Линейные преобразования

Определите, какие из следующих функций являются линейными операторами на $\mathbb {R}^{2}$.

Для $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n \times n}$ определите, какие из следующих функций являются линейными преобразованиями.

Объясните, почему $\mathbf{T}(\overrightarrow {0}) = \overrightarrow {0}$ для любого линейного преобразования $\mathbf{T}$.

Определите, какие из следующих отображений являются линейными операторами на $\mathcal{P}_n$ — векторном пространстве многочленов степени не выше $n$.

Пусть $\overrightarrow {v}$ — фиксированный вектор в $\mathbb {R}^{n \times 1}$, и пусть $\mathbf{T} : \mathbb {R}^{n \times 1} \rightarrow \mathbb {R}$ — отображение, определённое как $\mathbf{T}(\overrightarrow {x}) = \overrightarrow {v}^T \overrightarrow {x}$ (т.е. стандартное скалярное произведение).

Для оператора $\mathbf{T} : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}^{2}$, определённого как $\mathbf{T}(x,y) = (x+y, -2x+4y)$, определите $[\mathbf{T}]_{\mathcal{B}}$, где $\mathcal{B}$ — базис $\mathcal{B} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right\}$.

Пусть $\mathbf{T} : \mathbb {R}^{2} \rightarrow \mathbb {R}^{3}$ — линейное преобразование, определённое как $\mathbf{T}(x,y) = (x+3y, 0, 2x-4y)$.

Пусть $\mathbf{T}$ — оператор на $\mathbb {R}^{3}$, определённый как $\mathbf{T}(x,y,z) = (x-y, y-x, x-z)$, и рассмотрим вектор

Для $\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{n \times n}$ пусть $\mathbf{T}$ — линейный оператор на $\mathbb {R}^{n \times 1}$, определённый как $\mathbf{T}(\overrightarrow {x}) = \mathbf{A}\overrightarrow {x}$. То есть $\mathbf{T}$ — оператор, определяемый умножением на матрицу. Относительно стандартного базиса $\mathcal{S}$ покажите, что $[\mathbf{T}]_{\mathcal{S}} = \mathbf{A}$.

Формула (4.7.4): если $\mathcal{B} = \left\{ \overrightarrow {u}_i\right\}_{i=1}^n$ и $\mathcal{B}' = \left\{ \overrightarrow {v}_i\right\}_{i=1}^m$ — базисы и $\mathbf{T}(\overrightarrow {u}_j) = \sum_i \alpha_{ij} \overrightarrow {v}_i$, то $[\mathbf{T}]_{\mathcal{B}\mathcal{B}'} = (\alpha_{ij})$ — координатное матричное представление $\mathbf{T}$, удовлетворяющее $[\mathbf{T}(\overrightarrow {u})]_{\mathcal{B}'} = [\mathbf{T}]_{\mathcal{B}\mathcal{B}'}[\overrightarrow {u}]_{\mathcal{B}}$ для любого $\overrightarrow {u}$.

Если $\mathbf{T}$ — линейный оператор на пространстве $\mathcal{V}$ с базисом $\mathcal{B}$, объясните, почему $[\mathbf{T}^k]_{\mathcal{B}} = [\mathbf{T}]_{\mathcal{B}}^k$ для всех неотрицательных целых $k$.

Пусть $\mathbf{P}$ — проектор, отображающий каждую точку $\overrightarrow {v} \in \mathbb {R}^{2}$ в её ортогональную проекцию на прямую $y = x$.

Рисунок 4.7.4

Для стандартного базиса $\mathcal{S} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}$ пространства $\mathbb {R}^{2 \times 2}$ найдите матричное представление $[\mathbf{T}]_{\mathcal{S}}$ для каждого из следующих линейных операторов на $\mathbb {R}^{2 \times 2}$, а затем проверьте, что $[\mathbf{T}(\mathbf{U})]_{\mathcal{S}} = [\mathbf{T}]_{\mathcal{S}}[\mathbf{U}]_{\mathcal{S}}$ для $\mathbf{U} = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$.

Для $\mathcal{P}_2$ и $\mathcal{P}_3$ (пространств многочленов степени не выше двух и трёх соответственно) пусть $\mathbf{S} : \mathcal{P}_2 \rightarrow \mathcal{P}_3$ — линейное преобразование, определённое как $\mathbf{S}(p) = \int_0^t p(x)\, dx$. Найдите $[\mathbf{S}]_{\mathcal{B}\mathcal{B}'}$, где $\mathcal{B} = \left\{ 1, t, t^2\right\}$ и $\mathcal{B}' = \left\{ 1, t, t^2, t^3\right\}$.

Пусть $\mathbf{Q}$ — линейный оператор на $\mathbb {R}^{2}$, поворачивающий каждую точку против часовой стрелки на угол $\theta$, а $\mathbf{R}$ — линейный оператор на $\mathbb {R}^{2}$, отражающий каждую точку относительно оси $x$.

Пусть $\mathbf{P} : \mathcal{U} \rightarrow \mathcal{V}$ и $\mathbf{Q} : \mathcal{U} \rightarrow \mathcal{V}$ — два линейных преобразования, а $\mathcal{B}$ и $\mathcal{B}'$ — произвольные базисы $\mathcal{U}$ и $\mathcal{V}$ соответственно.

Пусть $\mathbf{I}$ — тождественный оператор на $n$-мерном пространстве $\mathcal{V}$.

Пусть $\mathbf{T} : \mathbb {R}^{3} \rightarrow \mathbb {R}^{3}$ — линейный оператор, определённый как

Пусть $\mathbf{T}$ — линейный оператор на $n$-мерном пространстве $\mathcal{V}$. Покажите, что следующие утверждения эквивалентны.

1. $\mathbf{T}^{-1}$ существует.

2. $\mathbf{T}$ — взаимно однозначное отображение (то есть $\mathbf{T}(\overrightarrow {x}) = \mathbf{T}(\overrightarrow {y}) \implies \overrightarrow {x} = \overrightarrow {y}$).

3. $N(\mathbf{T}) = \left\{ \overrightarrow {0}\right\}$.

4. $\mathbf{T}$ — отображение на (сюръекция) (то есть для каждого $\overrightarrow {v} \in \mathcal{V}$ найдётся $\overrightarrow {x} \in \mathcal{V}$ такой, что $\mathbf{T}(\overrightarrow {x}) = \overrightarrow {v}$).

Пусть $\mathcal{V}$ — $n$-мерное пространство с базисом $\mathcal{B} = \left\{ \overrightarrow {u}_i\right\}_{i=1}^n$.