3.7

Обращение матриц

[12/100%]
Показать
LaTeX
Задача 3.7.1

По возможности найдите обратную матрицу для каждой из следующих матриц. Проверьте свой ответ с помощью матричного умножения.

?
(a)

[1213]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}.

(b)

[1224]\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}.

(c)

[4−854−743−42]\begin{bmatrix} 4 & -8 & 5 \\ 4 & -7 & 4 \\ 3 & -4 & 2 \end{bmatrix}.

(d)

[123456789]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}.

(e)

[1111122212331234]\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}.

Задача 3.7.2

Найдите матрицу X\mathbf{X}, такую что X=AX+B\mathbf{X} = \mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{B}, где

A=[0−1000−1000]иB=[122133]. \mathbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \qquad \text{и} \qquad \mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}.
?
Задача 3.7.3

Для квадратной матрицы A\mathbf{A} объясните, почему каждое из следующих утверждений должно быть верным.

?
(a)

Если A\mathbf{A} содержит нулевую строку или нулевой столбец, то A\mathbf{A} вырождена.

(b)

Если A\mathbf{A} содержит две одинаковые строки или два одинаковых столбца, то A\mathbf{A} вырождена.

(c)

Если одна строка (или столбец) является кратной другой строке (или столбцу), то A\mathbf{A} обязательно вырождена.

Задача 3.7.4

Ответьте на каждый из следующих вопросов.

?
(a)

При каких условиях диагональная матрица невырождена? Опишите структуру обратной к диагональной матрице.

(b)

При каких условиях треугольная матрица невырождена? Опишите структуру обратной к треугольной матрице.

Задача 3.7.5

Если A\mathbf{A} невырождена и симметрична, докажите, что A−1\mathbf{A}^{-1} симметрична.

?
Задача 3.7.6

Если A\mathbf{A} — квадратная матрица, такая что I−A\mathbf{I}-\mathbf{A} невырождена, докажите, что

A(I−A)−1=(I−A)−1A. \mathbf{A}(\mathbf{I}-\mathbf{A})^{-1} = (\mathbf{I}-\mathbf{A})^{-1}\mathbf{A}.
?
Задача 3.7.7

Докажите, что если A\mathbf{A} имеет размер m×nm \times n, а B\mathbf{B} — размер n×mn \times m, причём AB=Im\mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{I}_{m} и BA=In\mathbf{B}\mathbf{A} = \mathbf{I}_{n}, то m=nm = n.

?
Задача 3.7.8

Если A\mathbf{A}, B\mathbf{B} и A+B\mathbf{A}+\mathbf{B} каждая невырождена, докажите, что

A(A+B)−1B=B(A+B)−1A=(A−1+B−1)−1. \mathbf{A}(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{-1}\mathbf{B} = \mathbf{B}(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{-1}\mathbf{A} = (\mathbf{A}^{-1}+\mathbf{B}^{-1})^{-1}.
?
Задача 3.7.9

Пусть S\mathbf{S} — кососимметрическая матрица с вещественными элементами.

?
(a)

Докажите, что I−S\mathbf{I}-\mathbf{S} невырождена.

(b)

Если A=(I+S)(I−S)−1\mathbf{A} = (\mathbf{I}+\mathbf{S})(\mathbf{I}-\mathbf{S})^{-1}, покажите, что A−1=AT\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{T}.

Примечание.
?

Для пункта (а): x→Tx→=0  ⟹  x→=0→\overrightarrow {x}^{T}\overrightarrow {x} = 0 \implies \overrightarrow {x} = \overrightarrow {0}.

Задача 3.7.10

Для матриц Ar×r\mathbf{A}_{r \times r}, Bs×s\mathbf{B}_{s \times s} и Cr×s\mathbf{C}_{r \times s}, таких что A\mathbf{A} и B\mathbf{B} невырождены, проверьте, что каждое из следующих утверждений верно.

?
(a)

(A00B)−1=(A−100B−1)\begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{B} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}^{-1} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & \mathbf{B}^{-1} \end{pmatrix}.

(b)

(AC0B)−1=(A−1−A−1CB−10B−1)\begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{C} \\ \mathbf{0} & \mathbf{B} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}^{-1} & -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{B}^{-1} \\ \mathbf{0} & \mathbf{B}^{-1} \end{pmatrix}.

Задача 3.7.11

Рассмотрим блочную матрицу (Ar×rCr×sRs×rBs×s)\begin{pmatrix} \mathbf{A}_{r \times r} & \mathbf{C}_{r \times s} \\ \mathbf{R}_{s \times r} & \mathbf{B}_{s \times s} \end{pmatrix}. Когда указанные обратные матрицы существуют, матрицы, определённые формулами

S=B−RA−1CиT=A−CB−1R \mathbf{S} = \mathbf{B}-\mathbf{R}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{C} \qquad \text{и} \qquad \mathbf{T} = \mathbf{A}-\mathbf{C}\mathbf{B}^{-1}\mathbf{R}

называются дополнениями Шура матриц A\mathbf{A} и B\mathbf{B} соответственно.

?
(a)

Если A\mathbf{A} и S\mathbf{S} обе невырождены, проверьте, что

(ACRB)−1=(A−1+A−1CS−1RA−1−A−1CS−1−S−1RA−1S−1). \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{C} \\ \mathbf{R} & \mathbf{B} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}^{-1}+\mathbf{A}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{S}^{-1}\mathbf{R}\mathbf{A}^{-1} & -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{S}^{-1} \\ -\mathbf{S}^{-1}\mathbf{R}\mathbf{A}^{-1} & \mathbf{S}^{-1} \end{pmatrix}.
(b)

Если B\mathbf{B} и T\mathbf{T} невырождены, проверьте, что

(ACRB)−1=(T−1−T−1CB−1−B−1RT−1B−1+B−1RT−1CB−1). \begin{pmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{C} \\ \mathbf{R} & \mathbf{B} \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} \mathbf{T}^{-1} & -\mathbf{T}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{B}^{-1} \\ -\mathbf{B}^{-1}\mathbf{R}\mathbf{T}^{-1} & \mathbf{B}^{-1}+\mathbf{B}^{-1}\mathbf{R}\mathbf{T}^{-1}\mathbf{C}\mathbf{B}^{-1} \end{pmatrix}.
Задача 3.7.12

Предположим, что A\mathbf{A}, B\mathbf{B}, C\mathbf{C} и D\mathbf{D} — матрицы размера n×nn \times n, такие что ABT\mathbf{A}\mathbf{B}^{T} и CDT\mathbf{C}\mathbf{D}^{T} каждая симметрична, а ADT−BCT=I\mathbf{A}\mathbf{D}^{T}-\mathbf{B}\mathbf{C}^{T} = \mathbf{I}. Докажите, что

ATD−CTB=I. \mathbf{A}^{T}\mathbf{D}-\mathbf{C}^{T}\mathbf{B} = \mathbf{I}.
?