldots , \xi_{n} через ξα\xi_{\alpha }, а наибольшее — через ξω\xi_{\omega }. Число нулей полинома

a0+a1(x−ξ1)+a2(x−ξ1)(x−ξ2)+…+an(x−ξ1)(x−ξ2)…(x−ξn), a_{0}+a_{1}\left(x-\xi _{1}\right)+a_{2}\left(x-\xi _{1}\right)\left(x-\xi _{2}\right)+\ldots +a_{n}\left(x-\xi _{1}\right)\left(x-\xi _{2}\right) \ldots \left(x-\xi _{n}\right),

лежащих в интервале ξω<x<∞\xi_{\omega }<x<\infty, либо равно, либо на четное число меньше числа перемен знака в последовательности

a0,a1,a2,…,an, a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n},

а число нулей этого полинома, лежащих в интервале −∞<x<ξα-\infty <x<\xi_{\alpha }, точно так же либо равно, либо на четное число меньше числа перемен знака в последовательности

a0,−a1,a2,−a3,…,(−1)nan. a_{0},-a_{1}, a_{2},-a_{3}, \ldots ,(-1)^{n} a_{n} .

(При ξ1=ξ2=…=ξn\xi_{1}=\xi_{2}=\ldots =\xi_{n} равносильно 36, 37.)

?
Примечание.
?

C. Runge, см. 1. c. 31, стр. 25. См. также 35.