LU-разложение

Пусть $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 4 & 18 & 26 \\ 3 & 16 & 30 \end{bmatrix}$.

Пусть $\mathbf{A}$ и $\overrightarrow {b}$ — матрицы

Найдите все значения $\xi$, при которых $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \xi & 2 & 0 \\ 1 & \xi & 1 \\ 0 & 1 & \xi \end{bmatrix}$ не имеет LU-разложения.

Если $\mathbf{A}$ — невырожденная матрица, обладающая LU-разложением, докажите, что ведущий элемент, возникающий после $(k+1)$ шагов стандартного метода Гаусса с использованием только операций III типа, задаётся формулой

где $\mathbf{A}_{k}$ и $\mathbf{A}_{k+1} = \begin{pmatrix} \mathbf{A}_{k} & \overrightarrow {b} \\ \overrightarrow {c}^{T} & a_{k+1,k+1} \end{pmatrix}$ — главные ведущие подматрицы порядков $k$ и $k+1$ соответственно. Используя это, выведите, что все ведущие элементы должны быть отличны от нуля, если для $\mathbf{A}$ существует LU-разложение.

Если $\mathbf{A}$ — матрица, содержащая только целочисленные элементы, и все её ведущие элементы равны $1$, объясните, почему $\mathbf{A}^{-1}$ также должна быть целочисленной матрицей.

Рассмотрим трёхдиагональную матрицу $\mathbf{T} = \begin{bmatrix} \beta_{1} & \gamma_{1} & 0 & 0 \\ \alpha_{1} & \beta_{2} & \gamma_{2} & 0 \\ 0 & \alpha_{2} & \beta_{3} & \gamma_{3} \\ 0 & 0 & \alpha_{3} & \beta_{4} \end{bmatrix}$.

Матрица $\mathbf{A}_{n \times n}$ называется ленточной матрицей (band matrix), если $a_{ij} = 0$ при $\left|i-j\right| > w$ для некоторого положительного целого числа $w$, называемого шириной ленты (bandwidth). Иными словами, ненулевые элементы $\mathbf{A}$ ограничены полосой из $w$ диагональных линий выше и ниже главной диагонали. Например, трёхдиагональные матрицы имеют ширину ленты один, а диагональные матрицы имеют ширину ленты нуль. Если $\mathbf{A}$ — невырожденная матрица с шириной ленты $w$ и если $\mathbf{A}$ имеет LU-разложение $\mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{U}$, то $\mathbf{L}$ наследует нижнюю ленточную структуру $\mathbf{A}$, а $\mathbf{U}$ наследует верхнюю ленточную структуру в том смысле, что $\mathbf{L}$ имеет «нижнюю ширину ленты» $w$, а $\mathbf{U}$ имеет «верхнюю ширину ленты» $w$. Проиллюстрируйте, почему это так, используя типичную матрицу $5 \times 5$ с шириной ленты $w = 2$.

Напомним про LDU-разложение: вынесение диагональных ведущих элементов из верхнетреугольного множителя $\mathbf{U}$ LU-разложения $\mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{U}$ даёт $\mathbf{A} = \mathbf{L}\mathbf{D}\mathbf{U}'$, где $\mathbf{D} = \diag (u_{11}, u_{22}, \ldots , u_{nn})$ — диагональная матрица ведущих элементов, а $\mathbf{U}'$ — верхнетреугольная матрица с единицами на диагонали (переобозначая далее $\mathbf{U}'$ как $\mathbf{U}$, так что и $\mathbf{L}$, и $\mathbf{U}$ в LDU-разложении имеют единичную диагональ).

Напомним: симметричная матрица $\mathbf{A}$, обладающая LU-разложением, в котором все ведущие элементы положительны, называется положительно определённой, и такая матрица однозначно раскладывается как $\mathbf{A} = \mathbf{R}^{T}\mathbf{R}$, где $\mathbf{R}$ — верхнетреугольная матрица с положительными диагональными элементами; это разложение Холецкого матрицы $\mathbf{A}$, а $\mathbf{R}$ — множитель Холецкого матрицы $\mathbf{A}$.

Объясните, почему $\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 8 & 12 \\ 3 & 12 & 27 \end{bmatrix}$ положительно определена, а затем найдите множитель Холецкого $\mathbf{R}$.