Глава 10

Банаховы пространства

[270/19%]

Показать

LaTeX

Показать LaTeX

\LebesgueSpace{p}

[50/18%]

Задача 10.2.1

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<\infty$ , и для функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ пусть $[f]$ обозначает класс эквивалентности, состоящий из всех функций, равных $f$ п.в. Докажите, что операции, определённые формулами $[f]+[g]=[f+g]$ и $[\alpha f]=\alpha [f]$ , где $\alpha \in \mathbb {R}$ , корректно определены, и то же самое верно для $\left\| [f]\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{p}$ .

Задача 10.2.2

Докажите Предложение 10.2.5.

Предложение 10.2.5: $L^{\infty }\left(X, \mu \right)$ является векторным пространством.

Задача 10.2.3

Докажите Предложение 10.2.6.

Предложение 10.2.6: $L^{1}\left(X, \mu \right)$ является нормированным векторным пространством с нормой, определённой как $\left\| f\right\|_{1} := \int_{X} \left|f\right| \, d\mu$ .

Задача 10.2.4

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<\infty$ , и пусть $\mathcal{L}^{p}$ — множество всех функций таких, что $\int_{X}\left|f\right|^{p} d \mu <\infty$ . Докажите, что $d(f, g):=\left(\int_{X}\left|f-g\right|^{p}\right)^{1 / p}$ не задаёт расстояния на $\mathcal{L}^{p}$ . Сформулируйте и докажите аналогичный результат для пространства всех ограниченных функций.

Задача 10.2.5

Проверьте утверждение, сделанное в Примере 10.2.16.

Пример 10.2.16 (все включения $L^{p_{2}}\left(E\right) \subset L^{p_{1}}\left(E\right)$ строгие): Пусть $E=(0,1]$ , $-1/p_{1} < \alpha < -1/p_{2}$ , и $f(x)=x^{\alpha }$ . Тогда $f \in L^{p_{1}}\left(E\right) \setminus L^{p_{2}}\left(E\right)$ .

Задача 10.2.6

Для $f \in L^{1}\left(a, b\right)$ определим $\left\| f\right\| =\int_{a}^{b} x^{2}\left|f(x)\right| d x$ . Докажите, что $\left\| \right\|$ является нормой на $L^{1}\left(a, b\right)$ .

Задача 10.2.7

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, и пусть $f \in L^{\infty }\left(X, \mu \right)$ . Докажите, что

\left\| f\right\| _{1}=\lim _{p \rightarrow 1}\left\| f\right\| _{p}

Задача 10.2.8

Покажите, что если $f(x)=\ln (1 / x)$ для $x \in (0,1]$ , то $f$ принадлежит $L^{p}(0,1]$ для всех $1 \leq p<\infty$ , но не принадлежит $L^{\infty }(0,1]$ .

Задача 10.2.9

Пусть $f$ — абсолютно непрерывная функция на $[0,1]$ такая, что $f(0)=0$ и

\int _{0}^{1}\left|f^{\prime }(x)\right|^{2} d x<\infty

Докажите, что

\lim _{x \rightarrow 0+} \frac{f(x)}{\sqrt{x}}

существует, и вычислите значение этого предела.

Задача 10.2.10

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, для которого $\mu (X)=1$ , и пусть $f$ — измеримая функция на $X$ . Докажите, что функция $F(p):=\left\| f\right\|_{p}$ является возрастающей на $[1, \infty )$ . При каких условиях $F$ строго возрастает?

Задача 10.2.11

Докажите или опровергните: существует функция $f$ , ограниченная и непрерывная на $(0,+\infty )$ , для которой $\lim_{x \rightarrow \infty } f(x)=0$ , но $f \notin L^{p}\left(0, \infty \right)$ ни для какого $p>0$ .

Задача 10.2.12

Докажите, что равенство в неравенстве Юнга выполняется тогда и только тогда, когда $b=a^{p / q}$ .

Задача 10.2.13

Докажите, что равенство в неравенстве Гёльдера, т.е. $\int_{X}\left|f g\right|= \left\| f\right\|_{p}\left\| g\right\|_{q}$ , выполняется тогда и только тогда, когда $\left\| g\right\|_{q}^{q}\left|f\right|^{p}=\left\| f\right\|_{p}^{p}\left|g\right|^{q}$ п.в.

Задача 10.2.14

Докажите, что при $1<p<\infty$ равенство в неравенстве Минковского (10.7) выполняется тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные числа $a, b$ , не равные нулю одновременно, такие, что $a f=b g$ п.в.

Задача 10.2.15

Докажите, что при $p=1$ равенство в неравенстве Минковского (10.7) выполняется тогда и только тогда, когда $f g \geq 0$ п.в.

Задача 10.2.16

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<q<r<\infty$ , и пусть $f \in L^{q}\left(X, \mu \right)$ . Докажите, что для каждого $t>0$ существуют функции $g \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ и $h \in L^{r}\left(X, \mu \right)$ такие, что $f=g+h$ и

\left\| g\right\| _{p}^{p} \leq t^{p-q}\left\| f\right\| _{q}^{q}, \quad \left\| h\right\| _{r}^{r} \leq t^{r-q}\left\| f\right\| _{q}^{q} .

Задача 10.2.17

Докажите Предложение 10.2.15.

Предложение 10.2.15: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой и $1 \leq p_{1} < p_{2} \leq \infty$ . Тогда $L^{p_{2}}\left(X, \mu \right) \subset L^{p_{1}}\left(X, \mu \right)$ . Более того, $\left\| f\right\|_{p_{1}} \leq C \left\| f\right\|_{p_{2}}$ для всех $f \in L^{p_{2}}\left(X, \mu \right)$ , где $C = \left(\mu \left(X\right)\right)^{(p_{2}-p_{1})/(p_{1} p_{2})}$ , если $p_{2} < \infty$ , и $C = \left(\mu \left(X\right)\right)^{1/p_{1}}$ , если $p_{2} = \infty$ .

Задача 10.2.18

Приведите пример пространства с мерой и чисел $p_{1}>p_{2} \geq 1$ таких, что $L^{p_{1}}(X)$ и $L^{p_{2}}(X)$ совпадают.

Задача 10.2.19

Проверьте утверждение, сделанное в Замечании 10.2.17.

Задача 10.2.20

Пусть $0<\alpha \leq \beta$ и $f(x)=1 /\left(x^{\alpha }+x^{\beta }\right)$ . Определите, при каких значениях $p$ функция $f$ принадлежит $L^{p}[0,+\infty )$ .

Задача 10.2.21

Пусть $p, q, r$ — положительные числа, удовлетворяющие $1 / p+1 / q+1 / r=1$ , и предположим, что $f \in L^{p}\left(X, \mu \right), g \in L^{q}\left(X, \mu \right), h \in L^{r}\left(X, \mu \right)$ . Докажите, что функция $f g h$ интегрируема и что $\left\| f g h\right\|_{1} \leq \left\| f\right\|_{p}\left\| g\right\|_{q}\left\| h\right\|_{r}$ .

Задача 10.2.22

Пусть $1 \leq p \leq r \leq q \leq \infty$ . Докажите, что

L^{p}\left(X, \mu \right) \cap L^{q}\left(X, \mu \right) \subset L^{r}\left(X, \mu \right)

и что, если $f \in L^{p}\left(X, \mu \right) \cap L^{q}\left(X, \mu \right)$ , то

\left\| f\right\| _{r} \leq \left\| f\right\| _{p}^{\alpha }\left\| f\right\| _{q}^{\beta }, \quad \text{ где } \quad \alpha =\frac{r^{-1}-q^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}, \beta =\frac{p^{-1}-r^{-1}}{p^{-1}-q^{-1}}

и $q^{-1}$ заменяется на 0, если $q=\infty$ .

Задача 10.2.23

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, и пусть $f \in L^{\infty }\left(X, \mu \right)$ . Докажите, что

\left\| f\right\| _{\infty }=\lim _{p \rightarrow \infty }\left\| f\right\| _{p}=\lim _{p \rightarrow \infty } \frac{\left\| f\right\| _{p+1}^{p+1}}{\left\| f\right\| _{p}^{p}}

Задача 10.2.24

(a)(b)

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность функций на $[0,1]$ такая, что $f_{n}$ абсолютно непрерывна для каждого $n \in \mathbb {N}$ , $f_{n}(0)=0$ для каждого $n \in \mathbb {N}$ , и последовательность $\left\{ f_{n}^{\prime }\right\}$ сходится в $L^{1}\left(0,1\right)$ .

Докажите, что:

(a)

последовательность $\left\{ f_{n}(x)\right\}$ сходится для всех $x \in [0,1]$ ;

(b)

предел последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ абсолютно непрерывен.

Задача 10.2.25

Для $p \in [1,+\infty ]$ найдите значения параметра $\lambda$ , при которых

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\varepsilon ^{\lambda }} \int _{0}^{\varepsilon } f=0, \quad \text{ для всех } f \in L^{p}\left(0,1\right)

Задача 10.2.26

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой, и для измеримой функции $f$ пусть $E_{n}=\left\{ x \in X: n-1 \leq \left|f(x)\right|<n\right\}$ . Докажите, что $f \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ , $1 \leq p<\infty$ , тогда и только тогда, когда

\sum _{n=1}^{\infty } n^{p} \mu \left(E_{n}\right)<+\infty

Является ли конечность $\mu$ необходимой?

Задача 10.2.27

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, и пусть $0<p<1$ . Докажите, что $\left\| \cdot \right\|_{p}$ не является нормой на $L^{p}\left(X, \mu \right)$ .

Задача 10.2.28

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой такое, что $\mu (X)=1$ , пусть $f, g \in L^{2}\left(X, \mu \right)$ , и предположим, что $\int_{X} f d \mu =0$ . Докажите, что

\left(\int _{X} f g d \mu \right)^{2} \leq \left(\int _{X} g^{2} d \mu -\left(\int _{X} g d \mu \right)^{2}\right) \int _{X} f^{2} d \mu

Задача 10.2.29

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой такое, что $\mu (X)=1$ . Для $1<p<\infty$ пусть

\mathcal{A}_{p}=\left\{ f \in L^{1}\left(X, \mu \right):\left\| f\right\| _{1}=1,\left\| f\right\| _{p}=2^{1 / p}\right\}

Докажите, что для каждого $0<\varepsilon <1$ существует $\delta_{p}>0$ такое, что

\mu (\left\{ x \in X:\left|f(x)\right|>\varepsilon \right\} ) \geq \delta _{p}

для каждого $f \in \mathcal{A}_{p}$ .

Задача 10.2.30

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, и пусть $f$ — неотрицательная измеримая функция на $X$ . Предположим, что

\int _{X} f^{2} d \mu =\int _{X} f^{3} d \mu =\int _{X} f^{4} d \mu

Докажите, что $f=f^{2}$ п.в.

Задача 10.2.31

(a)(b)

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset L^{p}\left(0,1\right),\left\{ g_{n}\right\} \subset L^{q}\left(0,1\right), 1 / p+1 / q=1$ , и предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ в $L^{p}\left(0,1\right)$ и что $\left\{ g_{n}\right\}$ сходится к $g$ в $L^{q}\left(0,1\right)$ . Докажите или опровергните:

(a)

Последовательность $\left\{ f_{n} g_{n}\right\}$ сходится к $f g$ в $L^{1}\left(0,1\right)$ .

(b)

Последовательность $\left\{ f_{n} g_{n}\right\}$ сходится по мере к $f g$ .

Задача 10.2.32

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность функций в $L^{\infty }\left(X\right)$ , сходящаяся п.в. к функции $f$ , и предположим, что $\left\| f_{n}\right\|_{\infty } \leq M$ для всех $n \in \mathbb {N}$ . Докажите, что $\left\| f\right\|_{\infty } \leq M$ .

Задача 10.2.33

Пусть $E$ — измеримое подмножество $[0,1]$ , для которого $m(E)>0$ , и пусть $p<q$ . Докажите или опровергните: существует функция, принадлежащая $L^{p}\left(0,1\right)$ , но не принадлежащая $L^{q}\left(E\right)$ .

Задача 10.2.34

Пусть $E$ — измеримое множество, и пусть $g$ — функция, определённая на $E$ . Докажите, что произведение $f g$ принадлежит $L^{1}\left(E\right)$ для каждой функции $f \in L^{1}\left(E\right)$ тогда и только тогда, когда $g \in L^{\infty }\left(E\right)$ .

Задача 10.2.35

Пусть $f$ — функция, принадлежащая одновременно $L^{4}\left(\mathbb {R}\right)$ и $L^{8}\left(\mathbb {R}\right)$ . Обязана ли $f$ принадлежать $L^{5}\left(\mathbb {R}\right)$ ? $L^{2}\left(\mathbb {R}\right)$ ?

Задача 10.2.36

Докажите или опровергните: если $f \in L^{1}\left(0,+\infty \right)$ , то существует интервал $(a, b)$ такой, что $f \in L^{2}\left(a, b\right)$ .

Задача 10.2.37

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, для которого $\mu (X)=1$ , и пусть $p, q$ — два различных числа из $[1,+\infty ]$ . Охарактеризуйте те измеримые вещественнозначные функции $f$ , для которых $\left\| f\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{q}$ .

Задача 10.2.38

Пусть $1 \leq p<q \leq \infty$ . Докажите, что $\ell^{p} \subset \ell^{q}$ . Является ли включение строгим?

Задача 10.2.39

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<q \leq \infty$ , и предположим, что $f \in L^{r}\left(X, \mu \right)$ для всех $r \in (p, q)$ . Докажите, что

\lim _{r \rightarrow q^{-}}\left\| f\right\| _{r}=\left\| f\right\| _{q}, \quad \text{ и } \quad \lim _{r \rightarrow p^{+}}\left\| f\right\| _{r}=\left\| f\right\| _{p} .

Задача 10.2.40

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \nu )$ — пространство с конечной мерой, и пусть $\mu$ — знакопеременная мера на $\mathfrak {M}$ такая, что $\left|\mu \right|$ $\sigma$ -конечна и $\mu \ll \nu$ . Докажите, что $d \mu / d \nu \in L^{p}\left(X, \nu \right)$ тогда и только тогда, когда существует константа $C>0$ такая, что

\sum _{k=1}^{n} \frac{\left|\mu \right|\left(A_{k}\right)^{p}}{\nu \left(A_{k}\right)^{p-1}} \leq C

для любого конечного непересекающегося набора $\left\{ A_{k}\right\} \subset \mathfrak {M}$ , удовлетворяющего $X=\cup_{k=1}^{n} A_{k}$ и $\nu \left(A_{k}\right)>0$ , для $1 \leq k \leq n$ . Определите связь между наименьшей такой константой $C$ и $\left\| d \mu / d \nu \right\|_{p}$ .

Задача 10.2.41

Пусть $1 \leq p<\infty$ и $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$ . Найдите $\lim_{\left|y\right| \rightarrow \infty } \int_{\mathbb {R}} \left|f(x+y)+f(x)\right|^{p} d x$ .

Задача 10.2.42

Пусть $1 \leq p<\infty$ . Докажите или опровергните: $\cap_{1 \leq r<p} L^{r}\left(0,1\right) \subset L^{p}\left(0,1\right)$ .

Задача 10.2.43

Пусть $1 \leq p<\infty$ . Докажите или опровергните: $\cup_{r>p} L^{r}\left(0,1\right) \supset L^{p}\left(0,1\right)$ .

Задача 10.2.44

Пусть $1 \leq p<\infty$ . Докажите или опровергните: $\cap_{r>p} L^{r}\left(\mathbb {R}\right) \subset L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$ .

Задача 10.2.45

Пусть $1 \leq p<\infty$ . Докажите или опровергните: $\cup_{1 \leq r<p} L^{r}\left(\mathbb {R}\right) \supset L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$ .

Задача 10.2.46

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $f \in L^{\infty }\left(X, \mu \right)$ . Существенным множеством значений $f$ называется множество $R_{f}$ всех $y \in \mathbb {R}$ , для которых множество $\left\{ x:\left|f(x)-y\right|<\varepsilon \right\}$ имеет положительную меру для каждого $\varepsilon >0$ . Докажите, что $R_{f}$ компактно и что $\left\| f\right\|_{\infty }=\sup \left\{ \left|y\right|: y \in R_{f}\right\}$ .

Задача 10.2.47

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, пусть $1 \leq p<\infty$ , пусть $\theta >0$ , и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — ограниченная последовательность в $L^{p+\theta }\left(X, \mu \right)$ , сходящаяся п.в. к функции $f$ . Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по норме $L^{p}\left(X, \mu \right)$ .

Задача 10.2.48

Докажите, что $\sqrt{\cos t \sin^{3} t}+\sqrt{\sin t \cos^{3} t} \leq 1$ для всех $t \in [0,2 \pi ]$ .

Задача 10.2.49

Докажите, что для любого $1<p<\infty$ ,

\bigcup _{q<p} \ell ^{q} \neq \ell ^{p} .

Задача 10.2.50

Для $p \in [1,+\infty ]$ докажите, что замкнутый единичный шар $\ell^{p}$ не компактен.

10.3 · Полнота пространства

\LebesgueSpace{p}

[41/22%]

Задача 10.3.1

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{1}\left(X\right)$ , сходящаяся равномерно к функции $f$ . Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по норме $L^{1}\left(X\right)$ . Остаётся ли это верным, если $\mu (X)=\infty$ ?

Задача 10.3.2

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой, и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{p}\left(X, \mu \right)$ , являющаяся равномерно последовательностью Коши. Докажите, что она сходится к функции $f$ , принадлежащей $L^{p}$ .

Задача 10.3.3

Докажите теорему Рисса--Фишера.

Задача 10.3.4

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \subset L^{p}\left(X, \mu \right), 1 \leq p \leq \infty$ . Предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к 0 по норме $L^{p}$ . Докажите, что она сходится к 0 по мере.

Задача 10.3.5

(a)(b)

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность измеримых функций, сходящаяся по мере к функции $f$ , и пусть $1 \leq p<\infty$ .

(a)

Если существует $g \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ такая, что $\left|f_{n}\right| \leq g$ для всех $n \in \mathbb {N}$ , докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по норме $L^{p}\left(X, \mu \right)$ .

(b)

Приведите пример, показывающий, что импликация из (a) неверна при $p=\infty$ .

Задача 10.3.6

Приведите пример последовательности, сходящейся по мере, но не по норме $L^{p}\left(X, \mu \right)$ , $1 \leq p \leq \infty$ .

Задача 10.3.7

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой, и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность неотрицательных интегрируемых функций такая, что $\lim \int_{X} f_{n} d \mu =0$ . Докажите или опровергните: $\lim f_{n}=0$ п.в.

Задача 10.3.8

Приведите пример последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ в $L^{1}\left(0,1\right)$ , обладающей следующими свойствами:

$\lim f_{n}(x)=0$ для всех $x \in [0,1]$ ;
существует $C>0$ такая, что $\int_{0}^{1}\left|f_{n}\right| \leq C$ для всех $n \in \mathbb {N}$ ;
$\left\{ f_{n}\right\}$ не сходится по норме $L^{1}\left(0,1\right)$ .

Задача 10.3.9

Приведите пример, показывающий, что Теорема 10.3.5 неверна при $p=\infty$ .

Теорема 10.3.5: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и $1 \leq p < \infty$ . Предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{p}\left(X, \mu \right)$ , сходящаяся п.в. на $X$ к функции $f$ , принадлежащей $L^{p}\left(X, \mu \right)$ . Тогда $\lim_{n} \left\| f_{n}-f\right\|_{p} = 0$ тогда и только тогда, когда $\lim_{n} \left\| f_{n}\right\|_{p} = \left\| f\right\|_{p}$ .

Задача 10.3.10

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и пусть $\left\{ f_{n}\right\} \in L^{p}\left(X, \mu \right) \cap L^{r}\left(X, \mu \right)$ для некоторых $p, r \in [1,+\infty )$ . Предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к функции $g$ по норме $L^{p}\left(X, \mu \right)$ и к функции $h$ по норме $L^{r}\left(X, \mu \right)$ . Докажите или опровергните: $g=h$ п.в.

Задача 10.3.11

Пусть

X=L^{1}\left(\mathbb {R}\right)+L^{2}\left(\mathbb {R}\right)=\left\{ g+h: g \in L^{1}\left(\mathbb {R}\right) \text{ и } h \in L^{2}\left(\mathbb {R}\right)\right\} .

Для $p \in [1, \infty )$ определим

\left\| f\right\| _{p}^{i n f}:=\inf \left\{ \left(\left\| g\right\| _{1}^{p}+\left\| h\right\| _{2}^{p}\right)^{1 / p}: f=g+h, g \in L^{1}\left(\mathbb {R}\right) \text{ и } h \in L^{2}\left(\mathbb {R}\right)\right\} .

Покажите, что $\left\| f\right\|_{p}^{i n f}$ является нормой для каждого $p$ , и что $X$ — банахово пространство относительно каждой из этих норм.

Задача 10.3.12

Пусть

X=L^{p_{1}}(\mathbb {R})+L^{p_{2}}(\mathbb {R})=\left\{ g+h: g \in L^{p_{1}}(\mathbb {R}) \text{ и } h \in L^{p_{2}}(\mathbb {R})\right\} .

Для $p_{1}, p_{2} \in [1, \infty )$ определим

\left\| f\right\| _{p_{1}, p_{2}}:=\inf \left\{ \left\| g\right\| _{p_{1}}+\left\| h\right\| _{p_{2}}: f=g+h, g \in L^{p_{1}}(\mathbb {R}) \text{ и } h \in L^{p_{2}}(\mathbb {R})\right\} .

Покажите, что $\left\| f\right\|_{p_{1}, p_{2}}$ является нормой для каждой пары $p_{1}, p_{2}$ , и что $X$ — банахово пространство относительно каждой из этих норм.

Задача 10.3.13

Пусть $X=\mathbb {R}^{n+1}$ с произведением мер $m_{n} \times m$ на $\sigma$ -алгебре $\mathcal{M}_{n} \otimes \mathcal{M}$ , и пусть $L^{p, r}$ — пространство классов эквивалентности совместно измеримых функций $f(x, t), x \in \mathbb {R}^{n}, t \in \mathbb {R}$ , для которых норма определяется как

\left\| f\right\| _{p, r}=\left(\int _{\mathbb {R}}\left(\int _{\mathbb {R}^{n}}\left|f\right|^{p} d m_{n}\right)^{r / p} d m\right)^{1 / r}

Докажите, что $\left\| f\right\|_{p, r}$ является нормой для каждой пары $1 \leq p, r<\infty$ и что с этой нормой $L^{p, r}$ — банахово пространство.

Задача 10.3.14

Пусть $1 \leq p \leq r \leq q<\infty$ . Докажите, что $L^{p}\left(0,1\right) \cap L^{q}\left(0,1\right)$ является плотным подпространством $L^{r}\left(0,1\right)$ . Остаётся ли результат верным, если $q=\infty$ ?

Задача 10.3.15

(a)(b)(c)

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<\infty$ , и пусть $\left\{ f_{n}\right\} \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ . Предположим, что

0<c=\inf _{k}\left\| f_{k}\right\| _{p} \leq \sup _{k}\left\| f_{k}\right\| _{p}=C<\infty \quad \text{ и } \quad f_{i} f_{j}=0 \quad \text{ при } i \neq j .

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}$ — последовательность вещественных чисел такая, что $\sum_{k}\left|a_{k}\right|^{p}<\infty$ , и пусть $f=\sum_{k} a_{k} f_{k}$ . Докажите, что:

(a)

$f \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ ;

(b)

$\left\| f\right\|_{p} \leq C\left(\sum_{k}\left|a_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}$ ;

(c)

$\left\| f\right\|_{p} \geq c\left(\sum_{k}\left|a_{k}\right|^{p}\right)^{1 / p}$ .

Задача 10.3.16

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p \leq \infty$ , и пусть $\left\{ f_{n}\right\} \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ такие, что $\lim_{n}\left\| f_{n}\right\|_{p}=0$ . Докажите, что существует подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}\right\}$ и неотрицательная функция $h \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ такие, что $\left|f_{n_{k}}\right| \leq h$ п.в. $[\mu ]$ и $\lim_{k} f_{n_{k}}=0$ п.в. $[\mu ]$ .

Задача 10.3.17

Приведите пример последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ в $L^{p}\left(0,1\right)$ , сходящейся к функции $f$ по норме $L^{p}\left(0,1\right)$ , но не сходящейся поточечно ни в одной точке $[0,1]$ .

Задача 10.3.18

Пусть $1 \leq p<\infty$ , и пусть $E_{p}=\left\{ f \in L^{p}\left(\mathbb {R}\right): \int_{\mathbb {R}} f d \mu =0\right\}$ . Докажите, что $E_{p}$ замкнуто тогда и только тогда, когда $p=1$ .

Задача 10.3.19

Пусть $A=\left\{ f \in L^{2}\left(0,1\right): \exists \text{ интервал } I_{f} \subset [0,1], 1 / 2 \in I_{f}, f=0 \text{ п.в. на } I_{f}\right\}$ . Докажите или опровергните: $A$ является замкнутым подмножеством $L^{2}$ .

Задача 10.3.20

Пусть $\mathcal{F}=\left\{ f \in L^{2}\left(0,1\right): f([0,1]) \subset [0,1] \text{ п.в.}\right\}$ . Докажите или опровергните: $\mathcal{F}$ является замкнутым подмножеством $L^{2}$ .

Задача 10.3.21

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset A C[0,1]$ , пусть $f_{n}(0)=0$ для всех $n \in \mathbb {N}$ , и предположим, что $\left\{ f_{n}^{\prime }\right\}$ — последовательность Коши в $L^{1}\left(0,1\right)$ . Докажите, что существует $f \in A C[0,1]$ такая, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ равномерно на $[0,1]$ .

Задача 10.3.22

Пусть $A C[0,1]$ обозначает нормированное пространство абсолютно непрерывных функций на $[0,1]$ с нормой $\left\| f\right\| :=\left|f(0)\right|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime }(t)\right| d t$ . Докажите, что $A C[0,1]$ — банахово пространство с этой нормой.

Задача 10.3.23

Пусть $B V[0,1]$ обозначает нормированное пространство функций ограниченной вариации на $[0,1]$ с нормой $\left\| f\right\| :=\left|f(0)\right|+V_{0}^{1}(f)$ . Докажите, что $B V[0,1]$ — банахово пространство с этой нормой.

Задача 10.3.24

Пусть $\operatorname {Lip}[0,1]$ обозначает векторное пространство липшицевых функций на $[0,1]$ с нормой

\left\| f\right\| :=\left|f(0)\right|+\sup \left\{ \frac{\left|f(x)-f(y)\right|}{\left|x-y\right|}: x, y \in [0,1], x \neq y\right\} .

Докажите, что $\operatorname {Lip}[0,1]$ — банахово пространство с этой нормой.

Задача 10.3.25

Докажите, что $\ell^{p}$ является банаховым пространством.

Задача 10.3.26

Докажите, что $\ell^{\infty }$ является банаховым пространством.

Задача 10.3.27

(a)(b)

Пусть $1 \leq p<q \leq \infty$ .

(a)

Является ли замкнутый единичный шар $L^{p}\left(0,1\right)$ замкнутым подмножеством $L^{q}\left(0,1\right)$ ?

(b)

Является ли замкнутый единичный шар $L^{q}\left(0,1\right)$ замкнутым подмножеством $L^{p}\left(0,1\right)$ ?

Задача 10.3.28

(a)(b)

Пусть $1 \leq p \leq \infty$ , и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{p}\left(0,1\right)$ такая, что

f(x)=\sum _{n=1}^{\infty } f_{n}(x) \quad \text{ п.в. } x \in [0,1] \quad \text{ и } \quad \sum _{n=1}^{\infty }\left\| f_{n}\right\| _{p}<\infty .

(a)

Докажите, что для п.в. $x \in [0,1]$

\sum _{n=1}^{\infty }\left|f_{n}(x)\right|<\infty

(b)

Докажите, что $f \in L^{p}\left(0,1\right)$ и что

\left\| f\right\| _{p} \leq \sum _{n=1}^{\infty }\left\| f_{n}\right\| _{p}<\infty

Задача 10.3.29

Пусть $1 \leq p \leq \infty$ , пусть $g \in L^{p}\left(0,1\right)$ , и пусть $\mathcal{F}$ — подмножество $L^{p}\left(0,1\right)$ , состоящее из функций $f$ , не превосходящих $g$ п.в. Докажите, что $\mathcal{F}$ является замкнутым нигде не плотным подмножеством $L^{p}\left(0,1\right)$ . Сделайте вывод, что множество всех неотрицательных функций в $L^{p}\left(0,1\right)$ является замкнутым нигде не плотным подмножеством $L^{p}\left(0,1\right)$ .

Задача 10.3.30

Приведите пример последовательности, сходящейся равномерно, но не по норме $L^{p}\left(X, \mu \right)$ , $1 \leq p<\infty$ .

Задача 10.3.31

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<\infty$ , и пусть $f$ и $\left\{ f_{n}\right\}$ — функции в $L^{p}\left(X, \mu \right)$ такие, что $\lim_{n}\left\| f_{n}\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{p}$ и $\lim_{n} f_{n}=f$ по мере. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по норме $L^{p}\left(X, \mu \right)$ .

Задача 10.3.32

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, пусть $1 \leq r<p<\infty$ , и пусть $f$ и $\left\{ f_{n}\right\}$ — измеримые функции такие, что $\sup_{n}\left\| f_{n}\right\|_{p}<\infty$ и $\lim_{n} f_{n}=f$ п.в. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по норме $L^{r}\left(X, \mu \right)$ .

Задача 10.3.33

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ E_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$ таковы, что $\mu \left(E_{n}\right)< \infty$ для всех $n \in \mathbb {N}$ , и предположим, что $\left\{ \chi_{E_{n}}\right\}$ сходится к функции $f$ по норме $L^{1}\left(X, \mu \right)$ . Докажите, что $f$ равна п.в. характеристической функции некоторого измеримого множества.

Задача 10.3.34

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $0<p<1$ , и для $f, g \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ пусть

d(f, g):=\int _{X}\left|f-g\right|^{p} d \mu

Докажите, что $d$ является метрикой, относительно которой $L^{p}\left(X, \mu \right)$ полно.

Задача 10.3.35

По неравенству Гёльдера, $L^{2}\left(a, b\right) \subset L^{1}\left(a, b\right)$ . Покажите, что множество $L^{2}\left(a, b\right)$ , рассматриваемое как подмножество полного метрического пространства $L^{1}\left(a, b\right)$ , является множеством первой категории.

Задача 10.3.36

Докажите, что $\left\| f\right\| =\left\| f\right\|_{1}+\left\| f^{\prime }\right\|_{1}$ задаёт норму на $A C[0,1]$ и что относительно этой нормы оно является банаховым пространством.

Задача 10.3.37

Пусть $V$ — замкнутое линейное подпространство $L^{1}\left(0,1\right)$ . Предположим, что для каждой $f \in V$ существует $p>1$ такое, что $f \in L^{p}\left(0,1\right)$ . Покажите, что существует $q>1$ такое, что $V \subset L^{q}\left(0,1\right)$ .

Задача 10.3.38

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $E$ — непустое измеримое подмножество $X$ , и пусть $V$ состоит из тех функций в $L^{p}\left(X, \mu \right)$ , которые обращаются в нуль на $E$ . Докажите, что $V$ является замкнутым подпространством $L^{p}\left(X, \mu \right)$ .

Задача 10.3.39

Докажите или опровергните: существует непустое замкнутое множество в $L^{p}\left(0,1\right)$ , не содержащее элемента наименьшей нормы.

Задача 10.3.40

Для $p \in [1,+\infty ]$ докажите, что замкнутый единичный шар $L^{p}\left(0,1\right)$ не компактен.

Задача 10.3.41

Пусть $X$ — банахово пространство, пусть $1 \leq p<\infty$ , и определим $\ell^{p}(X)$ как пространство всех последовательностей $\left\{ x_{n}\right\} \subset X$ таких, что $\sum_{n}\left\| x_{n}\right\|^{p}<\infty$ . Докажите, что $\left\| \left\{ x_{n}\right\} \right\| :=\left(\sum_{n}\left\| x_{n}\right\|^{p}\right)^{1 / p}$ задаёт норму на $\ell^{p}(X)$ и что она делает $\ell^{p}(X)$ банаховым пространством.

10.4 · Плотные множества в

\LebesgueSpace{p}

[43/19%]

Задача 10.4.1

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой. Докажите, что $A \sim B \Leftrightarrow \mu (A \triangle B)=0$ задаёт отношение эквивалентности на $\mathfrak {M}$ .

Задача 10.4.2

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, $A \sim B \Leftrightarrow \mu (A \triangle B)=0$ , и пусть $d: \mathfrak {M} / \sim \times \mathfrak {M} / \sim \rightarrow \mathbb {R}$ определяется как $d([A],[B])=\mu (A \triangle B)$ . Докажите, что $(\mathfrak {M} / \sim , d)$ является метрическим пространством.

Задача 10.4.3

Докажите, что $\left(\mathbb {R}^{n}, \mathcal{M}_{n}, m_{n}\right)$ является сепарабельным пространством с мерой для каждого $n \in \mathbb {N}$ .

Задача 10.4.4

Пусть $A$ обозначает подмножество $\ell^{p}, 1 \leq p<\infty$ , состоящее из всех последовательностей, имеющих лишь конечное число ненулевых членов. Докажите, что $A$ плотно в $\ell^{p}$ . Сделайте вывод, что $\ell^{p}$ является сепарабельным банаховым пространством при $1 \leq p<\infty$ .

Задача 10.4.5

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, и пусть $1 \leq p<r<\infty$ . Рассмотрим векторное пространство $L^{r}\left(X, \mu \right)$ , но с нормой $\left\| \cdot \right\|_{p}$ . Является ли это нормированное пространство полным?

Задача 10.4.6

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой. Докажите, что линейная оболочка множества $\left\{ \chi_{E}: E \in \mathfrak {M}\right\}$ плотна в $L^{\infty }\left(X, \mu \right)$ .

Задача 10.4.7

Пусть $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}\right)$ . Докажите, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{\mathbb {R}} f(x) \sin n x d x=\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{\mathbb {R}} f(x) \cos n x d x=0

Задача 10.4.8

Пусть $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}\right)$ . Докажите, что

\lim _{\varepsilon \rightarrow 0} \int _{\mathbb {R}}\left|f(x+\varepsilon )-f(x)\right| d x=0

Задача 10.4.9

(a)(b)(c)(d)

Пусть $f, g, h$ — интегрируемые функции на $\mathbb {R}$ , и пусть

f * g(x)=\int _{\mathbb {R}} f(t) g(x-t) d t

Докажите, что:

(a)

$f * g$ интегрируема на $\mathbb {R}$ .

(b)

Если, кроме того, одна из функций $f, g$ ограничена, то $f * g$ непрерывна.

(c)

$f * g=g * f$ .

(d)

$(f * g) * h=f *(g * h)$ .

Задача 10.4.10

Приведите пример $L^{p}\left(X, \mu \right)$ , являющегося сепарабельным, хотя ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) не сепарабельно.

Задача 10.4.11

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, и предположим, что $L^{p}\left(X, \mu \right)$ сепарабельно. Докажите, что существует счётный набор $\mathcal{A} \subset \mathfrak {M}$ такой, что для каждого $E \in \mathfrak {M}$ с $\mu (E)<\infty$ и каждого $\varepsilon >0$ существует $A \in \mathcal{A}$ такой, что $\mu (A \triangle E)<\varepsilon$ .

Задача 10.4.12

Докажите Следствие 10.4.8. Остаётся ли оно верным в $\mathbb {R}^{n}$ ?

Следствие 10.4.8: Пусть $E$ — измеримое по Лебегу подмножество $\mathbb {R}$ и $1 \leq p < \infty$ . Тогда $L^{p}\left(E\right)$ сепарабельно.

Задача 10.4.13

Пусть $A$ — множество всех $x=\left\{ x_{n}\right\}$ в $\ell^{2}$ таких, что $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}=0$ . Докажите или опровергните: $A$ плотно в $\ell^{2}$ .

Задача 10.4.14

Докажите Следствие 10.4.10. Остаётся ли оно верным в $\mathbb {R}^{n}$ ?

Следствие 10.4.10: Пусть $E$ — измеримое по Лебегу подмножество $\mathbb {R}$ положительной меры. Тогда $L^{\infty }\left(E, m\right)$ не сепарабельно.

Задача 10.4.15

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и предположим, что $X$ — бесконечное множество такое, что $\mu (X) \neq 0$ . Докажите или опровергните: $L^{\infty }\left(X\right)$ не сепарабельно.

Задача 10.4.16

Докажите, что $\ell^{\infty }$ не сепарабельно.

В Упражнениях 10.4.17--10.4.21 докажите, что данное множество плотно в $L^{p}\left(0,1\right)$ , $1 \leq p<\infty$ :

Задача 10.4.17

Множество ступенчатых функций $\sum_{k=1}^{n} c_{k} \chi_{\left[x_{k-1}, x_{k}\right)}$ , где $0=x_{0}<x_{1}< \cdots <x_{n}=1$ .

Задача 10.4.18

Множество непрерывных кусочно-линейных функций с конечным числом изломов.

Задача 10.4.19

Множество многочленов.

Задача 10.4.20

Множество тригонометрических многочленов, т.е. функций вида $T(x)=\sum_{k=1}^{n} a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x$ .

Задача 10.4.21

Множество липшицевых функций на $[0,1]$ .

Задача 10.4.22

Пусть $1 \leq p<\infty$ , и пусть $f$ — функция в $L^{p}\left(0,1\right)$ такая, что для каждого $n \in \mathbb {N}$ ,

\int _{0}^{1} x^{n} f(x) d x=0

Докажите, что $f=0$ п.в. Остаётся ли результат верным, если $p=\infty$ ?

Задача 10.4.23

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ . Докажите, что $f$ липшицева, т.е. $\left|f(x)-f(y)\right| \leq M\left|x-y\right|$ для всех $x, y \in [0,1]$ , тогда и только тогда, когда существует последовательность $\left\{ f_{n}\right\} \subset C^{1}[0,1]$ такая, что

$\left|f_{n}^{\prime }(x)\right| \leq M$ для всех $x \in [0,1]$ ;
$\lim_{n} f_{n}(x)=f(x)$ для всех $x \in [0,1]$ .

Задача 10.4.24

Докажите теорему 10.4.13.

Теорема 10.4.13: Пусть $X$ — метрическое пространство, пусть $\mathcal{B}(X)$ — борелевская $\sigma$ -алгебра, а $\mu$ — мера на ней, и пусть $(X, \mathcal{B}(X), \mu )$ — $\sigma$ -компактное регулярное пространство с мерой. Множество $C_{c}(X)$ плотно в $L^{p}\left(X, \mu \right)$ при $1 \leq p < \infty$ .

Задача 10.4.25

Приведите пример пространства с мерой ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и метрики на $X$ таких, что $X$ является $\sigma$ -компактным, но $C_{c}(X)$ не плотно в $L^{p}\left(X, \mu \right)$ ни при каком $p \in [1,+\infty )$ .

Задача 10.4.26

Приведите пример регулярного пространства с мерой ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и метрики на $X$ таких, что $C_{c}(X)$ не плотно в $L^{p}\left(X, \mu \right)$ ни при каком $p \in [1,+\infty )$ .

Задача 10.4.27

Докажите или опровергните: множество непрерывных функций на $[0,1]$ плотно в $L^{\infty }\left(0,1\right)$ .

Задача 10.4.28

Пусть $S=\left\{ f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{3}\right): \int f=0\right\}$ . Докажите, что $S \cap L^{2}\left(\mathbb {R}^{3}\right)$ — плотное подмножество $L^{2}\left(\mathbb {R}^{3}\right)$ .

Задача 10.4.29

Пусть $A C[0,1]$ обозначает нормированное пространство абсолютно непрерывных функций на $[0,1]$ с нормой $\left\| f\right\| :=\left|f(0)\right|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime }(t)\right| d t$ . Докажите, что $A C[0,1]$ — сепарабельное банахово пространство.

Задача 10.4.30

Пусть $B V[0,1]$ обозначает нормированное пространство функций ограниченной вариации на $[0,1]$ с нормой $\left\| f\right\| :=\left|f(0)\right|+V_{0}^{1}(f)$ . Докажите, что $B V[0,1]$ не является сепарабельным банаховым пространством.

Задача 10.4.31

Пусть $\operatorname {Lip}[0,1]$ обозначает векторное пространство липшицевых функций на $[0,1]$ с нормой

\left\| f\right\| :=\left|f(0)\right|+\sup \left\{ \frac{\left|f(x)-f(y)\right|}{\left|x-y\right|}: x, y \in [0,1], x \neq y\right\}

Докажите, что $\operatorname {Lip}[0,1]$ не является сепарабельным банаховым пространством.

Задача 10.4.32

Докажите, что пространство $c_{0}$ сепарабельно.

Задача 10.4.33

Пусть $e=(1,1,1, \ldots )$ и для каждого $n \in \mathbb {N}$ пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — последовательность с 1 на $n$ -м месте и нулями на остальных. Докажите, что линейная оболочка векторов $\left\{ e, e_{1}, e_{2}, \ldots \right\}$ плотна в $c$ . Сделайте вывод, что пространство $c$ сепарабельно.

Задача 10.4.34

Докажите, что пространство $C[a, b]$ с нормой $L^{1}$ сепарабельно.

Задача 10.4.35

(a)(b)

Пусть $f, g$ — две непрерывные функции на $(0,1)$ и пусть

E(f, g)=\left\{ x \in (0,1): f(x) \neq g(x)\right\}

(a)

Докажите, что $E(f, g)$ является счётным объединением открытых интервалов $\left\{ I_{n}(f, g)\right\}$ .

(b)

Докажите, что

d(f, g)=\sum _{n=1}^{\infty } m\left(I_{n}(f, g)\right)

задаёт расстояние на множестве $C(0,1)$ , но метрическое пространство $(C(0,1), d)$ не сепарабельно.

Задача 10.4.36

Пусть $B(X)$ — векторное пространство всех ограниченных вещественнозначных функций на множестве $X$ . Для $f \in B(X)$ определим

\left\| f\right\| =\sup \left\{ \left|f(x)\right|: x \in X\right\}

Докажите, что $B(X)$ сепарабельно тогда и только тогда, когда $X$ — конечное множество.

Задача 10.4.37

Приведите пример пространства с мерой ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ), которое не сепарабельно, хотя $X$ — сепарабельное нормированное пространство.

Задача 10.4.38

Пусть $X$ — банахово пространство и пусть $Y$ — плотное подпространство $X$ . Предположим, что $Y$ является банаховым пространством относительно той же нормы. Докажите, что $X=Y$ .

Задача 10.4.39

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Докажите, что $X$ сепарабельно тогда и только тогда, когда существует компактное множество $K \subset X$ , замкнутая линейная оболочка которого равна $X$ .

Задача 10.4.40

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $p, q$ — сопряжённые показатели, пусть $S$ — плотное подмножество $L^{q}\left(X, \mu \right)$ , и предположим, что $g \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ удовлетворяет условию $\int_{X} f g d \mu =0$ для всех $f \in S$ . Докажите, что $g=0$ .

Задача 10.4.41

Пусть $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}\right)$ и предположим, что $\int_{\mathbb {R}} f g d m=0$ для всех $g \in C_{c}(\mathbb {R})$ . Докажите, что $f=0$ п.в.

Задача 10.4.42

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и предположим, что $X$ является замкнутой линейной оболочкой $\left\{ x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ . Докажите, что $X$ сепарабельно.

Задача 10.4.43

Докажите, что собственное замкнутое векторное подпространство нормированного линейного пространства нигде не плотно.

10.5 · Гильбертово пространство[32/19%]

Задача 10.5.1

Докажите, что $\left\langle x, y \right\rangle =\sum_{k=1}^{\infty } x_{k} y_{k}$ является скалярным произведением на $\ell^{2}$ .

Задача 10.5.2

Докажите, что $\left\langle f, g \right\rangle =\int_{X} f g d \mu$ является скалярным произведением на $L^{2}\left(X, \mu \right)$ .

Задача 10.5.3

Докажите предложение 10.5.4. Используйте его, чтобы вывести следствие 10.5.6.

Следствие 10.5.6: При фиксированном $y \in H$ скалярное произведение $\left\langle x, y \right\rangle$ является непрерывной функцией от $x$ в нормированной топологии. Аналогичное утверждение верно, если зафиксировать $x$ .

Задача 10.5.4

Докажите, что равенство в неравенстве Коши–Шварца выполняется тогда и только тогда, когда $x=0$ или $y=\lambda x$ при некотором $\lambda \in \mathbb {R}$ .

Задача 10.5.5

Докажите предложение 10.5.5.

Предложение 10.5.5: Функция $\left\| \cdot \right\|$ , определённая как $\left\| h\right\| = \sqrt{ \left\langle h, h \right\rangle }$ (формула (10.13)), является нормой на $H$ .

Задача 10.5.6

Докажите предложение 10.5.7.

Предложение 10.5.7 (тождество параллелограмма): Для любых $x, y \in H$ , $\left\| x-y\right\|^{2} + \left\| x+y\right\|^{2} = 2\left\| x\right\|^{2} + 2\left\| y\right\|^{2}$ .

Задача 10.5.7

Докажите, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ из примера 10.5.13 фундаментальна, но не сходится.

Пример 10.5.13 (пространство со скалярным произведением, не являющееся гильбертовым): Пусть $H$ — множество $C[-1,1]$ со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_{-1}^{1} fg$ . Определим $f_{n}(x) = 0$ при $-1 \leq x < 0$ , $f_{n}(x) = nx$ при $0 \leq x < 1/n$ , и $f_{n}(x) = 1$ при $1/n \leq x \leq 1$ .

Задача 10.5.8

Докажите, что $L^{p}\left(0,1\right)$ не является гильбертовым пространством при $p \neq 2$ .

Задача 10.5.9

Докажите, что $\ell^{p}$ не является гильбертовым пространством при $p \neq 2$ .

Задача 10.5.10

Докажите, что $C[a, b]$ не является гильбертовым пространством.

Задача 10.5.11

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, в котором выполняется тождество параллелограмма. Докажите, что на $X$ существует скалярное произведение такое, что $\left\| x\right\|^{2}= \left\langle x, x \right\rangle$ для всех $\in X$ .

Задача 10.5.12

Пусть $\mathcal{H}$ — множество всех абсолютно непрерывных функций $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ таких, что $f(0)=0$ и $f^{\prime } \in L^{2}\left(0,1\right)$ . Пусть $\left\langle f, g \right\rangle =\int_{0}^{1} f^{\prime }(t) g^{\prime }(t) d t$ для $f, g \in \mathcal{H}$ . Докажите, что $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство.

Задача 10.5.13

Докажите тождество поляризации: для любых $x, y \in \mathcal{H}$ ,

\left\langle x, y \right\rangle =\frac{1}{4}\left(\left\| x+y\right\| ^{2}-\left\| x-y\right\| ^{2}\right) .

Задача 10.5.14

Вектор $h$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ называется крайней точкой множества $A$ , если

h=t x+(1-t) y, \quad 0 \leq t \leq 1, \quad x, y \in \mathcal{H} \quad \Rightarrow \quad x=y=h .

Докажите, что каждый единичный вектор в $\mathcal{H}$ является крайней точкой единичной сферы.

Задача 10.5.15

Пусть $\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} , x, y$ — векторы в гильбертовом пространстве такие, что $\lim x_{n}=x$ и $\lim y_{n}=y$ . Докажите, что $\lim \left\langle x_{n}, y_{n} \right\rangle = \left\langle x, y \right\rangle$ .

Задача 10.5.16

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $\left\{ f_{n}\right\} , f \in L^{2}\left(X, \mu \right)$ такие, что

\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{X} f_{n} f d \mu =\lim _{n \rightarrow \infty } \int _{X} f_{n}^{2} d \mu =\int _{X} f^{2} d \mu

Докажите, что $\lim f_{n}=f$ по норме $L^{2}\left(X, \mu \right)$ .

Задача 10.5.17

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство и пусть $X$ обозначает множество всех последовательностей $\mathbf{x}=\left\{ x_{n}\right\}$ , где для каждого $n \in \mathbb {N}, x_{n} \in \mathcal{H}$ и $\left\| \mathbf{x}\right\| :=\sup \left\{ \left\| x_{n}\right\| : n \in \mathbb {N}\right\} <\infty$ . Докажите, что при естественном определении сложения и умножения на скаляр $X$ является нормированным линейным пространством. Является ли оно банаховым пространством? Является ли оно гильбертовым пространством?

В упражнениях 10.5.18–10.5.21 задано векторное подпространство $V$ пространства $L^{2}\left(0,1\right)$ , состоящее из некоторых многочленов $p(x)=\sum_{k=0}^{\operatorname {deg} p} c_{k} x^{k}$ . Найдите его ортогональное дополнение.

Задача 10.5.18

Все многочлены.

Задача 10.5.19

Многочлены от $x^{2}$ , т.е. такие, что $c_{2 k-1}=0$ для всех $k \in \mathbb {N}$ .

Задача 10.5.20

Многочлены со свойством $c_{0}=0$ .

Задача 10.5.21

Многочлены, удовлетворяющие $\sum_{k=0}^{\operatorname {deg} p} c_{k}=0$ .

Задача 10.5.22

Пусть $\mathcal{K}$ — подпространство гильбертова пространства $\mathcal{H}$ . Докажите, что $\mathcal{K} \cap \mathcal{K}^{\perp }$ состоит только из нулевого вектора.

Задача 10.5.23

Пусть $\mathcal{K}, \mathcal{M}$ — два подпространства гильбертова пространства $\mathcal{H}$ такие, что $\mathcal{K} \subset \mathcal{M}$ . Докажите, что $\mathcal{M}^{\perp } \subset \mathcal{K}^{\perp }$ .

Задача 10.5.24

Пусть $S$ — подмножество гильбертова пространства. Докажите, что $\left(S^{\perp }\right)^{\perp }$ равно замкнутой линейной оболочке векторов из $S$ .

Задача 10.5.25

Пусть $V$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $\mathcal{H}$ , и пусть $x_{0} \in \mathcal{H}$ . Покажите, что

\min \left\{ \left\| x-x_{0}\right\| : x \in V\right\} =\max \left\{ \left| \left\langle x_{0}, y \right\rangle \right|: y \in V^{\perp },\left\| y\right\| =1\right\} .

Задача 10.5.26

Пусть $S$ — подмножество $\mathcal{H}$ . Докажите, что $S^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }$ .

Задача 10.5.27

Пусть $\mathcal{K}, \mathcal{M}$ — два замкнутых подпространства гильбертова пространства $\mathcal{H}$ , ортогональных друг другу. Докажите, что $\mathcal{K}+\mathcal{M}$ — замкнутое подпространство $\mathcal{H}$ .

В упражнениях 10.5.28–10.5.30 $X$ — векторное пространство всех конечных последовательностей, снабжённое нормой и скалярным произведением $\ell^{2}$ . Для данного подпространства $\mathcal{M} \subset X$ определите $\overline{\mathcal{M}}$ и $\mathcal{M}^{\perp }$ .

Задача 10.5.28

$\mathcal{M}=\left\{ x=\left\{ x_{n}\right\} \in X: \sum_{n} x_{n}=0\right\}$ .

Задача 10.5.29

$\mathcal{M}=\left\{ x=\left\{ x_{n}\right\} \in X: \sum_{n} x_{n} / n=0\right\}$ .

Задача 10.5.30

$\mathcal{M}=\left\{ x=\left\{ x_{n}\right\} \in X: \sum_{n} x_{n} / \sqrt{n}=0\right\}$ .

Задача 10.5.31

(a)(b)

Пусть $\mathcal{K}, \mathcal{M}$ — два замкнутых подпространства гильбертова пространства $\mathcal{H}$ . Докажите, что

(a)

$(\mathcal{K}+\mathcal{M})^{\perp }=\mathcal{K}^{\perp } \cap \mathcal{M}^{\perp }$ .

(b)

$(\mathcal{K} \cap \mathcal{M})^{\perp }=\overline{\mathcal{K}^{\perp }+\mathcal{M}^{\perp }}$ .

Задача 10.5.32

Пусть $\mathcal{M}$ — подпространство гильбертова пространства $\mathcal{H}$ , пусть $x \in \mathcal{H} \backslash \mathcal{M}$ , пусть $d= d(x, \mathcal{M})$ , и пусть $\left\{ x_{n}\right\} \subset \mathcal{M}$ такова, что $\lim_{n}\left\| x_{n}-x\right\| =d$ . Докажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ — фундаментальная последовательность в $\mathcal{M}$ .

10.7 · Пространство

C(X)

[31/19%]

Задача 10.7.1

Докажите, что $\left\| f\right\| :=\max \left\{ \left|f(x)\right|: x \in X\right\}$ задаёт норму на $C(X)$ , если $X$ — компактное метрическое пространство.

Задача 10.7.2

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство. Докажите, что $C(X)$ полно в топологии, индуцированной нормой.

В упражнениях 10.7.3-10.7.10 определите, является ли семейство функций $\mathcal{F}= \left\{ f_{n}: n \in \mathbb {N}\right\}$ равностепенно непрерывным на $X$ .

Задача 10.7.3

$f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+(1-n x)^{2}}, X=[0,1]$ .

Задача 10.7.4

$f_{n}(x)=x^{2}+\frac{1}{n}, X=\mathbb {R}$ .

Задача 10.7.5

$f_{n}(x)=\arctan (n x), X=[0,1]$ .

Задача 10.7.6

$f_{n}(x)=\frac{\sin n x}{n^{2}}, X=\mathbb {R}$ .

Задача 10.7.7

$f_{n}(x)=n^{2} x\left(1-x^{2}\right)^{n}, X=[0,1]$ .

Задача 10.7.8

$f_{n}(x)=x+\frac{1}{n x}, X=[1,2]$ .

Задача 10.7.9

$f_{n}(x)=x^{n}, X=[0,1 / 2]$ .

Задача 10.7.10

$f_{n}(x)=\frac{n x}{1+n^{3} x^{2}}, X=[0,1]$ .

Задача 10.7.11

Определите, является ли семейство функций $\mathcal{F}=\left\{ \int_{0}^{x} f(t) d t: f \in C[0,1],\left\| f\right\|_{\text{max }} \leq 1\right\}$ равностепенно непрерывным на [ 0,1 ].

Задача 10.7.12

Пусть $\mathcal{F}$ — равностепенно непрерывное семейство функций в $C(X)$ , и пусть $\overline{\mathcal{F}}$ обозначает его замыкание. Докажите, что $\overline{\mathcal{F}}$ равностепенно непрерывно.

Задача 10.7.13

(a)(b)

Пусть $\mathcal{F}$ — семейство непрерывных функций на $[0,1]$ , обладающее тем свойством, что существует $M>0$ такое, что $\left|f(x)\right| \leq M$ для всех $f \in \mathcal{F}$ и всех $x \in [0,1]$ . Пусть

\mathcal{F}^{*}=\left\{ g \in C[0,1]: g(x)=f(0)+\int _{0}^{x} f(t) d t, f \in \mathcal{F}\right\}

(a)

Докажите, что замыкание $\mathcal{F}^{*}$ является компактным подмножеством $C[0,1]$ .

(b)

Приведите пример, показывающий, что $\mathcal{F}^{*}$ не обязано быть замкнутым, даже если $\mathcal{F}$ замкнуто.

Задача 10.7.14

Пусть $\mathcal{F}$ — семейство функций в $C^{1}[0,1]$ , пусть $M>0$ , и предположим, что $\left|f^{\prime }(x)\right| \leq M$ для всех $f \in \mathcal{F}$ и всех $x \in [0,1]$ . Докажите, что $\mathcal{F}$ равностепенно непрерывно.

Задача 10.7.15

Пусть $\mathcal{F}$ — семейство функций в $C^{1}[0,1]$ , пусть $x_{0} \in [0,1]$ , пусть $M>0$ , и предположим, что $\left|f^{\prime }\left(x_{0}\right)\right| \leq M$ для всех $f \in \mathcal{F}$ . Докажите или опровергните: $\mathcal{F}$ равностепенно непрерывно в точке $x_{0}$ .

Задача 10.7.16

Семейство $\mathcal{F}$ вещественнозначных функций на метрическом пространстве $X$ называется равномерно равностепенно непрерывным, если

\forall \varepsilon >0 \quad \exists \delta >0 \quad \forall f \in \mathcal{F} \quad \forall x, y \in X \quad d(x, y)<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(y)\right|<\varepsilon .

Докажите, что если $X$ компактно, то всякое равностепенно непрерывное семейство непрерывных функций равномерно равностепенно непрерывно.

Задача 10.7.17

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство, а $\mathcal{F}$ — равностепенно непрерывная последовательность вещественнозначных функций. Докажите, что $\mathcal{F}$ поточечно ограничено тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено.

Задача 10.7.18

Пусть $X$ — метрическое пространство, а $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $C(X)$ , равномерно сходящаяся на $X$ . Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ равностепенно непрерывна.

Задача 10.7.19

(a)(b)

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $C[a, b]$ . Обязана ли $\left\{ f_{n}\right\}$ иметь равномерно сходящуюся подпоследовательность, если:

(a)

$\left\{ f_{n}\right\}$ равностепенно непрерывна?

(b)

$\left\{ f_{n}\right\}$ равномерно ограничена?

Задача 10.7.20

Для $1 \leq p<\infty$ семейство $\mathcal{S} \subset \ell^{p}$ называется равносуммируемым, если

\forall \varepsilon >0 \quad \exists n \in \mathbb {N} \quad \forall \left\{ x_{k}\right\} \in \mathcal{S} \quad \sum _{k=n}^{\infty }\left|x_{k}\right|^{p}<\varepsilon

Докажите, что $\mathcal{S}$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, ограничено и равносуммируемо.

Задача 10.7.21

Пусть $\left\{ c_{n}\right\}$ — последовательность неотрицательных чисел в $\ell^{2}$ , и пусть $\mathcal{S}$ — подмножество $\ell^{2}$ , состоящее из тех $\left\{ x_{n}\right\} \in \ell^{2}$ , которые удовлетворяют условию $\left|x_{n}\right| \leq c_{n}$ для всех $n \in \mathbb {N}$ . Докажите, что $\mathcal{S}$ равносуммируемо.

Задача 10.7.22

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset C(X)$ , и предположим, что $\lim_{n} f_{n}(x)=f(x)$ для всех $x \in X$ . Докажите, что существует всюду плотное подмножество $D$ пространства $X$ такое, что $\left\{ f_{n}\right\}$ равностепенно непрерывна на $D$ , а $f$ непрерывна на $D$ .

Задача 10.7.23

Докажите теорему 10.7.10.

Теорема 10.7.10 (теорема Арцела́--Асколи): Пусть $X$ — компактное метрическое пространство и $\mathcal{F} \subset C(X)$ . Тогда $\mathcal{F}$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Задача 10.7.24

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — последовательность вещественных чисел в $[1,2]$ , и пусть последовательность $\left\{ f_{n}\right\} \subset C[0,1]$ определена формулой

f_{n}(x)=\frac{1}{a_{n}} \sin \left(a_{n} x\right)+\cos \left(x+a_{n}\right) .

Докажите, что она имеет сходящуюся подпоследовательность.

Задача 10.7.25

Пусть $K$ — непрерывная функция на $[0,1] \times [0,1]$ , и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — ограниченная последовательность в $C[0,1]$ ; определим

g_{n}(x)=\int _{0}^{1} K(x, y) f_{n}(y) d y

Докажите, что $\left\{ g_{n}\right\}$ — последовательность в $C[0,1]$ , имеющая сходящуюся подпоследовательность.

Задача 10.7.26

Пусть $f \in L^{1}\left(0,1\right)$ , пусть $\left\{ E_{n}\right\}$ — измеримые подмножества $[0,1]$ , и пусть

g_{n}(x)=\int _{0}^{x} \chi _{E_{n}}(t) f(t) d t

Докажите, что $\left\{ g_{n}\right\}$ имеет подпоследовательность, равномерно сходящуюся к непрерывной функции на $[0,1]$ .

Задача 10.7.27

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — равностепенно непрерывная, равномерно ограниченная последовательность вещественнозначных функций на $\mathbb {R}$ . Докажите, что существует подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}\right\}$ , поточечно сходящаяся на $\mathbb {R}$ к непрерывной функции $f$ на $\mathbb {R}$ , причём сходимость равномерна на ограниченных подмножествах $\mathbb {R}$ .

Задача 10.7.28

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство. Докажите, что $C(X)$ сепарабельно.

Задача 10.7.29

Пусть $\mu$ — знакопеременная борелевская мера на $[0,1]$ такая, что

\int _{0}^{1} \frac{1}{x+t} d \mu (t)=0

для всех $x>1$ . Покажите, что $\mu =0$ .

Задача 10.7.30

Пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )$ , и предположим, что для $f \in C^{1}[0,1]$

I(f):=\frac{1}{2} \int _{0}^{1}\left(f^{\prime }(x)+g(x)\right) d x

Наконец, пусть $\mathcal{F}=\left\{ f \in C^{1}[0,1]:\left\| f\right\| \leq 1\right\}$ . Докажите, что существует функция $h \in \mathcal{F}$ , минимизирующая $I(f)$ , т.е. $I(h)=\inf \left\{ I(f): f \in \mathcal{F}\right\}$ .

Задача 10.7.31

Докажите, что семейство конечных сумм вида $\sum_{i=1}^{n} g_{i}(x) h_{i}(y)$ , где $n \in \mathbb {N}, g_{i} \in C[0,1]$ и $h_{i} \in C[0,1]$ , всюду плотно в $C([0,1] \times [0,1])$ .