Гильбертово пространство

Докажите, что $\left\langle x, y \right\rangle =\sum_{k=1}^{\infty } x_{k} y_{k}$ является скалярным произведением на $\ell^{2}$.

Докажите, что $\left\langle f, g \right\rangle =\int_{X} f g d \mu$ является скалярным произведением на $L^{2}\left(X, \mu \right)$.

Докажите предложение 10.5.4. Используйте его, чтобы вывести следствие 10.5.6.

Предложение 10.5.4 (неравенство Коши–Шварца): Для любых $x, y \in H$, $\left| \left\langle x, y \right\rangle \right| \leq \left\| x\right\| \left\| y\right\|$.

Следствие 10.5.6: При фиксированном $y \in H$ скалярное произведение $\left\langle x, y \right\rangle$ является непрерывной функцией от $x$ в нормированной топологии. Аналогичное утверждение верно, если зафиксировать $x$.

Докажите, что равенство в неравенстве Коши–Шварца выполняется тогда и только тогда, когда $x=0$ или $y=\lambda x$ при некотором $\lambda \in \mathbb {R}$.

Докажите предложение 10.5.5.

Предложение 10.5.5: Функция $\left\| \cdot \right\|$, определённая как $\left\| h\right\| = \sqrt{ \left\langle h, h \right\rangle }$ (формула (10.13)), является нормой на $H$.

Докажите предложение 10.5.7.

Предложение 10.5.7 (тождество параллелограмма): Для любых $x, y \in H$, $\left\| x-y\right\|^{2} + \left\| x+y\right\|^{2} = 2\left\| x\right\|^{2} + 2\left\| y\right\|^{2}$.

Докажите, что последовательность $\left\{ f_{n}\right\}$ из примера 10.5.13 фундаментальна, но не сходится.

Пример 10.5.13 (пространство со скалярным произведением, не являющееся гильбертовым): Пусть $H$ — множество $C[-1,1]$ со скалярным произведением $\left\langle f, g \right\rangle = \int_{-1}^{1} fg$. Определим $f_{n}(x) = 0$ при $-1 \leq x < 0$, $f_{n}(x) = nx$ при $0 \leq x < 1/n$, и $f_{n}(x) = 1$ при $1/n \leq x \leq 1$.

Докажите, что $L^{p}\left(0,1\right)$ не является гильбертовым пространством при $p \neq 2$.

Докажите, что $\ell^{p}$ не является гильбертовым пространством при $p \neq 2$.

Докажите, что $C[a, b]$ не является гильбертовым пространством.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство, в котором выполняется тождество параллелограмма. Докажите, что на $X$ существует скалярное произведение такое, что $\left\| x\right\|^{2}= \left\langle x, x \right\rangle$ для всех $\in X$.

Пусть $\mathcal{H}$ — множество всех абсолютно непрерывных функций $f:[0,1] \rightarrow \mathbb {R}$ таких, что $f(0)=0$ и $f^{\prime } \in L^{2}\left(0,1\right)$. Пусть $\left\langle f, g \right\rangle =\int_{0}^{1} f^{\prime }(t) g^{\prime }(t) d t$ для $f, g \in \mathcal{H}$. Докажите, что $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство.

Докажите тождество поляризации: для любых $x, y \in \mathcal{H}$,

Вектор $h$ в гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$ называется крайней точкой множества $A$, если

Докажите, что каждый единичный вектор в $\mathcal{H}$ является крайней точкой единичной сферы.

Пусть $\left\{ x_{n}\right\} ,\left\{ y_{n}\right\} , x, y$ — векторы в гильбертовом пространстве такие, что $\lim x_{n}=x$ и $\lim y_{n}=y$. Докажите, что $\lim \left\langle x_{n}, y_{n} \right\rangle = \left\langle x, y \right\rangle$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и пусть $\left\{ f_{n}\right\} , f \in L^{2}\left(X, \mu \right)$ такие, что

Докажите, что $\lim f_{n}=f$ по норме $L^{2}\left(X, \mu \right)$.

Пусть $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство и пусть $X$ обозначает множество всех последовательностей $\mathbf{x}=\left\{ x_{n}\right\}$, где для каждого $n \in \mathbb {N}, x_{n} \in \mathcal{H}$ и $\left\| \mathbf{x}\right\| :=\sup \left\{ \left\| x_{n}\right\| : n \in \mathbb {N}\right\} <\infty$. Докажите, что при естественном определении сложения и умножения на скаляр $X$ является нормированным линейным пространством. Является ли оно банаховым пространством? Является ли оно гильбертовым пространством?

В упражнениях 10.5.18–10.5.21 задано векторное подпространство $V$ пространства $L^{2}\left(0,1\right)$, состоящее из некоторых многочленов $p(x)=\sum_{k=0}^{\operatorname {deg} p} c_{k} x^{k}$. Найдите его ортогональное дополнение.

Все многочлены.

Многочлены от $x^{2}$, т.е. такие, что $c_{2 k-1}=0$ для всех $k \in \mathbb {N}$.

Многочлены со свойством $c_{0}=0$.

Многочлены, удовлетворяющие $\sum_{k=0}^{\operatorname {deg} p} c_{k}=0$.

Пусть $\mathcal{K}$ — подпространство гильбертова пространства $\mathcal{H}$. Докажите, что $\mathcal{K} \cap \mathcal{K}^{\perp }$ состоит только из нулевого вектора.

Пусть $\mathcal{K}, \mathcal{M}$ — два подпространства гильбертова пространства $\mathcal{H}$ такие, что $\mathcal{K} \subset \mathcal{M}$. Докажите, что $\mathcal{M}^{\perp } \subset \mathcal{K}^{\perp }$.

Пусть $S$ — подмножество гильбертова пространства. Докажите, что $\left(S^{\perp }\right)^{\perp }$ равно замкнутой линейной оболочке векторов из $S$.

Пусть $V$ — замкнутое подпространство гильбертова пространства $\mathcal{H}$, и пусть $x_{0} \in \mathcal{H}$. Покажите, что

Пусть $S$ — подмножество $\mathcal{H}$. Докажите, что $S^{\perp }=S^{\perp \perp \perp }$.

Пусть $\mathcal{K}, \mathcal{M}$ — два замкнутых подпространства гильбертова пространства $\mathcal{H}$, ортогональных друг другу. Докажите, что $\mathcal{K}+\mathcal{M}$ — замкнутое подпространство $\mathcal{H}$.

В упражнениях 10.5.28–10.5.30 $X$ — векторное пространство всех конечных последовательностей, снабжённое нормой и скалярным произведением $\ell^{2}$. Для данного подпространства $\mathcal{M} \subset X$ определите $\overline{\mathcal{M}}$ и $\mathcal{M}^{\perp }$.

$\mathcal{M}=\left\{ x=\left\{ x_{n}\right\} \in X: \sum_{n} x_{n}=0\right\}$.

$\mathcal{M}=\left\{ x=\left\{ x_{n}\right\} \in X: \sum_{n} x_{n} / n=0\right\}$.

$\mathcal{M}=\left\{ x=\left\{ x_{n}\right\} \in X: \sum_{n} x_{n} / \sqrt{n}=0\right\}$.

Пусть $\mathcal{K}, \mathcal{M}$ — два замкнутых подпространства гильбертова пространства $\mathcal{H}$. Докажите, что

Пусть $\mathcal{M}$ — подпространство гильбертова пространства $\mathcal{H}$, пусть $x \in \mathcal{H} \backslash \mathcal{M}$, пусть $d= d(x, \mathcal{M})$, и пусть $\left\{ x_{n}\right\} \subset \mathcal{M}$ такова, что $\lim_{n}\left\| x_{n}-x\right\| =d$. Докажите, что $\left\{ x_{n}\right\}$ — фундаментальная последовательность в $\mathcal{M}$.