Неравенство Бесселя и ортонормированные базисы

Докажите обобщённую теорему Пифагора (теорема 10.6.5).

Теорема 10.6.5 (обобщённая теорема Пифагора): Пусть $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ — $n$ ортонормированных векторов в $H$, пусть $\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n} \in \mathbb {R}$, и пусть $x=\alpha_{1} x_{1}+\cdots +\alpha_{n} x_{n}$. Тогда $\alpha_{k}= \left\langle x, x_{k} \right\rangle$ при $1 \leq k \leq n$, и $\left\| x\right\|^{2} = \alpha_{1}^{2}+\cdots +\alpha_{n}^{2}$.

Пусть $S=\left\{ x_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ — ортонормированное множество в $\mathcal{H}$, пусть $\mathcal{K}$ — гильбертово подпространство $\mathcal{H}$, порождённое $S$, пусть $x \in \mathcal{H}$, и пусть $y$ — ортогональная проекция $x$ на $\mathcal{K}$. Докажите, что:

Пусть $V$ — линейная оболочка функций (10.15). Определите, плотно ли $V$ в пространстве $L^{2}\left(a, b\right)$.

Для $m \in \mathbb {N}_{0}$ и $1 \leq n \leq 2^{m}$ пусть

Также пусть $\varphi_{0,0}(x)=1$. Докажите, что система $\left\{ \varphi_{m, n}\right\}$ является ортонормированным базисом $L^{2}\left(0,1\right)$.

Для $m \in \mathbb {N}_{0}$ пусть

Докажите, что система $\left\{ \varphi_{m}\right\}$ ортонормирована, но не полна в $L^{2}\left(0,1\right)$.

Пусть $\left\{ \varphi_{m}\right\}$ такие же, как в (10.27), и для $m_{1}<m_{2}<\cdots <m_{n}$ пусть

Докажите, что система $\left\{ \varphi_{m_{1}, m_{2}, \ldots , m_{n}}\right\}$ ортонормирована и полна в $L^{2}\left(0,1\right)$.

Докажите, что гильбертово пространство $\mathcal{H}$ сепарабельно тогда и только тогда, когда оно имеет счётный ортонормированный базис.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство и $S=\left\{ x_{n}\right\}$ — бесконечная ортонормированная система в $\mathcal{H}$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — ортонормированная система в $\mathcal{H}$, пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — вещественные числа, для которых ряд $\sum_{n} \alpha_{n}^{2}$ сходится, и предположим, что любая перестановка ряда $\sum_{n} \alpha_{n} x_{n}$ сходится. Докажите, что она должна сходиться к одному и тому же вектору.

Докажите, что ортонормированная система $\left\{ f_{n}\right\}$ в $L^{2}\left(a, b\right)$ полна тогда и только тогда, когда

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — ортонормированная система в $L^{2}\left(0,1\right)$ и предположим, что существует $M>0$ такое, что $\left|f_{n}(x)\right| \leq M$ п.в. для всех $n \in \mathbb {N}$. Пусть $\left\{ c_{n}\right\}$ — последовательность вещественных чисел такая, что $\sum_{n=1}^{\infty } c_{n} f_{n}$ сходится п.в. Докажите, что $\lim_{n} c_{n}=0$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — ортонормированная система в $\mathcal{H}$, и пусть $\left\{ \alpha_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \in \ell^{2}$. Докажите, что $\sum_{n} \alpha_{n} x_{n}$ сходится безусловно. Сходится ли ряд, если $\left\{ \alpha_{n}\right\}_{n=1}^{\infty } \notin \ell^{2}$ ?

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство и пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — ортонормированная система в $\mathcal{H}$. Найдите последовательность $\left\{ \alpha_{n}\right\}$ вещественных чисел такую, что ряд $\sum_{n} \alpha_{n} x_{n}$ сходится безусловно, но не абсолютно.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, пусть $\left\{ x_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — ортонормированный базис $\mathcal{H}$, и пусть $\left\{ y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — ортонормированная система в $\mathcal{H}$. Предположим, что $\sum_{n} \left\| x_{n}- y_{n} \right\|^{2}<1$. Докажите, что $\left\{ y_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ также должна быть ортонормированным базисом $\mathcal{H}$. Остаётся ли это верным, если мы предполагаем лишь, что $\sum_{n}\left\| x_{n}-y_{n}\right\|^{2}<\infty$ ?

Пусть $\mathcal{M}$ — плотное подпространство сепарабельного гильбертова пространства $\mathcal{H}$. Докажите, что $\mathcal{H}$ имеет ортонормированный базис, состоящий из элементов $\mathcal{M}$.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $\mathcal{H}$, пусть

и пусть $X$ и $Y$ — замкнутая линейная оболочка $\left\{ x_{n}\right\}$ и $\left\{ y_{n}\right\}$ соответственно. Докажите, что:

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $\mathcal{H}$. Покажите, что существуют $x, y \in \mathcal{H}$ такие, что для всех $n \in \mathbb {N}, \left\langle x, e_{n} \right\rangle =1 / n^{4 / 3}$ и $\left\langle y, e_{n} \right\rangle =1 / n^{2 / 3}$. Найдите $\left\langle x, y \right\rangle$.

Пусть $\left\{ e_{\alpha }\right\}_{\alpha \in A}$ и $\left\{ f_{i}\right\}_{i \in I}$ — два ортонормированных базиса гильбертова пространства $\mathcal{H}$. Докажите, что множества $A$ и $I$ имеют одинаковую мощность.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство. Докажите, что замкнутый единичный шар $\overline{B(0,1)}$ компактен тогда и только тогда, когда $\mathcal{H}$ конечномерно.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой. Если $E \in \mathfrak {M}$, отождествим $L^{2}\left(E, \mu \right)$ с подпространством $L^{2}\left(X, \mu \right)$, состоящим из функций, обращающихся в нуль вне $E$. Предположим, что $\left\{ E_{n}\right\}$ — дизъюнктная последовательность в $\mathfrak {M}$ такая, что $X=\cup_{n=1}^{\infty } E_{n}$. Докажите, что:

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) и ( $Y, \mathfrak {N}, \nu$ ) — $\sigma$-конечные пространства с мерой такие, что $L^{2}\left(X, \mu \right)$ и $L^{2}\left(Y, \nu \right)$ оба сепарабельны, с ортонормированными базисами $\left\{ f_{n}\right\}$ и $\left\{ g_{n}\right\}$ соответственно, и пусть $h_{m n}(x, y)=f_{m}(x) g_{n}(y)$. Докажите, что $\left\{ h_{m n}\right\}_{m, n \in \mathbb {N}}$ — ортонормированный базис $L^{2}\left(\mu \times \nu \right)$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, пусть $\left\{ x_{n}\right\} , x$ — векторы в $\mathcal{H}$ такие, что $\left\| x_{n}\right\| = \left\| x\right\| =1$ для всех $n \in \mathbb {N}$, и предположим, что $\left|1- \left\langle x_{n}, x \right\rangle \right| \leq (n-1) / n$. Докажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ не является ортонормированным базисом $\mathcal{H}$.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — ортонормированный базис $L^{2}\left(0,1\right)$. Продолжим каждую $e_{n}$ на $\mathbb {R}$, полагая её равной 0 вне $[0,1]$, и для каждого $k \in \mathbb {Z}$ определим $e_{n, k}(x)=e_{n}(x-k)$. Докажите, что $\left\{ e_{n, k}: n \in \mathbb {N}, k \in \mathbb {Z}\right\}$ — ортонормированный базис $L^{2}\left(\mathbb {R}\right)$.

Пусть $\left\{ e_{n}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $\mathcal{H}$, и для каждого $n \in \mathbb {N}$ пусть $x_{n}=\sum_{k=1}^{n} e_{k}+e_{n+1}, y_{n}=\sum_{k=1}^{n} e_{k}-e_{n+1}$, и $z_{n}=x_{n}-x_{n+1}$. Докажите или опровергните:

Пусть $\mathcal{M}=\left\{ x \in \ell^{2}: x_{1}-x_{2}=0, x_{2}+x_{3}=0\right\}$. Найдите проекцию на $\mathcal{M}^{\perp }$ последовательности $\left\{ 1 / n\right\}$.

Пусть $\mathcal{M}=\left\{ f \in L^{2}\left(0,1\right): \int_{0}^{1} f(t) d t=\int_{0}^{1} t f(t) d t=\int_{0}^{1} t^{2} f(t) d t=0\right\}$. Найдите функцию в $\mathcal{M}$, ближайшую к $g(t)=t^{3}$.

Определите инфимум

по всем выборам многочленов $p$ степени не выше трёх.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — бесконечная ортонормированная система в $L^{2}\left(\mathbb {R}\right)$. При заданном $\varepsilon >0$ определим $E=\left\{ x \in \mathbb {R}: f_{n}(x) \geq \varepsilon , n \in \mathbb {N}\right\}$. Докажите, что $E$ измеримо, и найдите его меру.

Пусть $\mu$ — борелевская мера на $[0,2 \pi ]$, пусть $a_{0}=\frac{1}{\pi } \int_{0}^{2 \pi } d \mu , a_{n}= \frac{1}{2 \pi } \int_{0}^{2 \pi } \cos n x d \mu , b_{n}=\frac{1}{2 \pi } \int_{0}^{2 \pi } \sin n x d \mu$, для $n \in \mathbb {N}$, и предположим, что $a_{0}^{2}+ \sum_{k=1}^{\infty }\left(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}\right)<\infty$. Докажите, что $\mu$ абсолютно непрерывна относительно $\lambda =m \mid [0,2 \pi ]$ и что $d \mu / d \lambda \in L^{2}\left(0,2 \pi \right)$.

Приведите пример несепарабельного гильбертова пространства.

Пусть $F=\left\{ x_{n}\right\}$ — счётное подмножество гильбертова пространства $\mathcal{H}$, и предположим, что каждый $x \in \mathcal{H}$ является конечной линейной комбинацией некоторых векторов из $F$. Докажите, что $\mathcal{H}$ конечномерно.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\}$ — последовательность в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ такая, что $\sum_{k=1}^{\infty }\left\| x_{k}\right\|^{2}<\infty$, и пусть $s_{n}=\sum_{k=1}^{n} x_{k}$. Докажите или опровергните: $\left\{ s_{n}\right\}$ — фундаментальная последовательность в $\mathcal{H}$.

Пусть $X$ — множество вещественнозначных функций на $\mathbb {R}$ таких, что $f \in X$, если $f$ равна нулю всюду, кроме счётного подмножества $\mathbb {R}$, и

Докажите, что $X$ является банаховым пространством с этой нормой.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, пусть $\left\{ w_{j}: j \in J\right\}$ — линейно независимое множество векторов в $\mathcal{H}$, и пусть $W=\overline{\vee \left(\left\{ w_{j}: j \in J\right\} \right)}$ — пространство всех $\sum_{j \in J} c_{j} w_{j}$ не более чем со счётным числом $c_{j} \neq 0$ и $\sum \left\| c_{j} w_{j}\right\|^{2}<\infty$. Докажите, что существует ортонормированный базис $\left\{ b_{i}\right\}_{i \in I}$ пространства $W$ такой, что каждый $b_{i}$ принадлежит $\bar{\vee }\left(\left\{ w_{j}: j \in J, j \leq i\right\} \right)$.