Ещё о ранге

Проверьте, что $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}^T \mathbf{A}\right) = \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) = \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\mathbf{A}^T\right)$ для

Определите $\dim \left(N(\mathbf{A}) \cap R(\mathbf{B})\right)$ для

Для матриц, заданных в упражнении 4.5.2, воспользуйтесь процедурой, описанной на стр.211, чтобы определить базис пространства $N(\mathbf{A}) \cap R(\mathbf{B})$.

Процедура: для $\mathbf{A}_{m \times n}$ и $\mathbf{B}_{n \times p}$ базис пространства $N(\mathbf{A}) \cap R(\mathbf{B})$ строится следующим образом — находим базис $\left\{ \overrightarrow {x}_1, \ldots , \overrightarrow {x}_r\right\}$ пространства $R(\mathbf{B})$, полагаем $\mathbf{X}_{n \times r} = (\overrightarrow {x}_1 \mid \overrightarrow {x}_2 \mid \cdots \mid \overrightarrow {x}_r)$, находим базис $\left\{ \overrightarrow {v}_1, \ldots , \overrightarrow {v}_s\right\}$ пространства $N(\mathbf{A}\mathbf{X})$, и тогда $\mathcal{B} = \left\{ \mathbf{X}\overrightarrow {v}_1, \mathbf{X}\overrightarrow {v}_2, \ldots , \mathbf{X}\overrightarrow {v}_s\right\}$ — базис пространства $N(\mathbf{A}) \cap R(\mathbf{B})$.

Если $\mathbf{A}_1 \mathbf{A}_2 \cdots \mathbf{A}_k$ — произведение квадратных матриц, в котором некоторая $\mathbf{A}_i$ вырождена, объясните, почему всё произведение должно быть вырожденным.

Для $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{m \times n}$ объясните, почему из $\mathbf{A}^T \mathbf{A} = \mathbf{0}$ следует $\mathbf{A} = \mathbf{0}$.

Найдите $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right)$ и все невырожденные подматрицы максимального порядка в

Возможно ли, чтобы $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right) < \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right)$ и $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right) < \operatorname {rk}\left(\mathbf{B}\right)$ для одной и той же пары матриц?

Верно ли, что $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right) = \operatorname {rk}\left(\mathbf{B}\mathbf{A}\right)$, когда оба произведения определены? Почему?

Объясните, почему $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right) = \operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) - \dim \left(N(\mathbf{B}^T) \cap R(\mathbf{A}^T)\right)$.

Объясните, почему $\dim N(\mathbf{A}_{m \times n} \mathbf{B}_{n \times p}) = \dim N(\mathbf{B}) + \dim \left(R(\mathbf{B}) \cap N(\mathbf{A})\right)$.

Закон Сильвестра о нуль-мерности, сформулированный Джеймсом Дж. Сильвестром в 1884 году, утверждает, что для квадратных матриц $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$

где $\nu (\star ) = \dim N(\star )$ обозначает нуль-мерность (размерность ядра).

Для матриц $\mathbf{A}_{m \times n}$ и $\mathbf{B}_{n \times p}$ докажите каждое из следующих утверждений:

Выполните следующие вычисления, используя матрицы:

Докажите, что если элементы матрицы $\mathbf{F}_{r \times r}$ удовлетворяют $\sum_{j=1}^{r} \left|f_{ij}\right| < 1$ для каждого $i$ (т.е. каждая сумма модулей элементов строки $< 1$), то $\mathbf{I} + \mathbf{F}$ невырождена.

Если $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \mathbf{W} & \mathbf{X} \\ \mathbf{Y} & \mathbf{Z} \end{pmatrix}$, где $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) = r = \operatorname {rk}\left(\mathbf{W}_{r \times r}\right)$, покажите, что существуют матрицы $\mathbf{B}$ и $\mathbf{C}$ такие, что

Для сходящейся последовательности $\left\{ \mathbf{A}_k\right\}_{k=1}^{\infty }$ матриц пусть $\mathbf{A} = \lim_{k \rightarrow \infty } \mathbf{A}_k$.

Установите справедливость результата Фробениуса 1911 года, утверждающего, что если $\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}$ существует, то

Если $\mathbf{A}$ имеет размер $n \times n$, докажите, что следующие утверждения эквивалентны:

1. $N(\mathbf{A}) = N(\mathbf{A}^2)$.

2. $R(\mathbf{A}) = R(\mathbf{A}^2)$.

3. $R(\mathbf{A}) \cap N(\mathbf{A}) = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}$.

Пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — матрицы размера $n \times n$, такие что $\mathbf{A} = \mathbf{A}^2$, $\mathbf{B} = \mathbf{B}^2$ и $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{B}\mathbf{A} = \mathbf{0}$.

Для $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{m \times n}$ такой, что $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}\right) = r$, пусть $\mathbf{A} = \mathbf{B}\mathbf{C}$ — разложение $\mathbf{A}$ полного ранга, в котором $\mathbf{B}_{m \times r}$ — матрица базисных столбцов из $\mathbf{A}$, а $\mathbf{C}_{r \times n}$ — матрица ненулевых строк из $\mathbf{E}_{\mathbf{A}}$ (см. упражнение 3.9.8). Матрица, определённая как

называется псевдообратной матрицей Мура–Пенроуза для $\mathbf{A}$. Некоторые авторы называют $\mathbf{A}^{\dagger }$ псевдообратной или обобщённой обратной матрицей для $\mathbf{A}$.