4.2

Четыре фундаментальных подпространства

[13/100%]
Показать
LaTeX
Задача 4.2.1

Определите порождающие множества для каждого из четырёх фундаментальных подпространств, связанных с

A=(12115−2−404−212249). \mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 1 & 5 \\ -2 & -4 & 0 & 4 & -2 \\ 1 & 2 & 2 & 4 & 9 \end{pmatrix}.

Четыре фундаментальных подпространства, связанные с Am×n\mathbf{A}_{m \times n}, — это область значений, или пространство столбцов, R(A)={Ax→}⊆RmR(\mathbf{A}) = \left\{ \mathbf{A}\overrightarrow {x}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{m}, пространство строк, или левая область значений, R(AT)={ATy→}⊆RnR(\mathbf{A}^T) = \left\{ \mathbf{A}^T \overrightarrow {y}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{n}, ядро N(A)={x→∣Ax→=0→}⊆RnN(\mathbf{A}) = \left\{ \overrightarrow {x} \mid \mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{n} и левое ядро N(AT)={y→∣ATy→=0→}⊆RmN(\mathbf{A}^T) = \left\{ \overrightarrow {y} \mid \mathbf{A}^T \overrightarrow {y} = \overrightarrow {0}\right\} \subseteq \mathbb {R}^{m}.

?
Задача 4.2.2

Рассмотрим систему линейных уравнений Am×nx→=b→\mathbf{A}_{m \times n} \overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}.

?
(a)

Объясните, почему Ax→=b→\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b} совместна тогда и только тогда, когда b→∈R(A)\overrightarrow {b} \in R(\mathbf{A}).

(b)

Объясните, почему совместная система Ax→=b→\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b} имеет единственное решение тогда и только тогда, когда N(A)={0→}N(\mathbf{A}) = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}.

Задача 4.2.3

Предположим, что A\mathbf{A} — матрица 3×33 \times 3, такая что

R={(123),(1−12)}иN={(−210)} \mathcal{R} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}\right\} \quad \text{и} \quad \mathcal{N} = \left\{ \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\}

порождают R(A)R(\mathbf{A}) и N(A)N(\mathbf{A}) соответственно, и рассмотрим линейную систему Ax→=b→\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}, где b→=(1−70)\overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -7 \\ 0 \end{pmatrix}.

?
(a)

Объясните, почему Ax→=b→\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b} обязательно совместна.

(b)

Объясните, почему Ax→=b→\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b} не может иметь единственное решение.

Задача 4.2.4

Если A=(−111−21−103−42−103−53−103−64−103−64)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & -2 & 1 \\ -1 & 0 & 3 & -4 & 2 \\ -1 & 0 & 3 & -5 & 3 \\ -1 & 0 & 3 & -6 & 4 \\ -1 & 0 & 3 & -6 & 4 \end{pmatrix} и b→=(−2−5−6−7−7)\overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \\ -6 \\ -7 \\ -7 \end{pmatrix}, верно ли, что b→∈R(A)\overrightarrow {b} \in R(\mathbf{A})?

?
Задача 4.2.5

Предположим, что A\mathbf{A} — матрица n×nn \times n.

?
(a)

Если R(A)=RnR(\mathbf{A}) = \mathbb {R}^{n}, объясните, почему A\mathbf{A} обязательно невырождена.

(b)

Если A\mathbf{A} невырождена, опишите её четыре фундаментальных подпространства.

Задача 4.2.6

Рассмотрим матрицы A=(115206127)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5 \\ 2 & 0 & 6 \\ 1 & 2 & 7 \end{pmatrix} и B=(1−444−860−45)\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 1 & -4 & 4 \\ 4 & -8 & 6 \\ 0 & -4 & 5 \end{pmatrix}.

?
(a)

Имеют ли A\mathbf{A} и B\mathbf{B} одно и то же пространство строк?

(b)

Имеют ли A\mathbf{A} и B\mathbf{B} одно и то же пространство столбцов?

(c)

Имеют ли A\mathbf{A} и B\mathbf{B} одно и то же ядро?

(d)

Имеют ли A\mathbf{A} и B\mathbf{B} одно и то же левое ядро?

Задача 4.2.7

Если A=(A1A2)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_1 \\ \mathbf{A}_2 \end{pmatrix} — квадратная матрица, такая что N(A1)=R(A2T)N(\mathbf{A}_1) = R(\mathbf{A}_2^T), докажите, что A\mathbf{A} обязательно невырождена.

?
Задача 4.2.8

Рассмотрим систему линейных уравнений Ax→=b→\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}, для которой y→Tb→=0\overrightarrow {y}^T \overrightarrow {b} = 0 при всех y→∈N(AT)\overrightarrow {y} \in N(\mathbf{A}^T). Объясните, почему это означает, что система обязательно совместна.

?
Задача 4.2.9

Для матриц Am×n\mathbf{A}_{m \times n} и Bm×p\mathbf{B}_{m \times p} докажите, что

R(A∣B)=R(A)+R(B). R(\mathbf{A} \mid \mathbf{B}) = R(\mathbf{A}) + R(\mathbf{B}).
?
Задача 4.2.10

Пусть p→\overrightarrow {p} — некоторое частное решение линейной системы Ax→=b→\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}.

?
(a)

Объясните смысл множества

p→+N(A)={p→+h→∣h→∈N(A)}. \overrightarrow {p} + N(\mathbf{A}) = \left\{ \overrightarrow {p} + \overrightarrow {h} \mid \overrightarrow {h} \in N(\mathbf{A})\right\} .
(b)

Если rk⁡(A3×3)=1\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}_{3 \times 3}\right) = 1, нарисуйте набросок p→+N(A)\overrightarrow {p} + N(\mathbf{A}) в R3\mathbb {R}^{3}.

(c)

Повторите пункт (б) для случая rk⁡(A3×3)=2\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}_{3 \times 3}\right) = 2.

Задача 4.2.11

Предположим, что Ax→=b→\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b} — совместная система линейных уравнений, и пусть a→∈R(AT)\overrightarrow {a} \in R(\mathbf{A}^T). Докажите, что скалярное произведение a→Tx→\overrightarrow {a}^T \overrightarrow {x} постоянно для всех решений уравнения Ax→=b→\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}.

?
Задача 4.2.12

Для матриц, для которых определено произведение AB\mathbf{A}\mathbf{B}, объясните, почему верно каждое из следующих утверждений.

?
(a)

R(AB)⊆R(A)R(\mathbf{A}\mathbf{B}) \subseteq R(\mathbf{A}).

(b)

N(AB)⊇N(B)N(\mathbf{A}\mathbf{B}) \supseteq N(\mathbf{B}).

Задача 4.2.13

Предположим, что B={b→1,b→2,…,b→n}\mathcal{B} = \left\{ \overrightarrow {b}_1, \overrightarrow {b}_2, \ldots , \overrightarrow {b}_n\right\} — порождающее множество для R(B)R(\mathbf{B}). Докажите, что A(B)={Ab→1,Ab→2,…,Ab→n}\mathbf{A}(\mathcal{B}) = \left\{ \mathbf{A}\overrightarrow {b}_1, \mathbf{A}\overrightarrow {b}_2, \ldots , \mathbf{A}\overrightarrow {b}_n\right\} — порождающее множество для R(AB)R(\mathbf{A}\mathbf{B}).

?