Векторные пространства

Определите, какие из следующих подмножеств $\mathbb {R}^{n}$ на самом деле являются подпространствами $\mathbb {R}^{n}$ $(n > 2)$.

Определите, какие из следующих подмножеств $\mathbb {R}^{n \times n}$ на самом деле являются подпространствами $\mathbb {R}^{n \times n}$.

Если $\mathcal{X}$ — плоскость, проходящая через начало координат в $\mathbb {R}^{3}$, а $\mathcal{Y}$ — прямая, проходящая через начало координат и перпендикулярная $\mathcal{X}$, чему равно $\mathcal{X} + \mathcal{Y}$?

Почему вещественное или комплексное ненулевое векторное пространство обязательно содержит бесконечное число векторов?

Изобразите в $\mathbb {R}^{3}$ подпространство, порождённое каждым из следующих наборов.

Какие из следующих наборов являются порождающими для $\mathbb {R}^{3}$?

Для векторного пространства $\mathcal{V}$ и для $\mathcal{M}, \mathcal{N} \subseteq \mathcal{V}$ объясните, почему

Пусть $\mathcal{X}$ и $\mathcal{Y}$ — два подпространства векторного пространства $\mathcal{V}$.

Для $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{m \times n}$ и $\mathcal{S} \subseteq \mathbb {R}^{n \times 1}$ множество $\mathbf{A}(\mathcal{S}) = \left\{ \mathbf{A}\overrightarrow {x} \mid \overrightarrow {x} \in \mathcal{S}\right\}$ содержит все возможные произведения $\mathbf{A}$ на векторы из $\mathcal{S}$. Мы называем $\mathbf{A}(\mathcal{S})$ множеством образов $\mathcal{S}$ под действием $\mathbf{A}$.

Используя обычные сложение и умножение, определите, являются ли следующие множества векторными пространствами над полем вещественных чисел.

Пусть $\mathcal{M} = \left\{ \overrightarrow {m}_1, \overrightarrow {m}_2, \ldots , \overrightarrow {m}_r\right\}$ и $\mathcal{N} = \left\{ \overrightarrow {m}_1, \overrightarrow {m}_2, \ldots , \overrightarrow {m}_r, \overrightarrow {v}\right\}$ — два множества векторов из одного и того же векторного пространства. Докажите, что $\operatorname {span}(\mathcal{M}) = \operatorname {span}(\mathcal{N})$ тогда и только тогда, когда $\overrightarrow {v} \in \operatorname {span}(\mathcal{M})$.

Для множества векторов $\mathcal{S} = \left\{ \overrightarrow {v}_1, \overrightarrow {v}_2, \ldots , \overrightarrow {v}_n\right\}$ докажите, что $\operatorname {span}(\mathcal{S})$ является пересечением всех подпространств, содержащих $\mathcal{S}$.

Определите порождающие множества для каждого из четырёх фундаментальных подпространств, связанных с

Четыре фундаментальных подпространства, связанные с $\mathbf{A}_{m \times n}$, — это область значений, или пространство столбцов, $R(\mathbf{A}) = \left\{ \mathbf{A}\overrightarrow {x}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{m}$, пространство строк, или левая область значений, $R(\mathbf{A}^T) = \left\{ \mathbf{A}^T \overrightarrow {y}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{n}$, ядро $N(\mathbf{A}) = \left\{ \overrightarrow {x} \mid \mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{n}$ и левое ядро $N(\mathbf{A}^T) = \left\{ \overrightarrow {y} \mid \mathbf{A}^T \overrightarrow {y} = \overrightarrow {0}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{m}$.

Рассмотрим систему линейных уравнений $\mathbf{A}_{m \times n} \overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$.

Предположим, что $\mathbf{A}$ — матрица $3 \times 3$, такая что

порождают $R(\mathbf{A})$ и $N(\mathbf{A})$ соответственно, и рассмотрим линейную систему $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$, где $\overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}$.

Если $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 3 & -4 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & -5 & 3 \\ -1 & 0 & 3 & -6 & 4 \\ -1 & 0 & 3 & -6 & 4 \end{pmatrix}$ и $\overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ -6 \\ -7 \\ -7 \end{pmatrix}$, верно ли, что $\overrightarrow {b} \in R(\mathbf{A})$?

Предположим, что $\mathbf{A}$ — матрица $n \times n$.

Рассмотрим матрицы $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 2 & 0 & 6 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix}$ и $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 4 & -8 & 6 \\ 0 & -4 & 5 \end{pmatrix}$.

Если $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_1 \\ \mathbf{A}_2 \end{pmatrix}$ — квадратная матрица, такая что $N(\mathbf{A}_1) = R(\mathbf{A}_2^T)$, докажите, что $\mathbf{A}$ обязательно невырождена.

Рассмотрим систему линейных уравнений $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$, для которой $\overrightarrow {y}^T \overrightarrow {b} = 0$ при всех $\overrightarrow {y} \in N(\mathbf{A}^T)$. Объясните, почему это означает, что система обязательно совместна.

Для матриц $\mathbf{A}_{m \times n}$ и $\mathbf{B}_{m \times p}$ докажите, что

Пусть $\overrightarrow {p}$ — некоторое частное решение линейной системы $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$.

Предположим, что $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ — совместная система линейных уравнений, и пусть $\overrightarrow {a} \in R(\mathbf{A}^T)$. Докажите, что скалярное произведение $\overrightarrow {a}^T \overrightarrow {x}$ постоянно для всех решений уравнения $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$.

Для матриц, для которых определено произведение $\mathbf{A}\mathbf{B}$, объясните, почему верно каждое из следующих утверждений.

Предположим, что $\mathcal{B} = \left\{ \overrightarrow {b}_1, \overrightarrow {b}_2, \ldots , \overrightarrow {b}_n\right\}$ — порождающее множество для $R(\mathbf{B})$. Докажите, что $\mathbf{A}(\mathcal{B}) = \left\{ \mathbf{A}\overrightarrow {b}_1, \mathbf{A}\overrightarrow {b}_2, \ldots , \mathbf{A}\overrightarrow {b}_n\right\}$ — порождающее множество для $R(\mathbf{A}\mathbf{B})$.

Определите, какие из следующих множеств линейно независимы. Для линейно зависимых множеств запишите один из векторов в виде линейной комбинации остальных.

Рассмотрим матрицу $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 2 \\ 6 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.

Предположим, что в популяции из миллиона детей рост каждого ребёнка измеряется в возрасте 1 год, 2 года и 3 года, и эти данные собираются в матрицу

= H.

Объясните, почему существует не более трёх «независимых детей» в том смысле, что рост всех остальных детей должен быть комбинацией этих «независимых».

Рассмотрим определённый вид полевых цветов, у которого каждое растение имеет несколько стеблей, листьев и цветков, и для каждого растения пусть выполняется следующее. $S =$ средняя длина стебля (в дюймах). $L =$ средняя ширина листа (в дюймах). $F =$ число цветков. Исследованы четыре конкретных растения, и информация сведена в следующую матрицу:

= A.

Для этих четырёх растений определите, существует ли линейная зависимость между $S$, $L$ и $F$. Другими словами, существуют ли константы $\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2$ и $\alpha_3$, такие что $\alpha_0 + \alpha_1 S + \alpha_2 L + \alpha_3 F = 0$?

Пусть $\mathcal{S} = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}$ — множество, содержащее только нулевой вектор.

Если $\mathbf{T}$ — треугольная матрица, у которой каждое $t_{ii} \neq 0$, объясните, почему строки и столбцы матрицы $\mathbf{T}$ обязательно образуют линейно независимые множества.

Определите, является ли следующее множество матриц линейно независимым:

Не проводя никаких вычислений, определите, является ли следующая матрица вырожденной или невырожденной:

В теории вопрос о том, является ли данное множество линейно независимым, — это чётко поставленная задача с прямолинейным решением. На практике, однако, эта задача зачастую оказывается не столь чётко определённой, поскольку она осложняется тем фактом, что обычно мы не можем использовать точную арифметику, и в зависимости от точности вычислений могут получаться противоречивые выводы. Например, пусть

Если $\mathbf{A}_{m \times n}$ — матрица, такая что $\sum_{j=1}^{n} a_{ij} = 0$ для каждого $i = 1, 2, \ldots , m$ (т.е. сумма элементов каждой строки равна $0$), объясните, почему столбцы $\mathbf{A}$ образуют линейно зависимое множество, и, следовательно, $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) < n$.

Если $\mathcal{S} = \left\{ \overrightarrow {u}_1, \overrightarrow {u}_2, \ldots , \overrightarrow {u}_n\right\}$ — линейно независимое подмножество $\mathbb {R}^{m \times 1}$, а $\mathbf{P}_{m \times m}$ — невырожденная матрица, объясните, почему множество

также обязано быть линейно независимым. Остаётся ли этот результат верным, если $\mathbf{P}$ вырождена?

Предположим, что $\mathcal{S} = \left\{ \overrightarrow {u}_1, \overrightarrow {u}_2, \ldots , \overrightarrow {u}_n\right\}$ — множество векторов из $\mathbb {R}^{m}$. Докажите, что $\mathcal{S}$ линейно независимо тогда и только тогда, когда множество

линейно независимо.

Какие из следующих множеств функций линейно независимы?

Докажите, что утверждение, обратное к утверждению из примера 4.3.6, ложно, показав, что $\mathcal{S} = \left\{ x^3, \; \left|x\right|^3\right\}$ — линейно независимое множество, но соответствующая матрица Вронского $\mathbf{W}(x)$ вырождена при всех значениях $x$.

Пример 4.3.6, на который дана ссылка выше: если множество функций линейно зависимо на интервале, то его матрица Вронского вырождена в каждой точке этого интервала.

Если $\mathbf{A}^T$ диагонально доминантна, объясните, почему при решении $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ методом гауссова исключения не требуется частичный выбор ведущего элемента.

Найдите размерности четырёх фундаментальных подпространств, связанных с

Найдите базис для каждого из четырёх фундаментальных подпространств, связанных с

Определите размерность пространства, натянутого на множество

Определите размерности каждого из следующих векторных пространств:

Рассмотрим следующую матрицу и вектор-столбец:

Убедитесь, что $\overrightarrow {v} \in N(\mathbf{A})$, а затем дополните $\left\{ \overrightarrow {v}\right\}$ до базиса $N(\mathbf{A})$.

Приём из примера 4.4.5: если дано независимое множество и дополнительные векторы-кандидаты, поместите их вместе в качестве столбцов матрицы и приведите её к ступенчатому виду; столбцы, оказавшиеся базисными, определяют максимальное линейно независимое подмножество, содержащее исходное множество, а значит и базис пространства, которое они натягивают.

Определите, является ли множество

базисом пространства, натянутого на множество

Постройте однородную систему уравнений $4 \times 4$, не имеющую нулевых коэффициентов и обладающую тремя линейно независимыми решениями.

Пусть $\mathcal{B} = \left\{ \overrightarrow {b}_1, \overrightarrow {b}_2, \ldots , \overrightarrow {b}_n\right\}$ — базис векторного пространства $\mathcal{V}$. Докажите, что каждый вектор $\overrightarrow {v} \in \mathcal{V}$ может быть представлен в виде линейной комбинации $\overrightarrow {b}_i$

единственным способом — то есть координаты $\alpha_i$ определены однозначно.

Для $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{m \times n}$ и подпространства $\mathcal{S}$ пространства $\mathbb {R}^{n \times 1}$ образ

пространства $\mathcal{S}$ при отображении $\mathbf{A}$ является подпространством $\mathbb {R}^{m \times 1}$ — вспомните упражнение 4.1.9. Докажите, что если $\mathcal{S} \cap N(\mathbf{A}) = \overrightarrow {0}$, то $\dim \mathbf{A}(\mathcal{S}) = \dim (\mathcal{S})$.

Объясните, почему $\left|\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) - \operatorname {rk}\left(\mathbf{B}\right)\right| \leq \operatorname {rk}\left(\mathbf{A} - \mathbf{B}\right)$.

Если $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}_{m \times n}\right) = r$ и $\operatorname {rk}\left(\mathbf{E}_{m \times n}\right) = k \leq r$, объясните, почему

Другими словами, это означает, что возмущение ранга $k$ может изменить ранг не более чем на $k$.

Результат примера 4.4.8: $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A} + \mathbf{B}\right) \leq \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) + \operatorname {rk}\left(\mathbf{B}\right)$ для любых матриц $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ одинаковой формы.

Объясните, почему всякое ненулевое подпространство $\mathcal{V} \subseteq \mathbb {R}^{n}$ обязательно обладает базисом.

Объясните, почему любой набор из $m - 1$ строк матрицы инцидентности $\mathbf{E}$ связного ориентированного графа с $m$ узлами линейно независим.

Для матрицы инцидентности $\mathbf{E}$ ориентированного графа объясните, почему

Если $\mathcal{M}$ и $\mathcal{N}$ — подмножества пространства $\mathcal{V}$, объясните, почему

Рассмотрим две матрицы $\mathbf{A}_{m \times n}$ и $\mathbf{B}_{m \times k}$.

Предположим, что $\mathbf{A}$ — матрица с $m$ строками, такая что система $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ имеет единственное решение для каждого $\overrightarrow {b} \in \mathbb {R}^{m}$. Объясните, почему это означает, что $\mathbf{A}$ обязательно квадратная и невырожденная.

Пусть $\mathcal{S}$ — множество решений совместной системы линейных уравнений $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$.

Пусть $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}_{m \times n}\right) = r$, и предположим, что $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ с $\overrightarrow {b} \neq \overrightarrow {0}$ — совместная система. Если $\mathcal{H} = \left\{ \overrightarrow {h}_1, \overrightarrow {h}_2, \ldots , \overrightarrow {h}_{n-r}\right\}$ — базис пространства $N(\mathbf{A})$, а $\overrightarrow {p}$ — частное решение системы $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$, покажите, что

является максимальным независимым множеством решений.

В примере 4.4.6 мы начинали с графа, чтобы построить матрицу, но ситуацию можно и обратить, начав с матрицы, чтобы построить связанный с ней граф. Графом матрицы $\mathbf{A}_{n \times n}$ (обозначаемым $\mathcal{G}(\mathbf{A})$) называется ориентированный граф на $n$ узлах $\left\{ N_1, N_2, \ldots , N_n\right\}$, в котором существует ориентированное ребро, ведущее из $N_i$ в $N_j$ тогда и только тогда, когда $a_{ij} \neq 0$. Ориентированный граф $\mathcal{G}(\mathbf{A})$ называется сильно связным, если для каждой пары узлов $(N_i, N_k)$ существует последовательность ориентированных рёбер, ведущая из $N_i$ в $N_k$. Матрица $\mathbf{A}$ называется приводимой, если существует матрица перестановки $\mathbf{P}$ такая, что $\mathbf{P}^T \mathbf{A} \mathbf{P} = \begin{pmatrix} \mathbf{X} & \mathbf{Y} \\ \overrightarrow {0} & \mathbf{Z} \end{pmatrix}$, где $\mathbf{X}$ и $\mathbf{Z}$ — обе квадратные матрицы. В противном случае $\mathbf{A}$ называется неприводимой. Докажите, что $\mathcal{G}(\mathbf{A})$ сильно связен тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}$ неприводима.

Проверьте, что $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}^T \mathbf{A}\right) = \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) = \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T\right)$ для

Определите $\dim \left(N(\mathbf{A}) \cap R(\mathbf{B})\right)$ для

Для матриц, заданных в упражнении 4.5.2, воспользуйтесь процедурой, описанной на стр.211, чтобы определить базис пространства $N(\mathbf{A}) \cap R(\mathbf{B})$.

Процедура: для $\mathbf{A}_{m \times n}$ и $\mathbf{B}_{n \times p}$ базис пространства $N(\mathbf{A}) \cap R(\mathbf{B})$ строится следующим образом — находим базис $\left\{ \overrightarrow {x}_1, \ldots , \overrightarrow {x}_r\right\}$ пространства $R(\mathbf{B})$, полагаем $\mathbf{X}_{n \times r} = (\overrightarrow {x}_1 \mid \overrightarrow {x}_2 \mid \cdots \mid \overrightarrow {x}_r)$, находим базис $\left\{ \overrightarrow {v}_1, \ldots , \overrightarrow {v}_s\right\}$ пространства $N(\mathbf{A}\mathbf{X})$, и тогда $\mathcal{B} = \left\{ \mathbf{X}\overrightarrow {v}_1, \mathbf{X}\overrightarrow {v}_2, \ldots , \mathbf{X}\overrightarrow {v}_s\right\}$ — базис пространства $N(\mathbf{A}) \cap R(\mathbf{B})$.

Если $\mathbf{A}_1 \mathbf{A}_2 \cdots \mathbf{A}_k$ — произведение квадратных матриц, в котором некоторая $\mathbf{A}_i$ вырождена, объясните, почему всё произведение должно быть вырожденным.

Для $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{m \times n}$ объясните, почему из $\mathbf{A}^T \mathbf{A} = \mathbf{0}$ следует $\mathbf{A} = \mathbf{0}$.

Найдите $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right)$ и все невырожденные подматрицы максимального порядка в

Возможно ли, чтобы $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right) < \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right)$ и $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right) < \operatorname {rk}\left(\mathbf{B}\right)$ для одной и той же пары матриц?

Верно ли, что $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right) = \operatorname {rk}\left(\mathbf{B}\mathbf{A}\right)$, когда оба произведения определены? Почему?

Объясните, почему $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right) = \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) - \dim \left(N(\mathbf{B}^T) \cap R(\mathbf{A}^T)\right)$.