Банк задач по математике

Задача 4.8.1

Объясните, почему ранг является инвариантом подобия.

?

Задача 4.8.2

Объясните, почему подобие транзитивно в том смысле, что $\mathbf{A} \simeq \mathbf{B}$ и $\mathbf{B} \simeq \mathbf{C}$ влечёт $\mathbf{A} \simeq \mathbf{C}$ .

?

Задача 4.8.3

(a)(b)

$\mathbf{A}(x,y,z) = (x+2y-z, \; -y, \; x+7z)$ — линейный оператор на $\mathbb {R}^{3}$ .

?

(a)

Найдите $[\mathbf{A}]_{\mathcal{S}}$ , где $\mathcal{S}$ — стандартный базис.

(b)

Найдите $[\mathbf{A}]_{\mathcal{S}'}$ , а также невырожденную матрицу $\mathbf{Q}$ такую, что $[\mathbf{A}]_{\mathcal{S}'} = \mathbf{Q}^{-1}[\mathbf{A}]_{\mathcal{S}}\mathbf{Q}$ для $\mathcal{S}' = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\right\}$ .

Задача 4.8.4

Пусть $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$ и $\mathcal{B} = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}\right\}$ . Рассматривая $\mathbf{A}$ как линейный оператор на $\mathbb {R}^{n \times 1}$ посредством умножения матриц $\mathbf{A}(\overrightarrow {x}) = \mathbf{A}\overrightarrow {x}$ , найдите $[\mathbf{A}]_{\mathcal{B}}$ .

?

Задача 4.8.5

Покажите, что $\mathbf{C} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ и $\mathbf{B} = \begin{pmatrix} -2 & -3 \\ 6 & 10 \end{pmatrix}$ — подобные матрицы, и найдите невырожденную матрицу $\mathbf{Q}$ такую, что $\mathbf{C} = \mathbf{Q}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Q}$ .

?

Задача 4.8.6

Пусть $\mathbf{T}$ — линейный оператор $\mathbf{T}(x,y) = (-7x-15y, \; 6x+12y)$ . Найдите базис $\mathcal{B}$ такой, что $[\mathbf{T}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}$ , и определите матрицу $\mathbf{Q}$ такую, что $[\mathbf{T}]_{\mathcal{B}} = \mathbf{Q}^{-1}[\mathbf{T}]_{\mathcal{S}}\mathbf{Q}$ , где $\mathcal{S}$ — стандартный базис.

?

Задача 4.8.7

Рассматривая ротатор $\mathbf{Q}(x,y) = (x\cos \theta - y\sin \theta , \; x\sin \theta + y\cos \theta )$ , покажите, что матрицы

\mathbf{R} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \quad \text{и} \quad \mathbf{D} = \begin{pmatrix} e^{i\theta } & 0 \\ 0 & e^{-i\theta } \end{pmatrix}

подобны над полем комплексных чисел.

?

Задача 4.8.8

(a)(b)

Пусть $\lambda$ — скаляр такой, что $(\mathbf{C} - \lambda \mathbf{I})_{n \times n}$ вырождена.

?

(a)

Если $\mathbf{B} \simeq \mathbf{C}$ , докажите, что $(\mathbf{B} - \lambda \mathbf{I})$ также вырождена.

(b)

Докажите, что $(\mathbf{B} - \lambda_i \mathbf{I})$ вырождена всякий раз, когда $\mathbf{B}_{n \times n}$ подобна

\mathbf{D} = \begin{pmatrix} \lambda _1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda _2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda _n \end{pmatrix}.

Задача 4.8.9

Если $\mathbf{A} \simeq \mathbf{B}$ , покажите, что $\mathbf{A}^k \simeq \mathbf{B}^k$ для всех неотрицательных целых $k$ .

?

Задача 4.8.10

(a)(b)

Пусть $\mathcal{B} = \left\{ \overrightarrow {x}_1, \overrightarrow {x}_2, \ldots , \overrightarrow {x}_n\right\}$ и $\mathcal{B}' = \left\{ \overrightarrow {y}_1, \overrightarrow {y}_2, \ldots , \overrightarrow {y}_n\right\}$ — базисы $n$ -мерного подпространства $\mathcal{V} \subseteq \mathbb {R}^{m \times 1}$ , и пусть $\mathbf{X}_{m \times n}$ и $\mathbf{Y}_{m \times n}$ — матрицы, столбцами которых служат векторы из $\mathcal{B}$ и $\mathcal{B}'$ соответственно.

?

(a)

Объясните, почему $\mathbf{Y}^T \mathbf{Y}$ невырождена, и докажите, что матрица перехода от базиса $\mathcal{B}$ к базису $\mathcal{B}'$ равна $\mathbf{P} = \left(\mathbf{Y}^T \mathbf{Y}\right)^{-1} \mathbf{Y}^T \mathbf{X}$ .

(b)

Опишите $\mathbf{P}$ при $m = n$ .

Задача 4.8.11

(a)(b)(c)

?

(a)

$\mathbf{N}$ называется нильпотентной индекса $k$ , если $\mathbf{N}^k = \mathbf{0}$ , но $\mathbf{N}^{k-1} \neq \mathbf{0}$ . Если $\mathbf{N}$ — нильпотентный оператор индекса $n$ на $\mathbb {R}^{n}$ и $\mathbf{N}^{n-1}(\overrightarrow {y}) \neq \overrightarrow {0}$ , покажите, что $\mathcal{B} = \left\{ \overrightarrow {y}, \mathbf{N}(\overrightarrow {y}), \mathbf{N}^2(\overrightarrow {y}), \ldots , \mathbf{N}^{n-1}(\overrightarrow {y})\right\}$ — базис $\mathbb {R}^{n}$ , а затем покажите, что

[\mathbf{N}]_{\mathcal{B}} = \mathbf{J} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end{pmatrix}.

(b)

Если $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — любые две нильпотентные матрицы размера $n \times n$ индекса $n$ , объясните, почему $\mathbf{A} \simeq \mathbf{B}$ .

(c)

Объясните, почему все нильпотентные матрицы размера $n \times n$ индекса $n$ обязательно имеют нулевой след и ранг $n-1$ .

Задача 4.8.12

(a)(b)(c)(d)

$\mathbf{E}$ называется идемпотентным, если $\mathbf{E}^2 = \mathbf{E}$ . Для идемпотентного оператора $\mathbf{E}$ на $\mathbb {R}^{n}$ пусть $\mathcal{X} = \left\{ \overrightarrow {x}_i\right\}_{i=1}^r$ и $\mathcal{Y} = \left\{ \overrightarrow {y}_i\right\}_{i=1}^{n-r}$ — базисы для $R(\mathbf{E})$ и $N(\mathbf{E})$ соответственно.

?

(a)

Докажите, что $\mathcal{B} = \mathcal{X} \cup \mathcal{Y}$ является базисом для $\mathbb {R}^{n}$ .

(b)

Покажите, что $[\mathbf{E}]_{\mathcal{B}} = \begin{pmatrix} \mathbf{I}_r & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{0} \end{pmatrix}$ .

(c)

Объясните, почему две идемпотентные $n \times n$ -матрицы одного ранга обязательно подобны.

(d)

Если $\mathbf{F}$ — идемпотентная матрица, докажите, что $\operatorname {rk}\left(\mathbf{F}\right) = \operatorname {trace}(\mathbf{F})$ .

Смена базиса и подобие