Элементарные матрицы и эквивалентность

Некоторые сведения, необходимые для этого упражнения: для матрицы $\mathbf{A}$ размера $m \times n$ через $\mathbf{E}_{\mathbf{A}}$ обозначается её (единственная) приведённая ступенчатая форма по строкам. Всякий раз, когда $\mathbf{B}$ можно получить из $\mathbf{A}$ последовательностью только элементарных операций над строками, мы пишем $\mathbf{A} \overset {\text{row}}{\sim } \mathbf{B}$, что выполняется тогда и только тогда, когда $\mathbf{P}\mathbf{A} = \mathbf{B}$ для некоторой невырожденной $\mathbf{P}$; аналогично $\mathbf{A} \overset {\text{col}}{\sim } \mathbf{B}$ (эквивалентность по столбцам) выполняется тогда и только тогда, когда $\mathbf{A}\mathbf{Q} = \mathbf{B}$ для некоторой невырожденной $\mathbf{Q}$, а $\mathbf{A} \sim \mathbf{B}$ (эквивалентность, допускающая как операции над строками, так и над столбцами) выполняется тогда и только тогда, когда $\mathbf{P}\mathbf{A}\mathbf{Q} = \mathbf{B}$ для невырожденных $\mathbf{P}$, $\mathbf{Q}$.

Предположим, что $\mathbf{A}$ — матрица размера $m \times n$.

Рассмотрим две матрицы

Если $\mathbf{A} \overset {\text{row}}{\sim } \mathbf{B}$, объясните, почему базисные столбцы в $\mathbf{A}$ занимают в точности те же позиции, что и базисные столбцы в $\mathbf{B}$.

Произведение элементарных матриц перестановки -- т.е. элементарных матриц типа I -- называется матрицей перестановки. Если $\mathbf{P}$ — матрица перестановки, объясните, почему $\mathbf{P}^{-1} = \mathbf{P}^{T}$.

Если $\mathbf{A}_{n \times n}$ — невырожденная матрица, какие (если таковые есть) из следующих утверждений верны?

Какие (если таковые есть) из следующих утверждений верны?

Покажите, что любую элементарную матрицу типа I можно записать как произведение элементарных матриц типов II и III.

Если $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}_{m \times n}\right) = r$, покажите, что существуют матрицы $\mathbf{B}_{m \times r}$ и $\mathbf{C}_{r \times n}$, такие что $\mathbf{A} = \mathbf{B}\mathbf{C}$, где $\operatorname {rk}\left(\mathbf{B}\right) = \operatorname {rk}\left(\mathbf{C}\right) = r$. Такое разложение называется разложением полного ранга.

Докажите, что $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}_{m \times n}\right) = 1$ тогда и только тогда, когда существуют ненулевые столбцы $\overrightarrow {u}_{m \times 1}$ и $\overrightarrow {v}_{n \times 1}$, такие что

Докажите, что если $\operatorname {rk}\left(\mathbf{A}_{n \times n}\right) = 1$, то $\mathbf{A}^{2} = \tau \mathbf{A}$, где $\tau = \trace (\mathbf{A})$.