Линейная независимость

Определите, какие из следующих множеств линейно независимы. Для линейно зависимых множеств запишите один из векторов в виде линейной комбинации остальных.

Рассмотрим матрицу $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 1 & 2 \\ 6 & 3 & 2 & 2 \end{pmatrix}$.

Предположим, что в популяции из миллиона детей рост каждого ребёнка измеряется в возрасте 1 год, 2 года и 3 года, и эти данные собираются в матрицу

= H.

Объясните, почему существует не более трёх «независимых детей» в том смысле, что рост всех остальных детей должен быть комбинацией этих «независимых».

Рассмотрим определённый вид полевых цветов, у которого каждое растение имеет несколько стеблей, листьев и цветков, и для каждого растения пусть выполняется следующее. $S =$ средняя длина стебля (в дюймах). $L =$ средняя ширина листа (в дюймах). $F =$ число цветков. Исследованы четыре конкретных растения, и информация сведена в следующую матрицу:

= A.

Для этих четырёх растений определите, существует ли линейная зависимость между $S$, $L$ и $F$. Другими словами, существуют ли константы $\alpha_0, \alpha_1, \alpha_2$ и $\alpha_3$, такие что $\alpha_0 + \alpha_1 S + \alpha_2 L + \alpha_3 F = 0$?

Пусть $\mathcal{S} = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}$ — множество, содержащее только нулевой вектор.

Если $\mathbf{T}$ — треугольная матрица, у которой каждое $t_{ii} \neq 0$, объясните, почему строки и столбцы матрицы $\mathbf{T}$ обязательно образуют линейно независимые множества.

Определите, является ли следующее множество матриц линейно независимым:

Не проводя никаких вычислений, определите, является ли следующая матрица вырожденной или невырожденной:

В теории вопрос о том, является ли данное множество линейно независимым, — это чётко поставленная задача с прямолинейным решением. На практике, однако, эта задача зачастую оказывается не столь чётко определённой, поскольку она осложняется тем фактом, что обычно мы не можем использовать точную арифметику, и в зависимости от точности вычислений могут получаться противоречивые выводы. Например, пусть

Если $\mathbf{A}_{m \times n}$ — матрица, такая что $\sum_{j=1}^{n} a_{ij} = 0$ для каждого $i = 1, 2, \ldots , m$ (т.е. сумма элементов каждой строки равна $0$), объясните, почему столбцы $\mathbf{A}$ образуют линейно зависимое множество, и, следовательно, $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) < n$.

Если $\mathcal{S} = \left\{ \overrightarrow {u}_1, \overrightarrow {u}_2, \ldots , \overrightarrow {u}_n\right\}$ — линейно независимое подмножество $\mathbb {R}^{m \times 1}$, а $\mathbf{P}_{m \times m}$ — невырожденная матрица, объясните, почему множество

также обязано быть линейно независимым. Остаётся ли этот результат верным, если $\mathbf{P}$ вырождена?

Предположим, что $\mathcal{S} = \left\{ \overrightarrow {u}_1, \overrightarrow {u}_2, \ldots , \overrightarrow {u}_n\right\}$ — множество векторов из $\mathbb {R}^{m}$. Докажите, что $\mathcal{S}$ линейно независимо тогда и только тогда, когда множество

линейно независимо.

Какие из следующих множеств функций линейно независимы?

Докажите, что утверждение, обратное к утверждению из примера 4.3.6, ложно, показав, что $\mathcal{S} = \left\{ x^3, \; \left|x\right|^3\right\}$ — линейно независимое множество, но соответствующая матрица Вронского $\mathbf{W}(x)$ вырождена при всех значениях $x$.

Пример 4.3.6, на который дана ссылка выше: если множество функций линейно зависимо на интервале, то его матрица Вронского вырождена в каждой точке этого интервала.

Если $\mathbf{A}^T$ диагонально доминантна, объясните, почему при решении $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ методом гауссова исключения не требуется частичный выбор ведущего элемента.