Банк задач по математике

Задача 3.2.1

(a)(b)

Определите неизвестные величины в следующих выражениях.

?

(a)

$3\mathbf{X} = \begin{bmatrix} 0 & 3 \\ 6 & 9 \end{bmatrix}$ .

(b)

$2\begin{bmatrix} x+2 & y+3 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ y & z \end{bmatrix}^{T}$ .

Задача 3.2.2

(a)(b)(c)(d)

Определите, является ли каждая из следующих матриц симметричной, кососимметричной или ни той, ни другой.

?

(a)

$\begin{bmatrix} 1 & -3 & 3 \\ -3 & 4 & -3 \\ 3 & 3 & 0 \end{bmatrix}$ .

(b)

$\begin{bmatrix} 0 & -3 & -3 \\ 3 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{bmatrix}$ .

(c)

$\begin{bmatrix} 0 & -3 & -3 \\ -3 & 0 & 3 \\ -3 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ .

(d)

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix}$ .

Задача 3.2.3

(a)(b)(c)

Постройте пример матрицы $3 \times 3$ $\mathbf{A}$ , удовлетворяющей следующим условиям.

?

(a)

$\mathbf{A}$ одновременно симметрична и кососимметрична.

(b)

$\mathbf{A}$ одновременно эрмитова и симметрична.

(c)

$\mathbf{A}$ косоэрмитова.

Задача 3.2.4

Объясните, почему множество всех симметричных матриц размера $n \times n$ замкнуто относительно сложения матриц. То есть объясните, почему сумма двух симметричных матриц размера $n \times n$ снова является симметричной матрицей размера $n \times n$ . Замкнуто ли множество всех кососимметричных матриц размера $n \times n$ относительно сложения матриц?

?

Задача 3.2.5

(a)(b)(c)

Докажите, что каждое из следующих утверждений верно.

?

(a)

Если $\mathbf{A} = [a_{ij}]$ кососимметрична, то $a_{jj} = 0$ для каждого $j$ .

(b)

Если $\mathbf{A} = [a_{ij}]$ косоэрмитова, то каждое $a_{jj}$ — чисто мнимое число, т.е. кратное мнимой единице $\mathrm{i}$ .

(c)

Если $\mathbf{A}$ вещественна и симметрична, то $\mathbf{B} = \mathrm{i}\mathbf{A}$ косоэрмитова.

Задача 3.2.6

(a)(b)

Пусть $\mathbf{A}$ — произвольная квадратная матрица.

?

(a)

Покажите, что $\mathbf{A}+\mathbf{A}^{T}$ симметрична, а $\mathbf{A}-\mathbf{A}^{T}$ кососимметрична.

(b)

Докажите, что существует единственный способ представить $\mathbf{A}$ в виде суммы симметричной матрицы и кососимметричной матрицы.

Задача 3.2.7

(a)(b)

Если $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — две матрицы одинаковой формы, докажите, что каждое из следующих утверждений верно.

?

(a)

$(\mathbf{A}+\mathbf{B})^{*} = \mathbf{A}^{*}+\mathbf{B}^{*}$ .

(b)

$(\alpha \mathbf{A})^{*} = \bar{\alpha }\mathbf{A}^{*}$ .

Задача 3.2.8

Напомним постановку задачи о системе пружин из примера 3.2.1: для ряда пружин, соединяющих узлы, если узел $i$ смещён на $x_i$ единиц (положительное направление — влево, отрицательное — вправо), а соседние узлы соединены пружиной с коэффициентом жёсткости $k$ , то сила, действующая на внутренний узел со стороны двух соседних пружин, равна сумме произведений $k$ на относительное смещение с каждым из соседей; при этом, если полученные уравнения баланса сил организовать в линейную систему, коэффициентная матрица оказывается симметричной матрицей жёсткости $\mathbf{K}$ . Для двух пружин, соединяющих три узла, с общим коэффициентом жёсткости $k_1 = k_2 = k$ , эта конструкция даёт

\mathbf{K} = k \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}.

Используя соглашения примера 3.2.1, определите матрицу жёсткости для системы из $n$ одинаковых пружин с коэффициентом жёсткости $k$ , соединённых в ряд, аналогично изображённому на рисунке 3.2.1.

Рисунок 3.2.1

?

Сложение и транспонирование