Полнота пространства $\LebesgueSpace{p}$

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{1}\left(X\right)$, сходящаяся равномерно к функции $f$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по норме $L^{1}\left(X\right)$. Остаётся ли это верным, если $\mu (X)=\infty$?

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой, и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{p}\left(X, \mu \right)$, являющаяся равномерно последовательностью Коши. Докажите, что она сходится к функции $f$, принадлежащей $L^{p}$.

Докажите теорему Рисса--Фишера.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \subset L^{p}\left(X, \mu \right), 1 \leq p \leq \infty$. Предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к 0 по норме $L^{p}$. Докажите, что она сходится к 0 по мере.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ f_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — последовательность измеримых функций, сходящаяся по мере к функции $f$, и пусть $1 \leq p<\infty$.

Приведите пример последовательности, сходящейся по мере, но не по норме $L^{p}\left(X, \mu \right)$, $1 \leq p \leq \infty$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой, и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность неотрицательных интегрируемых функций такая, что $\lim \int_{X} f_{n} d \mu =0$. Докажите или опровергните: $\lim f_{n}=0$ п.в.

Приведите пример последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ в $L^{1}\left(0,1\right)$, обладающей следующими свойствами:

1. $\lim f_{n}(x)=0$ для всех $x \in [0,1]$;

2. существует $C>0$ такая, что $\int_{0}^{1}\left|f_{n}\right| \leq C$ для всех $n \in \mathbb {N}$;

3. $\left\{ f_{n}\right\}$ не сходится по норме $L^{1}\left(0,1\right)$.

Приведите пример, показывающий, что Теорема 10.3.5 неверна при $p=\infty$.

Теорема 10.3.5: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой и $1 \leq p < \infty$. Предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{p}\left(X, \mu \right)$, сходящаяся п.в. на $X$ к функции $f$, принадлежащей $L^{p}\left(X, \mu \right)$. Тогда $\lim_{n} \left\| f_{n}-f\right\|_{p} = 0$ тогда и только тогда, когда $\lim_{n} \left\| f_{n}\right\|_{p} = \left\| f\right\|_{p}$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, и пусть $\left\{ f_{n}\right\} \in L^{p}\left(X, \mu \right) \cap L^{r}\left(X, \mu \right)$ для некоторых $p, r \in [1,+\infty )$. Предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к функции $g$ по норме $L^{p}\left(X, \mu \right)$ и к функции $h$ по норме $L^{r}\left(X, \mu \right)$. Докажите или опровергните: $g=h$ п.в.

Пусть

Для $p \in [1, \infty )$ определим

Покажите, что $\left\| f\right\|_{p}^{i n f}$ является нормой для каждого $p$, и что $X$ — банахово пространство относительно каждой из этих норм.

Пусть

Для $p_{1}, p_{2} \in [1, \infty )$ определим

Покажите, что $\left\| f\right\|_{p_{1}, p_{2}}$ является нормой для каждой пары $p_{1}, p_{2}$, и что $X$ — банахово пространство относительно каждой из этих норм.

Пусть $X=\mathbb {R}^{n+1}$ с произведением мер $m_{n} \times m$ на $\sigma$-алгебре $\mathcal{M}_{n} \otimes \mathcal{M}$, и пусть $L^{p, r}$ — пространство классов эквивалентности совместно измеримых функций $f(x, t), x \in \mathbb {R}^{n}, t \in \mathbb {R}$, для которых норма определяется как

Докажите, что $\left\| f\right\|_{p, r}$ является нормой для каждой пары $1 \leq p, r<\infty$ и что с этой нормой $L^{p, r}$ — банахово пространство.

Пусть $1 \leq p \leq r \leq q<\infty$. Докажите, что $L^{p}\left(0,1\right) \cap L^{q}\left(0,1\right)$ является плотным подпространством $L^{r}\left(0,1\right)$. Остаётся ли результат верным, если $q=\infty$?

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<\infty$, и пусть $\left\{ f_{n}\right\} \in L^{p}\left(X, \mu \right)$. Предположим, что

Пусть $\left\{ a_{k}\right\}$ — последовательность вещественных чисел такая, что $\sum_{k}\left|a_{k}\right|^{p}<\infty$, и пусть $f=\sum_{k} a_{k} f_{k}$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p \leq \infty$, и пусть $\left\{ f_{n}\right\} \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ такие, что $\lim_{n}\left\| f_{n}\right\|_{p}=0$. Докажите, что существует подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}\right\}$ и неотрицательная функция $h \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ такие, что $\left|f_{n_{k}}\right| \leq h$ п.в. $[\mu ]$ и $\lim_{k} f_{n_{k}}=0$ п.в. $[\mu ]$.

Приведите пример последовательности $\left\{ f_{n}\right\}$ в $L^{p}\left(0,1\right)$, сходящейся к функции $f$ по норме $L^{p}\left(0,1\right)$, но не сходящейся поточечно ни в одной точке $[0,1]$.

Пусть $1 \leq p<\infty$, и пусть $E_{p}=\left\{ f \in L^{p}\left(\mathbb {R}\right): \int_{\mathbb {R}} f d \mu =0\right\}$. Докажите, что $E_{p}$ замкнуто тогда и только тогда, когда $p=1$.

Пусть $A=\left\{ f \in L^{2}\left(0,1\right): \exists \text{ интервал } I_{f} \subset [0,1], 1 / 2 \in I_{f}, f=0 \text{ п.в. на } I_{f}\right\}$. Докажите или опровергните: $A$ является замкнутым подмножеством $L^{2}$.

Пусть $\mathcal{F}=\left\{ f \in L^{2}\left(0,1\right): f([0,1]) \subset [0,1] \text{ п.в.}\right\}$. Докажите или опровергните: $\mathcal{F}$ является замкнутым подмножеством $L^{2}$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset A C[0,1]$, пусть $f_{n}(0)=0$ для всех $n \in \mathbb {N}$, и предположим, что $\left\{ f_{n}^{\prime }\right\}$ — последовательность Коши в $L^{1}\left(0,1\right)$. Докажите, что существует $f \in A C[0,1]$ такая, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ равномерно на $[0,1]$.

Пусть $A C[0,1]$ обозначает нормированное пространство абсолютно непрерывных функций на $[0,1]$ с нормой $\left\| f\right\| :=\left|f(0)\right|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime }(t)\right| d t$. Докажите, что $A C[0,1]$ — банахово пространство с этой нормой.

Пусть $B V[0,1]$ обозначает нормированное пространство функций ограниченной вариации на $[0,1]$ с нормой $\left\| f\right\| :=\left|f(0)\right|+V_{0}^{1}(f)$. Докажите, что $B V[0,1]$ — банахово пространство с этой нормой.

Пусть $\operatorname {Lip}[0,1]$ обозначает векторное пространство липшицевых функций на $[0,1]$ с нормой

Докажите, что $\operatorname {Lip}[0,1]$ — банахово пространство с этой нормой.

Докажите, что $\ell^{p}$ является банаховым пространством.

Докажите, что $\ell^{\infty }$ является банаховым пространством.

Пусть $1 \leq p<q \leq \infty$.

Пусть $1 \leq p \leq \infty$, и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $L^{p}\left(0,1\right)$ такая, что

Пусть $1 \leq p \leq \infty$, пусть $g \in L^{p}\left(0,1\right)$, и пусть $\mathcal{F}$ — подмножество $L^{p}\left(0,1\right)$, состоящее из функций $f$, не превосходящих $g$ п.в. Докажите, что $\mathcal{F}$ является замкнутым нигде не плотным подмножеством $L^{p}\left(0,1\right)$. Сделайте вывод, что множество всех неотрицательных функций в $L^{p}\left(0,1\right)$ является замкнутым нигде не плотным подмножеством $L^{p}\left(0,1\right)$.

Приведите пример последовательности, сходящейся равномерно, но не по норме $L^{p}\left(X, \mu \right)$, $1 \leq p<\infty$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<\infty$, и пусть $f$ и $\left\{ f_{n}\right\}$ — функции в $L^{p}\left(X, \mu \right)$ такие, что $\lim_{n}\left\| f_{n}\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{p}$ и $\lim_{n} f_{n}=f$ по мере. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по норме $L^{p}\left(X, \mu \right)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, пусть $1 \leq r<p<\infty$, и пусть $f$ и $\left\{ f_{n}\right\}$ — измеримые функции такие, что $\sup_{n}\left\| f_{n}\right\|_{p}<\infty$ и $\lim_{n} f_{n}=f$ п.в. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по норме $L^{r}\left(X, \mu \right)$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $\left\{ E_{n}\right\} \subset \mathfrak {M}$ таковы, что $\mu \left(E_{n}\right)< \infty$ для всех $n \in \mathbb {N}$, и предположим, что $\left\{ \chi_{E_{n}}\right\}$ сходится к функции $f$ по норме $L^{1}\left(X, \mu \right)$. Докажите, что $f$ равна п.в. характеристической функции некоторого измеримого множества.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $0<p<1$, и для $f, g \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ пусть

Докажите, что $d$ является метрикой, относительно которой $L^{p}\left(X, \mu \right)$ полно.

По неравенству Гёльдера, $L^{2}\left(a, b\right) \subset L^{1}\left(a, b\right)$. Покажите, что множество $L^{2}\left(a, b\right)$, рассматриваемое как подмножество полного метрического пространства $L^{1}\left(a, b\right)$, является множеством первой категории.

Докажите, что $\left\| f\right\| =\left\| f\right\|_{1}+\left\| f^{\prime }\right\|_{1}$ задаёт норму на $A C[0,1]$ и что относительно этой нормы оно является банаховым пространством.

Пусть $V$ — замкнутое линейное подпространство $L^{1}\left(0,1\right)$. Предположим, что для каждой $f \in V$ существует $p>1$ такое, что $f \in L^{p}\left(0,1\right)$. Покажите, что существует $q>1$ такое, что $V \subset L^{q}\left(0,1\right)$.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, пусть $E$ — непустое измеримое подмножество $X$, и пусть $V$ состоит из тех функций в $L^{p}\left(X, \mu \right)$, которые обращаются в нуль на $E$. Докажите, что $V$ является замкнутым подпространством $L^{p}\left(X, \mu \right)$.

Докажите или опровергните: существует непустое замкнутое множество в $L^{p}\left(0,1\right)$, не содержащее элемента наименьшей нормы.

Для $p \in [1,+\infty ]$ докажите, что замкнутый единичный шар $L^{p}\left(0,1\right)$ не компактен.

Пусть $X$ — банахово пространство, пусть $1 \leq p<\infty$, и определим $\ell^{p}(X)$ как пространство всех последовательностей $\left\{ x_{n}\right\} \subset X$ таких, что $\sum_{n}\left\| x_{n}\right\|^{p}<\infty$. Докажите, что $\left\| \left\{ x_{n}\right\} \right\| :=\left(\sum_{n}\left\| x_{n}\right\|^{p}\right)^{1 / p}$ задаёт норму на $\ell^{p}(X)$ и что она делает $\ell^{p}(X)$ банаховым пространством.