Плотные множества в $\LebesgueSpace{p}$

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой. Докажите, что $A \sim B \Leftrightarrow \mu (A \triangle B)=0$ задаёт отношение эквивалентности на $\mathfrak {M}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, $A \sim B \Leftrightarrow \mu (A \triangle B)=0$, и пусть $d: \mathfrak {M} / \sim \times \mathfrak {M} / \sim \rightarrow \mathbb {R}$ определяется как $d([A],[B])=\mu (A \triangle B)$. Докажите, что $(\mathfrak {M} / \sim , d)$ является метрическим пространством.

Докажите, что $\left(\mathbb {R}^{n}, \mathcal{M}_{n}, m_{n}\right)$ является сепарабельным пространством с мерой для каждого $n \in \mathbb {N}$.

Пусть $A$ обозначает подмножество $\ell^{p}, 1 \leq p<\infty$, состоящее из всех последовательностей, имеющих лишь конечное число ненулевых членов. Докажите, что $A$ плотно в $\ell^{p}$. Сделайте вывод, что $\ell^{p}$ является сепарабельным банаховым пространством при $1 \leq p<\infty$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, и пусть $1 \leq p<r<\infty$. Рассмотрим векторное пространство $L^{r}\left(X, \mu \right)$, но с нормой $\left\| \cdot \right\|_{p}$. Является ли это нормированное пространство полным?

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой. Докажите, что линейная оболочка множества $\left\{ \chi_{E}: E \in \mathfrak {M}\right\}$ плотна в $L^{\infty }\left(X, \mu \right)$.

Пусть $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}\right)$. Докажите, что

Пусть $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}\right)$. Докажите, что

Пусть $f, g, h$ — интегрируемые функции на $\mathbb {R}$, и пусть

Докажите, что:

Приведите пример $L^{p}\left(X, \mu \right)$, являющегося сепарабельным, хотя ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) не сепарабельно.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, и предположим, что $L^{p}\left(X, \mu \right)$ сепарабельно. Докажите, что существует счётный набор $\mathcal{A} \subset \mathfrak {M}$ такой, что для каждого $E \in \mathfrak {M}$ с $\mu (E)<\infty$ и каждого $\varepsilon >0$ существует $A \in \mathcal{A}$ такой, что $\mu (A \triangle E)<\varepsilon$.

Докажите Следствие 10.4.8. Остаётся ли оно верным в $\mathbb {R}^{n}$?

Следствие 10.4.8: Пусть $E$ — измеримое по Лебегу подмножество $\mathbb {R}$ и $1 \leq p < \infty$. Тогда $L^{p}\left(E\right)$ сепарабельно.

Пусть $A$ — множество всех $x=\left\{ x_{n}\right\}$ в $\ell^{2}$ таких, что $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}=0$. Докажите или опровергните: $A$ плотно в $\ell^{2}$.

Докажите Следствие 10.4.10. Остаётся ли оно верным в $\mathbb {R}^{n}$?

Следствие 10.4.10: Пусть $E$ — измеримое по Лебегу подмножество $\mathbb {R}$ положительной меры. Тогда $L^{\infty }\left(E, m\right)$ не сепарабельно.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и предположим, что $X$ — бесконечное множество такое, что $\mu (X) \neq 0$. Докажите или опровергните: $L^{\infty }\left(X\right)$ не сепарабельно.

Докажите, что $\ell^{\infty }$ не сепарабельно.

В Упражнениях 10.4.17--10.4.21 докажите, что данное множество плотно в $L^{p}\left(0,1\right)$, $1 \leq p<\infty$:

Множество ступенчатых функций $\sum_{k=1}^{n} c_{k} \chi_{\left[x_{k-1}, x_{k}\right)}$, где $0=x_{0}<x_{1}< \cdots <x_{n}=1$.

Множество непрерывных кусочно-линейных функций с конечным числом изломов.

Множество многочленов.

Множество тригонометрических многочленов, т.е. функций вида $T(x)=\sum_{k=1}^{n} a_{k} \cos k x+b_{k} \sin k x$.

Множество липшицевых функций на $[0,1]$.

Пусть $1 \leq p<\infty$, и пусть $f$ — функция в $L^{p}\left(0,1\right)$ такая, что для каждого $n \in \mathbb {N}$,

Докажите, что $f=0$ п.в. Остаётся ли результат верным, если $p=\infty$?

Пусть $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$. Докажите, что $f$ липшицева, т.е. $\left|f(x)-f(y)\right| \leq M\left|x-y\right|$ для всех $x, y \in [0,1]$, тогда и только тогда, когда существует последовательность $\left\{ f_{n}\right\} \subset C^{1}[0,1]$ такая, что

1. $\left|f_{n}^{\prime }(x)\right| \leq M$ для всех $x \in [0,1]$;

2. $\lim_{n} f_{n}(x)=f(x)$ для всех $x \in [0,1]$.

Докажите теорему 10.4.13.

Теорема 10.4.13: Пусть $X$ — метрическое пространство, пусть $\mathcal{B}(X)$ — борелевская $\sigma$-алгебра, а $\mu$ — мера на ней, и пусть $(X, \mathcal{B}(X), \mu )$ — $\sigma$-компактное регулярное пространство с мерой. Множество $C_{c}(X)$ плотно в $L^{p}\left(X, \mu \right)$ при $1 \leq p < \infty$.

Приведите пример пространства с мерой ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и метрики на $X$ таких, что $X$ является $\sigma$-компактным, но $C_{c}(X)$ не плотно в $L^{p}\left(X, \mu \right)$ ни при каком $p \in [1,+\infty )$.

Приведите пример регулярного пространства с мерой ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и метрики на $X$ таких, что $C_{c}(X)$ не плотно в $L^{p}\left(X, \mu \right)$ ни при каком $p \in [1,+\infty )$.

Докажите или опровергните: множество непрерывных функций на $[0,1]$ плотно в $L^{\infty }\left(0,1\right)$.

Пусть $S=\left\{ f \in L^{1}\left(\mathbb {R}^{3}\right): \int f=0\right\}$. Докажите, что $S \cap L^{2}\left(\mathbb {R}^{3}\right)$ — плотное подмножество $L^{2}\left(\mathbb {R}^{3}\right)$.

Пусть $A C[0,1]$ обозначает нормированное пространство абсолютно непрерывных функций на $[0,1]$ с нормой $\left\| f\right\| :=\left|f(0)\right|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime }(t)\right| d t$. Докажите, что $A C[0,1]$ — сепарабельное банахово пространство.

Пусть $B V[0,1]$ обозначает нормированное пространство функций ограниченной вариации на $[0,1]$ с нормой $\left\| f\right\| :=\left|f(0)\right|+V_{0}^{1}(f)$. Докажите, что $B V[0,1]$ не является сепарабельным банаховым пространством.

Пусть $\operatorname {Lip}[0,1]$ обозначает векторное пространство липшицевых функций на $[0,1]$ с нормой

Докажите, что $\operatorname {Lip}[0,1]$ не является сепарабельным банаховым пространством.

Докажите, что пространство $c_{0}$ сепарабельно.

Пусть $e=(1,1,1, \ldots )$ и для каждого $n \in \mathbb {N}$ пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — последовательность с 1 на $n$-м месте и нулями на остальных. Докажите, что линейная оболочка векторов $\left\{ e, e_{1}, e_{2}, \ldots \right\}$ плотна в $c$. Сделайте вывод, что пространство $c$ сепарабельно.

Докажите, что пространство $C[a, b]$ с нормой $L^{1}$ сепарабельно.

Пусть $f, g$ — две непрерывные функции на $(0,1)$ и пусть

Пусть $B(X)$ — векторное пространство всех ограниченных вещественнозначных функций на множестве $X$. Для $f \in B(X)$ определим

Докажите, что $B(X)$ сепарабельно тогда и только тогда, когда $X$ — конечное множество.

Приведите пример пространства с мерой ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ), которое не сепарабельно, хотя $X$ — сепарабельное нормированное пространство.

Пусть $X$ — банахово пространство и пусть $Y$ — плотное подпространство $X$. Предположим, что $Y$ является банаховым пространством относительно той же нормы. Докажите, что $X=Y$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Докажите, что $X$ сепарабельно тогда и только тогда, когда существует компактное множество $K \subset X$, замкнутая линейная оболочка которого равна $X$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $p, q$ — сопряжённые показатели, пусть $S$ — плотное подмножество $L^{q}\left(X, \mu \right)$, и предположим, что $g \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ удовлетворяет условию $\int_{X} f g d \mu =0$ для всех $f \in S$. Докажите, что $g=0$.

Пусть $f \in L^{1}\left(\mathbb {R}\right)$ и предположим, что $\int_{\mathbb {R}} f g d m=0$ для всех $g \in C_{c}(\mathbb {R})$. Докажите, что $f=0$ п.в.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство и предположим, что $X$ является замкнутой линейной оболочкой $\left\{ x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$. Докажите, что $X$ сепарабельно.

Докажите, что собственное замкнутое векторное подпространство нормированного линейного пространства нигде не плотно.