Матричная алгебра

Определите неизвестные величины в следующих выражениях.

Определите, является ли каждая из следующих матриц симметричной, кососимметричной или ни той, ни другой.

Постройте пример матрицы $3 \times 3$ $\mathbf{A}$, удовлетворяющей следующим условиям.

Объясните, почему множество всех симметричных матриц размера $n \times n$ замкнуто относительно сложения матриц. То есть объясните, почему сумма двух симметричных матриц размера $n \times n$ снова является симметричной матрицей размера $n \times n$. Замкнуто ли множество всех кососимметричных матриц размера $n \times n$ относительно сложения матриц?

Докажите, что каждое из следующих утверждений верно.

Пусть $\mathbf{A}$ — произвольная квадратная матрица.

Если $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — две матрицы одинаковой формы, докажите, что каждое из следующих утверждений верно.

Напомним постановку задачи о системе пружин из примера 3.2.1: для ряда пружин, соединяющих узлы, если узел $i$ смещён на $x_i$ единиц (положительное направление — влево, отрицательное — вправо), а соседние узлы соединены пружиной с коэффициентом жёсткости $k$, то сила, действующая на внутренний узел со стороны двух соседних пружин, равна сумме произведений $k$ на относительное смещение с каждым из соседей; при этом, если полученные уравнения баланса сил организовать в линейную систему, коэффициентная матрица оказывается симметричной матрицей жёсткости $\mathbf{K}$. Для двух пружин, соединяющих три узла, с общим коэффициентом жёсткости $k_1 = k_2 = k$, эта конструкция даёт

Используя соглашения примера 3.2.1, определите матрицу жёсткости для системы из $n$ одинаковых пружин с коэффициентом жёсткости $k$, соединённых в ряд, аналогично изображённому на рисунке 3.2.1.

Рисунок 3.2.1

Каждая из следующих функций отображает $\mathbb {R}^{2}$ в $\mathbb {R}^{2}$. Определите, какие из них являются линейными функциями.

Для $\overrightarrow {x} = \begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{pmatrix}$ и для констант $\xi_{i}$ убедитесь, что

является линейной функцией.

Приведите примеры по крайней мере двух различных физических принципов или законов, которые можно охарактеризовать как линейные явления.

Определите, какие из следующих трёх преобразований в $\mathbb {R}^{2}$ являются линейными: (1) поворот точек против часовой стрелки на угол $\theta$; (2) отражение точек относительно оси $x$; (3) проекция точек на прямую $y=x$ в перпендикулярном направлении.

Поворот, отражение и проекция в \mathbb {R}^{2}

Определите матрицу, связанную с каждой из трёх линейных функций из $\mathbb {R}^{2}$ в $\mathbb {R}^{2}$, описанных ниже. То есть определите $a_{ij}$, такие что

Используя умножение матриц, определите линейную функцию, получаемую в результате поворота с последующим отражением (используя поворот и отражение из упражнения 3.4.1).

Используя умножение матриц, определите линейную функцию, получаемую в результате сначала отражения, затем поворота и, наконец, проекции (используя отражение, поворот и проекцию из упражнения 3.4.1).

Для $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -5 & 4 \\ 4 & -3 & 8 \end{bmatrix}$, $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}$ и $\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ вычислите следующие произведения, когда это возможно.

Рассмотрим следующую систему уравнений:

Пусть $\mathbf{E} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, и пусть $\mathbf{A}$ — произвольная матрица размера $3 \times 3$.

Пусть $\overrightarrow {e}_{j}$ обозначает $j$-й единичный столбец, содержащий $1$ на $j$-м месте и нули на всех остальных местах. Для общей матрицы $\mathbf{A}_{n \times n}$ опишите следующие произведения.

Пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — матрицы размера $m \times n$. Если $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \mathbf{B}\overrightarrow {x}$ выполняется для всех столбцов $\overrightarrow {x}$ размера $n \times 1$, докажите, что $\mathbf{A} = \mathbf{B}$.

Для $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1/2 & \alpha \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$ найдите $\lim_{n \to \infty } \mathbf{A}^{n}$.

Если $\mathbf{C}_{m \times 1}$ и $\mathbf{R}_{1 \times n}$ — матрицы, состоящие соответственно из одного столбца и одной строки, то матричное произведение $\mathbf{P}_{m \times n} = \mathbf{C}\mathbf{R}$ иногда называют внешним произведением $\mathbf{C}$ на $\mathbf{R}$. Для согласованных матриц $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ объясните, как записать произведение $\mathbf{A}\mathbf{B}$ в виде суммы внешних произведений, составленных из столбцов $\mathbf{A}$ и строк $\mathbf{B}$.

Квадратная матрица $\mathbf{U} = [u_{ij}]$ называется верхнетреугольной, если $u_{ij} = 0$ при $i > j$ — то есть все элементы ниже главной диагонали равны $0$.

Если $\mathbf{A} = [a_{ij}(t)]$ — матрица, элементы которой являются функциями переменной $t$, то производная матрицы $\mathbf{A}$ по $t$ определяется как матрица производных. То есть,

Выведите правило дифференцирования произведения

Вспомните построение из примера 3.5.2: для сети из $n$ узлов (например, городов, обслуживаемых авиакомпанией) матрица связности $\mathbf{C}_{n \times n} = [c_{ij}]$ определяется как $c_{ij} = 1$, если существует прямой путь (рейс) из узла $i$ в узел $j$, и $c_{ij} = 0$ в противном случае. Пусть $\mathbf{C}_{n \times n}$ — матрица связности, связанная с такой сетью из $n$ узлов, и пусть $\overrightarrow {e}$ — столбец из всех единиц размера $n \times 1$. В терминах сети опишите элементы каждого из следующих произведений.

Рассмотрим три резервуара, каждый из которых содержит $V$ галлонов рассола. Резервуары соединены в линию, и все краны открываются одновременно. Пресная вода поступает со скоростью $r$ галлонов/сек в верхнюю часть первого резервуара, $r$ галлонов/сек вытекает из нижней части и поступает в следующий резервуар, и так далее по цепочке — в каждый резервуар сверху поступает и снизу вытекает $r$ галлонов/сек.

Figure 3.5.2

Пусть $x_{i}(t)$ обозначает количество фунтов соли в резервуаре $i$ в момент времени $t$, и пусть

Предполагая, что в каждом резервуаре происходит полное непрерывное перемешивание, покажите, что

Для блочных матриц

используйте блочное умножение с указанными разбиениями, чтобы образовать произведение $\mathbf{A}\mathbf{B}$.

Для всех матриц $\mathbf{A}_{n \times k}$ и $\mathbf{B}_{k \times n}$ покажите, что блочная матрица

обладает свойством $\mathbf{L}^{2} = \mathbf{I}$. Матрицы с таким свойством называются инволютивными, и они встречаются в криптографии.

Для матрицы

найдите $\mathbf{A}^{300}$.

Для произвольной матрицы $\mathbf{A}_{m \times n}$ покажите, что произведения $\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}\mathbf{A}^{*}$ являются эрмитовыми матрицами.

Если $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — симметричные матрицы, которые коммутируют, докажите, что произведение $\mathbf{A}\mathbf{B}$ также симметрично. Если $\mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A}$, обязательно ли $\mathbf{A}\mathbf{B}$ симметрично?

Докажите, что справедлив правый дистрибутивный закон: для согласованных матриц $\mathbf{D}$, $\mathbf{E}$, $\mathbf{F}$ выполняется $(\mathbf{D}+\mathbf{E})\mathbf{F} = \mathbf{D}\mathbf{F}+\mathbf{E}\mathbf{F}$.

Для каждой матрицы $\mathbf{A}_{n \times n}$ объясните, почему невозможно найти решение для $\mathbf{X}_{n \times n}$ в матричном уравнении

Пусть $\overrightarrow {y}^{T}_{1 \times m}$ — строка неизвестных, а $\mathbf{A}_{m \times n}$ и $\overrightarrow {b}^{T}_{1 \times n}$ — известные матрицы.

Некоторое электронное устройство состоит из набора переключающих схем, каждая из которых может находиться либо во включённом (ON), либо в выключенном (OFF) состоянии. Этим электронным переключателям разрешается менять состояние через регулярные интервалы времени, называемые тактами. Предположим, что в конце каждого такта $30\%$ переключателей, находящихся в состоянии OFF, переходят в состояние ON, а $90\%$ переключателей, находящихся в состоянии ON, возвращаются в состояние OFF.

Вспомните приём приведения к блочно-треугольному виду из примера 3.6.7: если система $\mathbf{T}_{n \times n}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ имеет блочно-треугольную матрицу коэффициентов $\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{C} \end{pmatrix}$ (где $\mathbf{A}$ имеет размер $r \times r$, а $\mathbf{C}$ — размер $(n-r) \times (n-r)$), а $\overrightarrow {x}$, $\overrightarrow {b}$ разбиты на блоки соответствующим образом: $\overrightarrow {x} = \begin{pmatrix} \overrightarrow {x}_{1} \\ \overrightarrow {x}_{2} \end{pmatrix}$, $\overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} \overrightarrow {b}_{1} \\ \overrightarrow {b}_{2} \end{pmatrix}$, то блочное умножение сводит $\mathbf{T}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ к двум меньшим системам: $\mathbf{A}\overrightarrow {x}_{1}+\mathbf{B}\overrightarrow {x}_{2} = \overrightarrow {b}_{1}$ и $\mathbf{C}\overrightarrow {x}_{2} = \overrightarrow {b}_{2}$: решите вторую относительно $\overrightarrow {x}_{2}$, затем подставьте в первую и решите относительно $\overrightarrow {x}_{1}$.

Запишите следующую систему в виде $\mathbf{T}_{n \times n}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$, где $\mathbf{T}$ блочно-треугольна, а затем получите решение, решив две меньшие системы, как описано выше.

Докажите, что каждое из следующих утверждений верно для согласованных матриц.

Предположим, что $\mathbf{A}_{m \times n}$ и $\overrightarrow {x}_{n \times 1}$ имеют вещественные элементы.

По возможности найдите обратную матрицу для каждой из следующих матриц. Проверьте свой ответ с помощью матричного умножения.

Найдите матрицу $\mathbf{X}$, такую что $\mathbf{X} = \mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{B}$, где

Для квадратной матрицы $\mathbf{A}$ объясните, почему каждое из следующих утверждений должно быть верным.

Ответьте на каждый из следующих вопросов.

Если $\mathbf{A}$ невырождена и симметрична, докажите, что $\mathbf{A}^{-1}$ симметрична.

Если $\mathbf{A}$ — квадратная матрица, такая что $\mathbf{I}-\mathbf{A}$ невырождена, докажите, что

Докажите, что если $\mathbf{A}$ имеет размер $m \times n$, а $\mathbf{B}$ — размер $n \times m$, причём $\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{I}_{m}$ и $\mathbf{B}\mathbf{A} = \mathbf{I}_{n}$, то $m = n$.

Если $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$ и $\mathbf{A}+\mathbf{B}$ каждая невырождена, докажите, что

Пусть $\mathbf{S}$ — кососимметрическая матрица с вещественными элементами.

Для матриц $\mathbf{A}_{r \times r}$, $\mathbf{B}_{s \times s}$ и $\mathbf{C}_{r \times s}$, таких что $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ невырождены, проверьте, что каждое из следующих утверждений верно.

Рассмотрим блочную матрицу $\begin{pmatrix} \mathbf{A}_{r \times r} & \mathbf{C}_{r \times s} \\ \mathbf{R}_{s \times r} & \mathbf{B}_{s \times s} \end{pmatrix}$. Когда указанные обратные матрицы существуют, матрицы, определённые формулами

называются дополнениями Шура матриц $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ соответственно.

Предположим, что $\mathbf{A}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{C}$ и $\mathbf{D}$ — матрицы размера $n \times n$, такие что $\mathbf{A}\mathbf{B}^{T}$ и $\mathbf{C}\mathbf{D}^{T}$ каждая симметрична, а $\mathbf{A}\mathbf{D}^{T}-\mathbf{B}\mathbf{C}^{T} = \mathbf{I}$. Докажите, что

Вспомните формулу Шермана–Моррисона: если $\mathbf{A}_{n \times n}$ невырождена, а $\overrightarrow {c}$, $\overrightarrow {d}$ — столбцы размера $n \times 1$, такие что $1+\overrightarrow {d}^{T}\mathbf{A}^{-1}\overrightarrow {c} \neq 0$, то сумма $\mathbf{A}+\overrightarrow {c}\overrightarrow {d}^{T}$ невырождена, и

Предположим, вам даны

Предположим, что $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — невырожденные матрицы, причём $\mathbf{B}$ получается из $\mathbf{A}$ заменой $\mathbf{A}_{*j}$ на другой столбец $\overrightarrow {b}$. Используя формулу Шермана--Моррисона, выведите, что

Предположим, что матрица коэффициентов невырожденной системы $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ обновляется, порождая другую невырожденную систему $(\mathbf{A}+\overrightarrow {c}\overrightarrow {d}^{T})\overrightarrow {z} = \overrightarrow {b}$, где $\overrightarrow {b}, \overrightarrow {c}, \overrightarrow {d} \in \mathbb {R}^{n \times 1}$, и пусть $\overrightarrow {y}$ — решение $\mathbf{A}\overrightarrow {y} = \overrightarrow {c}$. Покажите, что

Для заданных матриц $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$, где $\mathbf{A}$ невырождена, объясните, почему $\mathbf{A}+\epsilon \mathbf{B}$ также невырождена, когда вещественное число $\epsilon$ ограничено достаточно малым интервалом вокруг начала координат. Иными словами, докажите, что малые возмущения невырожденных матриц также невырождены.

Выведите формулу Шермана--Моррисона--Вудбери: если $\mathbf{A}_{n \times n}$ невырождена, а $\mathbf{C}$, $\mathbf{D}$ имеют размер $n \times k$, причём $(\mathbf{I}+\mathbf{D}^{T}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{C})^{-1}$ существует, то

Вспомните норму $\left\| \mathbf{A}\right\| = \max_{i}\sum_{j}\left|a_{ij}\right|$ (максимальную сумму модулей элементов строки) и связанное с ней число обусловленности $\kappa (\mathbf{A}) = \left\| \mathbf{A}\right\| \left\| \mathbf{A}^{-1}\right\|$ невырожденной матрицы $\mathbf{A}$, которое показывает, насколько плохо обусловлена $\mathbf{A}$ (чем больше $\kappa$, тем хуже обусловленность).

Используя указанную выше норму, упорядочите следующие матрицы по степени плохой обусловленности:

Предположим, что элементы $\mathbf{A}(t)$, $\overrightarrow {x}(t)$ и $\overrightarrow {b}(t)$ являются дифференцируемыми функциями вещественной переменной $t$, такими что $\mathbf{A}(t)\overrightarrow {x}(t) = \overrightarrow {b}(t)$.