Пространство $C(X)$

Докажите, что $\left\| f\right\| :=\max \left\{ \left|f(x)\right|: x \in X\right\}$ задаёт норму на $C(X)$, если $X$ — компактное метрическое пространство.

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство. Докажите, что $C(X)$ полно в топологии, индуцированной нормой.

В упражнениях 10.7.3-10.7.10 определите, является ли семейство функций $\mathcal{F}= \left\{ f_{n}: n \in \mathbb {N}\right\}$ равностепенно непрерывным на $X$.

$f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}+(1-n x)^{2}}, X=[0,1]$.

$f_{n}(x)=x^{2}+\frac{1}{n}, X=\mathbb {R}$.

$f_{n}(x)=\arctan (n x), X=[0,1]$.

$f_{n}(x)=\frac{\sin n x}{n^{2}}, X=\mathbb {R}$.

$f_{n}(x)=n^{2} x\left(1-x^{2}\right)^{n}, X=[0,1]$.

$f_{n}(x)=x+\frac{1}{n x}, X=[1,2]$.

$f_{n}(x)=x^{n}, X=[0,1 / 2]$.

$f_{n}(x)=\frac{n x}{1+n^{3} x^{2}}, X=[0,1]$.

Определите, является ли семейство функций $\mathcal{F}=\left\{ \int_{0}^{x} f(t) d t: f \in C[0,1],\left\| f\right\|_{\text{max }} \leq 1\right\}$ равностепенно непрерывным на [ 0,1 ].

Пусть $\mathcal{F}$ — равностепенно непрерывное семейство функций в $C(X)$, и пусть $\overline{\mathcal{F}}$ обозначает его замыкание. Докажите, что $\overline{\mathcal{F}}$ равностепенно непрерывно.

Пусть $\mathcal{F}$ — семейство непрерывных функций на $[0,1]$, обладающее тем свойством, что существует $M>0$ такое, что $\left|f(x)\right| \leq M$ для всех $f \in \mathcal{F}$ и всех $x \in [0,1]$. Пусть

Пусть $\mathcal{F}$ — семейство функций в $C^{1}[0,1]$, пусть $M>0$, и предположим, что $\left|f^{\prime }(x)\right| \leq M$ для всех $f \in \mathcal{F}$ и всех $x \in [0,1]$. Докажите, что $\mathcal{F}$ равностепенно непрерывно.

Пусть $\mathcal{F}$ — семейство функций в $C^{1}[0,1]$, пусть $x_{0} \in [0,1]$, пусть $M>0$, и предположим, что $\left|f^{\prime }\left(x_{0}\right)\right| \leq M$ для всех $f \in \mathcal{F}$. Докажите или опровергните: $\mathcal{F}$ равностепенно непрерывно в точке $x_{0}$.

Семейство $\mathcal{F}$ вещественнозначных функций на метрическом пространстве $X$ называется равномерно равностепенно непрерывным, если

Докажите, что если $X$ компактно, то всякое равностепенно непрерывное семейство непрерывных функций равномерно равностепенно непрерывно.

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство, а $\mathcal{F}$ — равностепенно непрерывная последовательность вещественнозначных функций. Докажите, что $\mathcal{F}$ поточечно ограничено тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено.

Пусть $X$ — метрическое пространство, а $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $C(X)$, равномерно сходящаяся на $X$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ равностепенно непрерывна.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность в $C[a, b]$. Обязана ли $\left\{ f_{n}\right\}$ иметь равномерно сходящуюся подпоследовательность, если:

Для $1 \leq p<\infty$ семейство $\mathcal{S} \subset \ell^{p}$ называется равносуммируемым, если

Докажите, что $\mathcal{S}$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, ограничено и равносуммируемо.

Пусть $\left\{ c_{n}\right\}$ — последовательность неотрицательных чисел в $\ell^{2}$, и пусть $\mathcal{S}$ — подмножество $\ell^{2}$, состоящее из тех $\left\{ x_{n}\right\} \in \ell^{2}$, которые удовлетворяют условию $\left|x_{n}\right| \leq c_{n}$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что $\mathcal{S}$ равносуммируемо.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset C(X)$, и предположим, что $\lim_{n} f_{n}(x)=f(x)$ для всех $x \in X$. Докажите, что существует всюду плотное подмножество $D$ пространства $X$ такое, что $\left\{ f_{n}\right\}$ равностепенно непрерывна на $D$, а $f$ непрерывна на $D$.

Докажите теорему 10.7.10.

Теорема 10.7.10 (теорема Арцела́--Асколи): Пусть $X$ — компактное метрическое пространство и $\mathcal{F} \subset C(X)$. Тогда $\mathcal{F}$ компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто, равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Пусть $\left\{ a_{n}\right\}$ — последовательность вещественных чисел в $[1,2]$, и пусть последовательность $\left\{ f_{n}\right\} \subset C[0,1]$ определена формулой

Докажите, что она имеет сходящуюся подпоследовательность.

Пусть $K$ — непрерывная функция на $[0,1] \times [0,1]$, и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — ограниченная последовательность в $C[0,1]$; определим

Докажите, что $\left\{ g_{n}\right\}$ — последовательность в $C[0,1]$, имеющая сходящуюся подпоследовательность.

Пусть $f \in L^{1}\left(0,1\right)$, пусть $\left\{ E_{n}\right\}$ — измеримые подмножества $[0,1]$, и пусть

Докажите, что $\left\{ g_{n}\right\}$ имеет подпоследовательность, равномерно сходящуюся к непрерывной функции на $[0,1]$.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — равностепенно непрерывная, равномерно ограниченная последовательность вещественнозначных функций на $\mathbb {R}$. Докажите, что существует подпоследовательность $\left\{ f_{n_{k}}\right\}$, поточечно сходящаяся на $\mathbb {R}$ к непрерывной функции $f$ на $\mathbb {R}$, причём сходимость равномерна на ограниченных подмножествах $\mathbb {R}$.

Пусть $X$ — компактное метрическое пространство. Докажите, что $C(X)$ сепарабельно.

Пусть $\mu$ — знакопеременная борелевская мера на $[0,1]$ такая, что

для всех $x>1$. Покажите, что $\mu =0$.

Пусть $g: \mathbb {R} \rightarrow [0,+\infty )$, и предположим, что для $f \in C^{1}[0,1]$

Наконец, пусть $\mathcal{F}=\left\{ f \in C^{1}[0,1]:\left\| f\right\| \leq 1\right\}$. Докажите, что существует функция $h \in \mathcal{F}$, минимизирующая $I(f)$, т.е. $I(h)=\inf \left\{ I(f): f \in \mathcal{F}\right\}$.

Докажите, что семейство конечных сумм вида $\sum_{i=1}^{n} g_{i}(x) h_{i}(y)$, где $n \in \mathbb {N}, g_{i} \in C[0,1]$ и $h_{i} \in C[0,1]$, всюду плотно в $C([0,1] \times [0,1])$.