Нормированные линейные пространства

Докажите, что $\ell^{1}$ является векторным пространством, и что $\left\| a\right\|_{1}=\sum_{k=1}^{\infty }\left|a_{k}\right|$ задаёт норму на $\ell^{1}$.

Докажите, что $\ell^{\infty }$ является векторным пространством, и что $\left\| a\right\|_{\infty }:=\sup_{n \in \mathbb {N}}\left|a_{n}\right|$ задаёт норму на $\ell^{\infty }$.

Докажите, что $C[a, b]$ является векторным пространством, и что $\left\| f\right\|_{\text{max }}=\max \left\{ \left|f(x)\right| : x \in [a, b]\right\}$ задаёт норму на $C[a, b]$.

Пусть $A C[0,1]$ обозначает векторное пространство абсолютно непрерывных функций на $[0,1]$. (См. упражнение 9.4.2.) Докажите, что $\left\| f\right\| :=\left|f(0)\right|+\int_{0}^{1}\left|f^{\prime }(t)\right| d t$ задаёт норму на $A C[0,1]$.

Пусть $B V[0,1]$ обозначает векторное пространство функций ограниченной вариации на $[0,1]$. (См. упражнение 9.3.15.) Докажите, что $\left\| f\right\| :=\left|f(0)\right|+V_{0}^{1}(f)$ задаёт норму на $B V[0,1]$.

Пусть $\operatorname {Lip}[0,1]$ обозначает векторное пространство липшицевых функций на $[0,1]$. Для $f \in \operatorname {Lip}[0,1]$ определим

Докажите, что $\left\| \cdot \right\|$ является нормой.

Пусть $X$ — конечномерное векторное пространство с базисом $\left\{ x_{k}\right\}_{k=1}^{n}$. Для $x=\sum_{k=1}^{n} c_{k} x_{k}$ определим

Докажите, что $\left\| \cdot \right\|_{\infty }$ является нормой на $X$.

Докажите, что $c$ является векторным пространством и что формула $\left\| \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \ldots \right)\right\| =\sup \left\{ \left|x_{n}\right|: n \in \mathbb {N}\right\}$ задаёт норму на $c$.

Пусть $X$ — векторное пространство, и предположим, что $\left\| \cdot \right\|_{\alpha }$ и $\left\| \cdot \right\|_{\beta }$ — обе нормы на $X$. Докажите, что $\left\| \cdot \right\| :=\left\| \cdot \right\|_{\alpha }+\left\| \cdot \right\|_{\beta }$ также является нормой.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Докажите, что $X$ является банаховым пространством тогда и только тогда, когда для любой последовательности $\left\{ x_{n}\right\} \subset X$ сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty }\left\| x_{n}\right\|$ влечёт сходимость ряда $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$.

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Докажите, что $X$ является банаховым пространством тогда и только тогда, когда множество $\left\{ x \in X:\left\| x\right\| =1\right\}$ является полным метрическим пространством относительно расстояния $d(x, y):=\left\| x-y\right\|$.

Докажите, что нормированное линейное пространство полно тогда и только тогда, когда всякая убывающая последовательность замкнутых шаров имеет непустое пересечение.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $V$ — замкнутое подпространство $X$. Докажите, что:

Докажите, что $C^{1}[a, b]$ является векторным пространством и что формула $\left\| f\right\|_{\text{max }}= \max_{x \in [a, b]}\left|f(x)\right|$ задаёт норму на $C^{1}[a, b]$, но что оно не является банаховым пространством.

Пусть $c_{0}$ обозначает подпространство $c$, состоящее из последовательностей, сходящихся к 0. Докажите, что $c_{0}$ является банаховым пространством относительно нормы (10.2).

Пусть $B(X)$ — множество всех ограниченных вещественнозначных функций на множестве $X$. Докажите, что $B(X)$ является банаховым пространством относительно нормы $\left\| f\right\| = \sup \left\{ \left|f(x)\right|: x \in X\right\}$.

Для $f \in C[a, b]$ определим

В Упражнениях 10.1.18--10.1.21 докажите, что множество $x=\left\{ x_{n}\right\}$, для которых $\left\| x\right\| <\infty$, является банаховым подпространством $c$ (пространства сходящихся последовательностей), где:

$\left\| x\right\| :=\left|x_{1}\right|+\sum_{n=1}^{\infty }\left|x_{n}-x_{n+1}\right|$.

В Упражнениях 10.1.18--10.1.21 докажите, что множество $x=\left\{ x_{n}\right\}$, для которых $\left\| x\right\| <\infty$, является банаховым подпространством $c$ (пространства сходящихся последовательностей), где:

$\left\| x\right\| :=\sum_{n=1}^{\infty }\left|x_{n}-x_{n+1}\right|$.

В Упражнениях 10.1.18--10.1.21 докажите, что множество $x=\left\{ x_{n}\right\}$, для которых $\left\| x\right\| <\infty$, является банаховым подпространством $c$ (пространства сходящихся последовательностей), где:

$\left\| x\right\| :=\sup_{n}\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k}\right|$.

В Упражнениях 10.1.18--10.1.21 докажите, что множество $x=\left\{ x_{n}\right\}$, для которых $\left\| x\right\| <\infty$, является банаховым подпространством $c$ (пространства сходящихся последовательностей), где:

$\left\| x\right\| :=\sup_{n}\left|\sum_{k=1}^{n} x_{k}\right|$ и пространство состоит из $x \in c$, для которых сходится ряд $\sum_{n=1}^{\infty } x_{n}$.

Пусть $(X, \mathfrak {M})$ — измеримое пространство, и пусть $M(\mathfrak {M})$ — векторное пространство всех конечных знакопеременных мер на $\mathfrak {M}$. Докажите, что:

Докажите, что $\left\| f\right\| :=\max_{x \in [0,1]}\left|f(x)\right|+\max_{x \in [0,1]}\left|f^{\prime }(x)\right|$ задаёт норму на $C^{1}[0,1]$ и что относительно этой нормы оно является банаховым пространством.

Пусть $X$ — векторное пространство многочленов на $\mathbb {R}$, и для многочлена $p(x)=\sum_{k=0}^{\operatorname {deg} p} c_{k} x^{k}$ определим

Докажите, что $\left\| \right\|$ является нормой и что $X$ не полно относительно этой нормы.

Пусть $X, Y$ — банаховы пространства, и для $(x, y) \in X \times Y$ определим $\left\| (x, y)\right\| = \left\| x\right\|_{X}+\left\| y\right\|_{Y}$. Докажите, что $\left\| \right\|$ является нормой на $X \times Y$, которая делает $X \times Y$ банаховым пространством.

Пусть $C_{b}(\mathbb {R})$ — множество всех ограниченных функций в $C(\mathbb {R})$. Докажите, что $C_{b}(\mathbb {R})$ является банаховым пространством.

Пусть $C_{0}(\mathbb {R}) \subset C(\mathbb {R})$ определяется так: $f \in C_{0}(\mathbb {R})$ тогда и только тогда, когда для каждого $\varepsilon >0$ множество $\left\{ x \in \mathbb {R}:\left|f(x)\right| \geq \varepsilon \right\}$ компактно. Докажите, что $C_{0}(\mathbb {R})$ является банаховым пространством.

Пусть $X$ — подмножество $\ell^{1}$, состоящее из последовательностей $\left\{ a_{n}\right\}$, для которых $\sum n\left|a_{n}\right|<\infty$. Докажите, что $X$ является подпространством $\ell^{1}$, которое не замкнуто.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $V, W$ — два его подпространства. Докажите, что $V+W$ является подпространством $X$ и что $V+W=\vee (V \cup W)$.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $\left\{ V_{i}\right\}_{i \in I}$ — семейство подпространств $X$. Докажите, что $\cap_{i \in I} V_{i}$ является подпространством $X$.

Докажите, что всякая сходящаяся последовательность в нормированном пространстве $X$ является последовательностью Коши.

Пусть $X$ — нормированное пространство, а $f: X \rightarrow \mathbb {R}$ — равномерно непрерывная функция. Докажите, что существуют $A, B>0$ такие, что для любого $x \in X$,

Докажите, что множество, состоящее из последовательности $e=(1,1,1, \ldots )$ и последовательностей $e_{n}=(0,0, \ldots , 0,1,0,0, \ldots )$ (с 1 на $n$-м месте), имеет плотную линейную оболочку в $c$. (См. Пример 10.1.9.)

Пусть $e_{n}=(0,0, \ldots , 0,1,0,0, \ldots )$ (с 1 на $n$-м месте). Докажите, что множество $\left\{ e_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ имеет плотную линейную оболочку в $c_{0}$. (См. Упражнение 10.1.15.)

Пусть $X$ — нормированное линейное пространство. Докажите, что функция $F: X \rightarrow \mathbb {R}$, определённая как $F(x)=\left\| x\right\|$, непрерывна.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Докажите, что замкнутый единичный шар является замкнутым подмножеством $X$.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Докажите, что замкнутый единичный шар является замыканием открытого единичного шара.

Пусть $X$ — нормированное пространство. Докажите, что единичный шар $X$ имеет единственные центр и радиус.

Пусть $X$ — банахово пространство, и определим $c_{0}(X)$ как пространство всех последовательностей $\left\{ x_{n}\right\} \subset X$ таких, что $\lim_{n}\left\| x_{n}\right\| =0$. Докажите, что $\left\| \left\{ x_{n}\right\} \right\| :=\sup_{n}\left\| x_{n}\right\|$ задаёт норму на $c_{0}(X)$ и что она делает $c_{0}(X)$ банаховым пространством.