Пространство $\LebesgueSpace{p}$

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<\infty$, и для функции $f: X \rightarrow \mathbb {R}^{*}$ пусть $[f]$ обозначает класс эквивалентности, состоящий из всех функций, равных $f$ п.в. Докажите, что операции, определённые формулами $[f]+[g]=[f+g]$ и $[\alpha f]=\alpha [f]$, где $\alpha \in \mathbb {R}$, корректно определены, и то же самое верно для $\left\| [f]\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{p}$.

Докажите Предложение 10.2.5.

Предложение 10.2.5: $L^{\infty }\left(X, \mu \right)$ является векторным пространством.

Докажите Предложение 10.2.6.

Предложение 10.2.6: $L^{1}\left(X, \mu \right)$ является нормированным векторным пространством с нормой, определённой как $\left\| f\right\|_{1} := \int_{X} \left|f\right| \, d\mu$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<\infty$, и пусть $\mathcal{L}^{p}$ — множество всех функций таких, что $\int_{X}\left|f\right|^{p} d \mu <\infty$. Докажите, что $d(f, g):=\left(\int_{X}\left|f-g\right|^{p}\right)^{1 / p}$ не задаёт расстояния на $\mathcal{L}^{p}$. Сформулируйте и докажите аналогичный результат для пространства всех ограниченных функций.

Проверьте утверждение, сделанное в Примере 10.2.16.

Пример 10.2.16 (все включения $L^{p_{2}}\left(E\right) \subset L^{p_{1}}\left(E\right)$ строгие): Пусть $E=(0,1]$, $-1/p_{1} < \alpha < -1/p_{2}$, и $f(x)=x^{\alpha }$. Тогда $f \in L^{p_{1}}\left(E\right) \setminus L^{p_{2}}\left(E\right)$.

Для $f \in L^{1}\left(a, b\right)$ определим $\left\| f\right\| =\int_{a}^{b} x^{2}\left|f(x)\right| d x$. Докажите, что $\left\| \right\|$ является нормой на $L^{1}\left(a, b\right)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, и пусть $f \in L^{\infty }\left(X, \mu \right)$. Докажите, что

Покажите, что если $f(x)=\ln (1 / x)$ для $x \in (0,1]$, то $f$ принадлежит $L^{p}(0,1]$ для всех $1 \leq p<\infty$, но не принадлежит $L^{\infty }(0,1]$.

Пусть $f$ — абсолютно непрерывная функция на $[0,1]$ такая, что $f(0)=0$ и

Докажите, что

существует, и вычислите значение этого предела.

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой, для которого $\mu (X)=1$, и пусть $f$ — измеримая функция на $X$. Докажите, что функция $F(p):=\left\| f\right\|_{p}$ является возрастающей на $[1, \infty )$. При каких условиях $F$ строго возрастает?

Докажите или опровергните: существует функция $f$, ограниченная и непрерывная на $(0,+\infty )$, для которой $\lim_{x \rightarrow \infty } f(x)=0$, но $f \notin L^{p}\left(0, \infty \right)$ ни для какого $p>0$.

Докажите, что равенство в неравенстве Юнга выполняется тогда и только тогда, когда $b=a^{p / q}$.

Докажите, что равенство в неравенстве Гёльдера, т.е. $\int_{X}\left|f g\right|= \left\| f\right\|_{p}\left\| g\right\|_{q}$, выполняется тогда и только тогда, когда $\left\| g\right\|_{q}^{q}\left|f\right|^{p}=\left\| f\right\|_{p}^{p}\left|g\right|^{q}$ п.в.

Докажите, что при $1<p<\infty$ равенство в неравенстве Минковского (10.7) выполняется тогда и только тогда, когда существуют неотрицательные числа $a, b$, не равные нулю одновременно, такие, что $a f=b g$ п.в.

Докажите, что при $p=1$ равенство в неравенстве Минковского (10.7) выполняется тогда и только тогда, когда $f g \geq 0$ п.в.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<q<r<\infty$, и пусть $f \in L^{q}\left(X, \mu \right)$. Докажите, что для каждого $t>0$ существуют функции $g \in L^{p}\left(X, \mu \right)$ и $h \in L^{r}\left(X, \mu \right)$ такие, что $f=g+h$ и

Докажите Предложение 10.2.15.

Предложение 10.2.15: Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой и $1 \leq p_{1} < p_{2} \leq \infty$. Тогда $L^{p_{2}}\left(X, \mu \right) \subset L^{p_{1}}\left(X, \mu \right)$. Более того, $\left\| f\right\|_{p_{1}} \leq C \left\| f\right\|_{p_{2}}$ для всех $f \in L^{p_{2}}\left(X, \mu \right)$, где $C = \left(\mu \left(X\right)\right)^{(p_{2}-p_{1})/(p_{1} p_{2})}$, если $p_{2} < \infty$, и $C = \left(\mu \left(X\right)\right)^{1/p_{1}}$, если $p_{2} = \infty$.

Приведите пример пространства с мерой и чисел $p_{1}>p_{2} \geq 1$ таких, что $L^{p_{1}}(X)$ и $L^{p_{2}}(X)$ совпадают.

Проверьте утверждение, сделанное в Замечании 10.2.17.

Пусть $0<\alpha \leq \beta$ и $f(x)=1 /\left(x^{\alpha }+x^{\beta }\right)$. Определите, при каких значениях $p$ функция $f$ принадлежит $L^{p}[0,+\infty )$.

Пусть $p, q, r$ — положительные числа, удовлетворяющие $1 / p+1 / q+1 / r=1$, и предположим, что $f \in L^{p}\left(X, \mu \right), g \in L^{q}\left(X, \mu \right), h \in L^{r}\left(X, \mu \right)$. Докажите, что функция $f g h$ интегрируема и что $\left\| f g h\right\|_{1} \leq \left\| f\right\|_{p}\left\| g\right\|_{q}\left\| h\right\|_{r}$.

Пусть $1 \leq p \leq r \leq q \leq \infty$. Докажите, что

и что, если $f \in L^{p}\left(X, \mu \right) \cap L^{q}\left(X, \mu \right)$, то

и $q^{-1}$ заменяется на 0, если $q=\infty$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, и пусть $f \in L^{\infty }\left(X, \mu \right)$. Докажите, что

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность функций на $[0,1]$ такая, что $f_{n}$ абсолютно непрерывна для каждого $n \in \mathbb {N}$, $f_{n}(0)=0$ для каждого $n \in \mathbb {N}$, и последовательность $\left\{ f_{n}^{\prime }\right\}$ сходится в $L^{1}\left(0,1\right)$.

Докажите, что:

Для $p \in [1,+\infty ]$ найдите значения параметра $\lambda$, при которых

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с конечной мерой, и для измеримой функции $f$ пусть $E_{n}=\left\{ x \in X: n-1 \leq \left|f(x)\right|<n\right\}$. Докажите, что $f \in L^{p}\left(X, \mu \right)$, $1 \leq p<\infty$, тогда и только тогда, когда

Является ли конечность $\mu$ необходимой?

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, и пусть $0<p<1$. Докажите, что $\left\| \cdot \right\|_{p}$ не является нормой на $L^{p}\left(X, \mu \right)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой такое, что $\mu (X)=1$, пусть $f, g \in L^{2}\left(X, \mu \right)$, и предположим, что $\int_{X} f d \mu =0$. Докажите, что

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ — пространство с мерой такое, что $\mu (X)=1$. Для $1<p<\infty$ пусть

Докажите, что для каждого $0<\varepsilon <1$ существует $\delta_{p}>0$ такое, что

для каждого $f \in \mathcal{A}_{p}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, и пусть $f$ — неотрицательная измеримая функция на $X$. Предположим, что

Докажите, что $f=f^{2}$ п.в.

Пусть $\left\{ f_{n}\right\} \subset L^{p}\left(0,1\right),\left\{ g_{n}\right\} \subset L^{q}\left(0,1\right), 1 / p+1 / q=1$, и предположим, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ в $L^{p}\left(0,1\right)$ и что $\left\{ g_{n}\right\}$ сходится к $g$ в $L^{q}\left(0,1\right)$. Докажите или опровергните:

Пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — последовательность функций в $L^{\infty }\left(X\right)$, сходящаяся п.в. к функции $f$, и предположим, что $\left\| f_{n}\right\|_{\infty } \leq M$ для всех $n \in \mathbb {N}$. Докажите, что $\left\| f\right\|_{\infty } \leq M$.

Пусть $E$ — измеримое подмножество $[0,1]$, для которого $m(E)>0$, и пусть $p<q$. Докажите или опровергните: существует функция, принадлежащая $L^{p}\left(0,1\right)$, но не принадлежащая $L^{q}\left(E\right)$.

Пусть $E$ — измеримое множество, и пусть $g$ — функция, определённая на $E$. Докажите, что произведение $f g$ принадлежит $L^{1}\left(E\right)$ для каждой функции $f \in L^{1}\left(E\right)$ тогда и только тогда, когда $g \in L^{\infty }\left(E\right)$.

Пусть $f$ — функция, принадлежащая одновременно $L^{4}\left(\mathbb {R}\right)$ и $L^{8}\left(\mathbb {R}\right)$. Обязана ли $f$ принадлежать $L^{5}\left(\mathbb {R}\right)$? $L^{2}\left(\mathbb {R}\right)$?

Докажите или опровергните: если $f \in L^{1}\left(0,+\infty \right)$, то существует интервал $(a, b)$ такой, что $f \in L^{2}\left(a, b\right)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, для которого $\mu (X)=1$, и пусть $p, q$ — два различных числа из $[1,+\infty ]$. Охарактеризуйте те измеримые вещественнозначные функции $f$, для которых $\left\| f\right\|_{p}=\left\| f\right\|_{q}$.

Пусть $1 \leq p<q \leq \infty$. Докажите, что $\ell^{p} \subset \ell^{q}$. Является ли включение строгим?

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой, пусть $1 \leq p<q \leq \infty$, и предположим, что $f \in L^{r}\left(X, \mu \right)$ для всех $r \in (p, q)$. Докажите, что

Пусть $(X, \mathfrak {M}, \nu )$ — пространство с конечной мерой, и пусть $\mu$ — знакопеременная мера на $\mathfrak {M}$ такая, что $\left|\mu \right|$ $\sigma$-конечна и $\mu \ll \nu$. Докажите, что $d \mu / d \nu \in L^{p}\left(X, \nu \right)$ тогда и только тогда, когда существует константа $C>0$ такая, что

для любого конечного непересекающегося набора $\left\{ A_{k}\right\} \subset \mathfrak {M}$, удовлетворяющего $X=\cup_{k=1}^{n} A_{k}$ и $\nu \left(A_{k}\right)>0$, для $1 \leq k \leq n$. Определите связь между наименьшей такой константой $C$ и $\left\| d \mu / d \nu \right\|_{p}$.

Пусть $1 \leq p<\infty$ и $f \in L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$. Найдите $\lim_{\left|y\right| \rightarrow \infty } \int_{\mathbb {R}} \left|f(x+y)+f(x)\right|^{p} d x$.

Пусть $1 \leq p<\infty$. Докажите или опровергните: $\cap_{1 \leq r<p} L^{r}\left(0,1\right) \subset L^{p}\left(0,1\right)$.

Пусть $1 \leq p<\infty$. Докажите или опровергните: $\cup_{r>p} L^{r}\left(0,1\right) \supset L^{p}\left(0,1\right)$.

Пусть $1 \leq p<\infty$. Докажите или опровергните: $\cap_{r>p} L^{r}\left(\mathbb {R}\right) \subset L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$.

Пусть $1 \leq p<\infty$. Докажите или опровергните: $\cup_{1 \leq r<p} L^{r}\left(\mathbb {R}\right) \supset L^{p}\left(\mathbb {R}\right)$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с мерой и $f \in L^{\infty }\left(X, \mu \right)$. Существенным множеством значений $f$ называется множество $R_{f}$ всех $y \in \mathbb {R}$, для которых множество $\left\{ x:\left|f(x)-y\right|<\varepsilon \right\}$ имеет положительную меру для каждого $\varepsilon >0$. Докажите, что $R_{f}$ компактно и что $\left\| f\right\|_{\infty }=\sup \left\{ \left|y\right|: y \in R_{f}\right\}$.

Пусть ( $X, \mathfrak {M}, \mu$ ) — пространство с конечной мерой, пусть $1 \leq p<\infty$, пусть $\theta >0$, и пусть $\left\{ f_{n}\right\}$ — ограниченная последовательность в $L^{p+\theta }\left(X, \mu \right)$, сходящаяся п.в. к функции $f$. Докажите, что $\left\{ f_{n}\right\}$ сходится к $f$ по норме $L^{p}\left(X, \mu \right)$.

Докажите, что $\sqrt{\cos t \sin^{3} t}+\sqrt{\sin t \cos^{3} t} \leq 1$ для всех $t \in [0,2 \pi ]$.

Докажите, что для любого $1<p<\infty$,

Для $p \in [1,+\infty ]$ докажите, что замкнутый единичный шар $\ell^{p}$ не компактен.