Свойства умножения матриц

Для блочных матриц

используйте блочное умножение с указанными разбиениями, чтобы образовать произведение $\mathbf{A}\mathbf{B}$.

Для всех матриц $\mathbf{A}_{n \times k}$ и $\mathbf{B}_{k \times n}$ покажите, что блочная матрица

обладает свойством $\mathbf{L}^{2} = \mathbf{I}$. Матрицы с таким свойством называются инволютивными, и они встречаются в криптографии.

Для матрицы

найдите $\mathbf{A}^{300}$.

Для произвольной матрицы $\mathbf{A}_{m \times n}$ покажите, что произведения $\mathbf{A}^{*}\mathbf{A}$ и $\mathbf{A}\mathbf{A}^{*}$ являются эрмитовыми матрицами.

Если $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — симметричные матрицы, которые коммутируют, докажите, что произведение $\mathbf{A}\mathbf{B}$ также симметрично. Если $\mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A}$, обязательно ли $\mathbf{A}\mathbf{B}$ симметрично?

Докажите, что справедлив правый дистрибутивный закон: для согласованных матриц $\mathbf{D}$, $\mathbf{E}$, $\mathbf{F}$ выполняется $(\mathbf{D}+\mathbf{E})\mathbf{F} = \mathbf{D}\mathbf{F}+\mathbf{E}\mathbf{F}$.

Для каждой матрицы $\mathbf{A}_{n \times n}$ объясните, почему невозможно найти решение для $\mathbf{X}_{n \times n}$ в матричном уравнении

Пусть $\overrightarrow {y}^{T}_{1 \times m}$ — строка неизвестных, а $\mathbf{A}_{m \times n}$ и $\overrightarrow {b}^{T}_{1 \times n}$ — известные матрицы.

Некоторое электронное устройство состоит из набора переключающих схем, каждая из которых может находиться либо во включённом (ON), либо в выключенном (OFF) состоянии. Этим электронным переключателям разрешается менять состояние через регулярные интервалы времени, называемые тактами. Предположим, что в конце каждого такта $30\%$ переключателей, находящихся в состоянии OFF, переходят в состояние ON, а $90\%$ переключателей, находящихся в состоянии ON, возвращаются в состояние OFF.

Вспомните приём приведения к блочно-треугольному виду из примера 3.6.7: если система $\mathbf{T}_{n \times n}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ имеет блочно-треугольную матрицу коэффициентов $\mathbf{T} = \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{B} \\ \mathbf{0} & \mathbf{C} \end{pmatrix}$ (где $\mathbf{A}$ имеет размер $r \times r$, а $\mathbf{C}$ — размер $(n-r) \times (n-r)$), а $\overrightarrow {x}$, $\overrightarrow {b}$ разбиты на блоки соответствующим образом: $\overrightarrow {x} = \begin{pmatrix} \overrightarrow {x}_{1} \\ \overrightarrow {x}_{2} \end{pmatrix}$, $\overrightarrow {b} = \begin{pmatrix} \overrightarrow {b}_{1} \\ \overrightarrow {b}_{2} \end{pmatrix}$, то блочное умножение сводит $\mathbf{T}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$ к двум меньшим системам: $\mathbf{A}\overrightarrow {x}_{1}+\mathbf{B}\overrightarrow {x}_{2} = \overrightarrow {b}_{1}$ и $\mathbf{C}\overrightarrow {x}_{2} = \overrightarrow {b}_{2}$: решите вторую относительно $\overrightarrow {x}_{2}$, затем подставьте в первую и решите относительно $\overrightarrow {x}_{1}$.

Запишите следующую систему в виде $\mathbf{T}_{n \times n}\overrightarrow {x} = \overrightarrow {b}$, где $\mathbf{T}$ блочно-треугольна, а затем получите решение, решив две меньшие системы, как описано выше.

Докажите, что каждое из следующих утверждений верно для согласованных матриц.

Предположим, что $\mathbf{A}_{m \times n}$ и $\overrightarrow {x}_{n \times 1}$ имеют вещественные элементы.