4.1

Пространства и подпространства

[12/100%]
Показать
LaTeX
Задача 4.1.1

Определите, какие из следующих подмножеств Rn\mathbb {R}^{n} на самом деле являются подпространствами Rn\mathbb {R}^{n} (n>2)(n > 2).

?
(a)

{x→∣xi≥0}\left\{ \overrightarrow {x} \mid x_i \geq 0\right\};

(b)

{x→∣x1=0}\left\{ \overrightarrow {x} \mid x_1 = 0\right\};

(c)

{x→∣x1x2=0}\left\{ \overrightarrow {x} \mid x_1 x_2 = 0\right\};

(d)

{x→∣∑j=1nxj=0}\left\{ \overrightarrow {x} \bigm | \sum_{j=1}^{n} x_j = 0\right\};

(e)

{x→∣∑j=1nxj=1}\left\{ \overrightarrow {x} \bigm | \sum_{j=1}^{n} x_j = 1\right\};

(f)

{x→∣Ax→=b→, где Am×n≠0→ и b→m×1≠0→}\left\{ \overrightarrow {x} \mid \mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}, \text{ где } \mathbf{A}_{m \times n} \neq \overrightarrow {0} \text{ и } \overrightarrow {b}_{m \times 1} \neq \overrightarrow {0}\right\}.

Задача 4.1.2

Определите, какие из следующих подмножеств Rn×n\mathbb {R}^{n \times n} на самом деле являются подпространствами Rn×n\mathbb {R}^{n \times n}.

?
(a)

Симметричные матрицы.

(b)

Диагональные матрицы.

(c)

Невырожденные матрицы.

(d)

Вырожденные матрицы.

(e)

Треугольные матрицы.

(f)

Верхнетреугольные матрицы.

(g)

Все матрицы, коммутирующие с данной матрицей A\mathbf{A}.

(h)

Все матрицы такие, что A2=A\mathbf{A}^2 = \mathbf{A}.

(i)

Все матрицы такие, что trace⁡(A)=0\operatorname {trace}(\mathbf{A}) = 0.

Задача 4.1.3

Если X\mathcal{X} — плоскость, проходящая через начало координат в R3\mathbb {R}^{3}, а Y\mathcal{Y} — прямая, проходящая через начало координат и перпендикулярная X\mathcal{X}, чему равно X+Y\mathcal{X} + \mathcal{Y}?

?
Задача 4.1.4

Почему вещественное или комплексное ненулевое векторное пространство обязательно содержит бесконечное число векторов?

?
Задача 4.1.5

Изобразите в R3\mathbb {R}^{3} подпространство, порождённое каждым из следующих наборов.

?
(a)

{(132),(264),(−3−9−6)}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -3 \\ -9 \\ -6 \end{pmatrix}\right\};

(b)

{(−400),(050),(110)}\left\{ \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 5 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\right\};

(c)

{(100),(110),(111)}\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}.

Задача 4.1.6

Какие из следующих наборов являются порождающими для R3\mathbb {R}^{3}?

?
(a)

{(111)}\left\{ (1 \enspace 1 \enspace 1)\right\};

(b)

{(100),(001)}\left\{ (1 \enspace 0 \enspace 0), (0 \enspace 0 \enspace 1)\right\};

(c)

{(100),(010),(001),(111)}\left\{ (1 \enspace 0 \enspace 0), (0 \enspace 1 \enspace 0), (0 \enspace 0 \enspace 1), (1 \enspace 1 \enspace 1)\right\};

(d)

{(121),(20−1),(441)}\left\{ (1 \enspace 2 \enspace 1), (2 \enspace 0 \enspace {-1}), (4 \enspace 4 \enspace 1)\right\};

(e)

{(121),(20−1),(440)}\left\{ (1 \enspace 2 \enspace 1), (2 \enspace 0 \enspace {-1}), (4 \enspace 4 \enspace 0)\right\}.

Задача 4.1.7

Для векторного пространства V\mathcal{V} и для M,N⊆V\mathcal{M}, \mathcal{N} \subseteq \mathcal{V} объясните, почему

span⁡(M∪N)=span⁡(M)+span⁡(N). \operatorname {span}(\mathcal{M} \cup \mathcal{N}) = \operatorname {span}(\mathcal{M}) + \operatorname {span}(\mathcal{N}).
?
Задача 4.1.8

Пусть X\mathcal{X} и Y\mathcal{Y} — два подпространства векторного пространства V\mathcal{V}.

?
(a)

Докажите, что пересечение X∩Y\mathcal{X} \cap \mathcal{Y} также является подпространством V\mathcal{V}.

(b)

Покажите, что объединение X∪Y\mathcal{X} \cup \mathcal{Y} не обязано быть подпространством V\mathcal{V}.

Задача 4.1.9

Для A∈Rm×n\mathbf{A} \in \mathbb {R}^{m \times n} и S⊆Rn×1\mathcal{S} \subseteq \mathbb {R}^{n \times 1} множество A(S)={Ax→∣x→∈S}\mathbf{A}(\mathcal{S}) = \left\{ \mathbf{A}\overrightarrow {x} \mid \overrightarrow {x} \in \mathcal{S}\right\} содержит все возможные произведения A\mathbf{A} на векторы из S\mathcal{S}. Мы называем A(S)\mathbf{A}(\mathcal{S}) множеством образов S\mathcal{S} под действием A\mathbf{A}.

?
(a)

Если S\mathcal{S} — подпространство Rn\mathbb {R}^{n}, докажите, что A(S)\mathbf{A}(\mathcal{S}) является подпространством Rm\mathbb {R}^{m}.

(b)

Если s→1,s→2,…,s→k\overrightarrow {s}_1, \overrightarrow {s}_2, \ldots , \overrightarrow {s}_k порождают S\mathcal{S}, покажите, что As→1,As→2,…,As→k\mathbf{A}\overrightarrow {s}_1, \mathbf{A}\overrightarrow {s}_2, \ldots , \mathbf{A}\overrightarrow {s}_k порождают A(S)\mathbf{A}(\mathcal{S}).

Задача 4.1.10

Используя обычные сложение и умножение, определите, являются ли следующие множества векторными пространствами над полем вещественных чисел.

?
(a)

R\mathbb {R};

(b)

C\mathbb {C};

(c)

Рациональные числа.

Задача 4.1.11

Пусть M={m→1,m→2,…,m→r}\mathcal{M} = \left\{ \overrightarrow {m}_1, \overrightarrow {m}_2, \ldots , \overrightarrow {m}_r\right\} и N={m→1,m→2,…,m→r,v→}\mathcal{N} = \left\{ \overrightarrow {m}_1, \overrightarrow {m}_2, \ldots , \overrightarrow {m}_r, \overrightarrow {v}\right\} — два множества векторов из одного и того же векторного пространства. Докажите, что span⁡(M)=span⁡(N)\operatorname {span}(\mathcal{M}) = \operatorname {span}(\mathcal{N}) тогда и только тогда, когда v→∈span⁡(M)\overrightarrow {v} \in \operatorname {span}(\mathcal{M}).

?
Задача 4.1.12

Для множества векторов S={v→1,v→2,…,v→n}\mathcal{S} = \left\{ \overrightarrow {v}_1, \overrightarrow {v}_2, \ldots , \overrightarrow {v}_n\right\} докажите, что span⁡(S)\operatorname {span}(\mathcal{S}) является пересечением всех подпространств, содержащих S\mathcal{S}.

?