Умножение матриц

Для $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & -5 & 4 \\ 4 & -3 & 8 \end{bmatrix}$, $\mathbf{B} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}$ и $\mathbf{C} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}$ вычислите следующие произведения, когда это возможно.

Рассмотрим следующую систему уравнений:

Пусть $\mathbf{E} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{bmatrix}$, и пусть $\mathbf{A}$ — произвольная матрица размера $3 \times 3$.

Пусть $\overrightarrow {e}_{j}$ обозначает $j$-й единичный столбец, содержащий $1$ на $j$-м месте и нули на всех остальных местах. Для общей матрицы $\mathbf{A}_{n \times n}$ опишите следующие произведения.

Пусть $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ — матрицы размера $m \times n$. Если $\mathbf{A}\overrightarrow {x} = \mathbf{B}\overrightarrow {x}$ выполняется для всех столбцов $\overrightarrow {x}$ размера $n \times 1$, докажите, что $\mathbf{A} = \mathbf{B}$.

Для $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1/2 & \alpha \\ 0 & 1/2 \end{bmatrix}$ найдите $\lim_{n \to \infty } \mathbf{A}^{n}$.

Если $\mathbf{C}_{m \times 1}$ и $\mathbf{R}_{1 \times n}$ — матрицы, состоящие соответственно из одного столбца и одной строки, то матричное произведение $\mathbf{P}_{m \times n} = \mathbf{C}\mathbf{R}$ иногда называют внешним произведением $\mathbf{C}$ на $\mathbf{R}$. Для согласованных матриц $\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}$ объясните, как записать произведение $\mathbf{A}\mathbf{B}$ в виде суммы внешних произведений, составленных из столбцов $\mathbf{A}$ и строк $\mathbf{B}$.

Квадратная матрица $\mathbf{U} = [u_{ij}]$ называется верхнетреугольной, если $u_{ij} = 0$ при $i > j$ — то есть все элементы ниже главной диагонали равны $0$.

Если $\mathbf{A} = [a_{ij}(t)]$ — матрица, элементы которой являются функциями переменной $t$, то производная матрицы $\mathbf{A}$ по $t$ определяется как матрица производных. То есть,

Выведите правило дифференцирования произведения

Вспомните построение из примера 3.5.2: для сети из $n$ узлов (например, городов, обслуживаемых авиакомпанией) матрица связности $\mathbf{C}_{n \times n} = [c_{ij}]$ определяется как $c_{ij} = 1$, если существует прямой путь (рейс) из узла $i$ в узел $j$, и $c_{ij} = 0$ в противном случае. Пусть $\mathbf{C}_{n \times n}$ — матрица связности, связанная с такой сетью из $n$ узлов, и пусть $\overrightarrow {e}$ — столбец из всех единиц размера $n \times 1$. В терминах сети опишите элементы каждого из следующих произведений.

Рассмотрим три резервуара, каждый из которых содержит $V$ галлонов рассола. Резервуары соединены в линию, и все краны открываются одновременно. Пресная вода поступает со скоростью $r$ галлонов/сек в верхнюю часть первого резервуара, $r$ галлонов/сек вытекает из нижней части и поступает в следующий резервуар, и так далее по цепочке — в каждый резервуар сверху поступает и снизу вытекает $r$ галлонов/сек.

Figure 3.5.2

Пусть $x_{i}(t)$ обозначает количество фунтов соли в резервуаре $i$ в момент времени $t$, и пусть

Предполагая, что в каждом резервуаре происходит полное непрерывное перемешивание, покажите, что