4.9

Инвариантные подпространства

[8/100%]
Показать
LaTeX
Задача 4.9.1

Пусть T\mathbf{T} — произвольный линейный оператор на векторном пространстве V\mathcal{V}.

?
(a)

Является ли тривиальное подпространство {0→}\left\{ \overrightarrow {0}\right\} инвариантным относительно T\mathbf{T}?

(b)

Является ли всё пространство V\mathcal{V} инвариантным относительно T\mathbf{T}?

Задача 4.9.2

Опишите все подпространства, инвариантные относительно тождественного оператора I\mathbf{I} на пространстве V\mathcal{V}.

?
Задача 4.9.3

Пусть T\mathbf{T} — линейный оператор на R4\mathbb {R}^{4}, определённый как

T(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2+2x3−x4,  x2+x4,  2x3−x4,  x3+x4), \mathbf{T}(x_1, x_2, x_3, x_4) = (x_1+x_2+2x_3-x_4, \; x_2+x_4, \; 2x_3-x_4, \; x_3+x_4),

и пусть X=span⁡{e→1,e→2}\mathcal{X} = \operatorname {span}\left\{ \overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2\right\} — подпространство, натянутое на первые два единичных вектора в R4\mathbb {R}^{4}.

?
(a)

Объясните, почему X\mathcal{X} инвариантно относительно T\mathbf{T}.

(b)

Определите [T/X]{e→1,e→2}[\mathbf{T}_{/\mathcal{X}}]_{\left\{ \overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2\right\} }.

(c)

Опишите структуру [T]B[\mathbf{T}]_{\mathcal{B}}, где B\mathcal{B} — любой базис, полученный расширением {e→1,e→2}\left\{ \overrightarrow {e}_1, \overrightarrow {e}_2\right\}.

Задача 4.9.4

Пусть T\mathbf{T} и Q\mathbf{Q} — матрицы

T=(−2−1−5−2−90−8−2231153−5−13−7)иQ=(100−1113−4−20103−1−43). \mathbf{T} = \begin{pmatrix} -2 & -1 & -5 & -2 \\ -9 & 0 & -8 & -2 \\ 2 & 3 & 11 & 5 \\ 3 & -5 & -13 & -7 \end{pmatrix} \quad \text{и} \quad \mathbf{Q} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & -1 \\ 1 & 1 & 3 & -4 \\ -2 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix}.
?
(a)

Объясните, почему столбцы Q\mathbf{Q} образуют базис для R4\mathbb {R}^{4}.

(b)

Проверьте, что X=span⁡{Q∗1,Q∗2}\mathcal{X} = \operatorname {span}\left\{ \mathbf{Q}_{*1}, \mathbf{Q}_{*2}\right\} и Y=span⁡{Q∗3,Q∗4}\mathcal{Y} = \operatorname {span}\left\{ \mathbf{Q}_{*3}, \mathbf{Q}_{*4}\right\} являются инвариантными подпространствами относительно T\mathbf{T}.

(c)

Опишите структуру Q−1TQ\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{T}\mathbf{Q} без каких-либо вычислений.

(d)

Теперь вычислите произведение Q−1TQ\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{T}\mathbf{Q}, чтобы определить [T/X]{Q∗1,Q∗2}[\mathbf{T}_{/\mathcal{X}}]_{\left\{ \mathbf{Q}_{*1}, \mathbf{Q}_{*2}\right\} } и [T/Y]{Q∗3,Q∗4}[\mathbf{T}_{/\mathcal{Y}}]_{\left\{ \mathbf{Q}_{*3}, \mathbf{Q}_{*4}\right\} }.

Задача 4.9.5

Пусть T\mathbf{T} — линейный оператор на пространстве V\mathcal{V}, и предположим, что

B={u→1,…,u→r,  w→1,…,w→q} \mathcal{B} = \left\{ \overrightarrow {u}_1, \ldots , \overrightarrow {u}_r, \; \overrightarrow {w}_1, \ldots , \overrightarrow {w}_q\right\}

— базис для V\mathcal{V}, такой что [T]B[\mathbf{T}]_{\mathcal{B}} имеет блочно-диагональный вид

[T]B=(Ar×r00Cq×q). [\mathbf{T}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{r \times r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{C}_{q \times q} \end{pmatrix}.

Объясните, почему U=span⁡{u→1,…,u→r}\mathcal{U} = \operatorname {span}\left\{ \overrightarrow {u}_1, \ldots , \overrightarrow {u}_r\right\} и W=span⁡{w→1,…,w→q}\mathcal{W} = \operatorname {span}\left\{ \overrightarrow {w}_1, \ldots , \overrightarrow {w}_q\right\} обязательно являются инвариантными подпространствами относительно T\mathbf{T}.

?
Задача 4.9.6

Если Tn×n\mathbf{T}_{n \times n} и Pn×n\mathbf{P}_{n \times n} — матрицы такие, что

P−1TP=(Ar×r00Cq×q), \mathbf{P}^{-1}\mathbf{T}\mathbf{P} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{r \times r} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{C}_{q \times q} \end{pmatrix},

объясните, почему U=span⁡{P∗1,…,P∗r}\mathcal{U} = \operatorname {span}\left\{ \mathbf{P}_{*1}, \ldots , \mathbf{P}_{*r}\right\} и W=span⁡{P∗r+1,…,P∗n}\mathcal{W} = \operatorname {span}\left\{ \mathbf{P}_{*r+1}, \ldots , \mathbf{P}_{*n}\right\} являются инвариантными подпространствами относительно T\mathbf{T}.

Напомним (пример 4.8.3): если T\mathbf{T} рассматривается как линейный оператор на Rn×1\mathbb {R}^{n \times 1}, заданный умножением на матрицу T(x→)=Tx→\mathbf{T}(\overrightarrow {x}) = \mathbf{T}\overrightarrow {x}, то относительно стандартного базиса S\mathcal{S} имеем [T]S=T[\mathbf{T}]_{\mathcal{S}} = \mathbf{T}.

?
Задача 4.9.7

Если A\mathbf{A} — матрица n×nn \times n, а λ\lambda — скаляр, такой что (A−λI)(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) вырождена (т.е. λ\lambda — собственное значение), объясните, почему соответствующее пространство собственных векторов N(A−λI)N(\mathbf{A} - \lambda \mathbf{I}) является инвариантным подпространством относительно A\mathbf{A}.

?
Задача 4.9.8

Рассмотрим матрицу A=(−94−2411)\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -9 & 4 \\ -24 & 11 \end{pmatrix}.

?
(a)

Определите собственные значения A\mathbf{A}.

(b)

Найдите все подпространства R2\mathbb {R}^{2}, инвариантные относительно A\mathbf{A}.

(c)

Найдите невырожденную матрицу Q\mathbf{Q}, такую что Q−1AQ\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q} — диагональная матрица.