Высшая алгебра

Представить в тригонометрической форме число $1+i$.

Представить в тригонометрической форме число $1+i\sqrt{3}$.

Представить в тригонометрической форме число $\sqrt{3}-i$.

Представить в тригонометрической форме число $1-\cos \alpha +i\sin \alpha$; $0 < \alpha < 2\pi$.

Представить в тригонометрической форме число $1+\sin \alpha -i\cos \alpha$.

Представить в тригонометрической форме число $1+i\tg \alpha$; $-\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}$.

Вычислить следующее выражение, где $\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$:

Вычислить следующее выражение, где $\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$:

Вычислить следующее выражение, где $\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$:

Вычислить квадратные корни: $\sqrt{i}$.

Вычислить квадратные корни: $\sqrt{3+4i}$.

Вычислить квадратные корни: $\sqrt{-7+24i}$.

Решить квадратное уравнение $x^{2}+(5-2i)x+5(1-i)=0$.

Решить квадратное уравнение $x^{2}+(1-2i)x-2i=0$.

Найти все значения следующего корня: $\sqrt[3]{i}$.

Найти все значения следующего корня: $\sqrt[3]{-1+i}$.

Найти все значения следующего корня: $\sqrt[6]{-64}$.

Найти все значения следующего корня: $\sqrt[6]{64}$.

Найти корни уравнения $\left(\dfrac {1+xi}{1-xi}\right)^{n}=\dfrac {1+i\tg \alpha }{1-i\tg \alpha }$.

Найти корни уравнения $(x+i)^{n}+(x-i)^{n}=0$.

Выразить через $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ функцию $\cos 3\varphi$.

Выразить через $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ функцию $\sin 3\varphi$.

Выразить через $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ функцию $\cos 4\varphi$.

Выразить через $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ функцию $\sin 5\varphi$.

Выразить через тригонометрические функции кратных углов функцию $\cos^{3}\varphi$.

Выразить через тригонометрические функции кратных углов функцию $\sin^{3}\varphi$.

Выразить через тригонометрические функции кратных углов функцию $\cos^{4}\varphi$.

Выразить через тригонометрические функции кратных углов функцию $\sin^{4}\varphi$.

Выразить через тригонометрические функции кратных углов функцию $\cos^{5}\varphi$.

Выразить через тригонометрические функции кратных углов функцию $\sin^{5}\varphi$.

Доказать равенство:

где $C_{n}^{k}=\dfrac {n(n-1)\ldots (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots k}$.

Доказать равенство:

Доказать равенство:

Доказать равенство:

Вычислить сумму $1+2\cos x+2\cos 2x+\ldots +2\cos nx$.

Вычислить сумму $\sin x+\sin 3x+\sin 5x+\ldots +\sin (2n-1)x$.

Вычислить сумму $\cos \varphi +a\cos 3\varphi +\ldots +a^{n}\cos (2n+1)\varphi$.

Вычислить сумму $1+2a\cos \varphi +2a^{2}\cos 2\varphi +\ldots +2a^{n}\cos n\varphi$.

Найти величину $\ln (-e)$.

Найти величину $\ln (-2)$.

Найти величину $\ln i$.

Найти величину $\ln \dfrac {1+i}{\sqrt{2}}$.

Найти величину $\ln (x+iy)$.

Найти величину $e^{\pi i}$.

Найти величину $i^{i}$.

Найти величину $2^{i}$.

Найти величину $\left(\dfrac {1+i}{\sqrt{2}}\right)^{-i}$.

Найти величину $\tg \dfrac {\pi i}{2}$.

Найти величину $\sin (x+iy)$.

Найти величину $\cos (x+iy)$.

Найти величину $\arctg xi$.

При каком условии точка $z=x+iy$ лежит внутри круга радиуса $R$ с центром в точке $c=a+bi$?

В круг с радиусом $R$ и с центром в точке $c=a+bi$ вписан правильный $n$-угольник, одна из вершин которого — в точке $z_{0}=a+(b+R)i$. Где остальные вершины?

Две вершины правильного треугольника — в точках $z_{0}=1$ и $z_{1}=2+i$. Найти третью вершину.

Две смежные вершины правильного $n$-угольника — в точках $z_{0}$ и $z_{1}$. Найти следующую вершину.

Вершины многоугольника — в точках $z_{k}=1+z+z^{2}+\ldots +z^{k-1}$, $\left|z\right| < 1$. Выяснить, находится ли точка $z=0$ внутри многоугольника.

Три последовательные вершины параллелограмма — в точках $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$. Найти положение четвертой вершины.

Концы отрезка — в точках $z_{1}$ и $z_{2}$. Найти середину.

Массы $m_{1}, m_{2}, \ldots , m_{n}$ — в точках $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$. Найти положение центра тяжести.

Точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — вершины выпуклого $n$-угольника. Найти геометрическое место точек $z=\lambda_{1}z_{1}+\lambda_{2}z_{2}+\ldots +\lambda_{n}z_{n}$, где $\lambda_{k} > 0$, $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots +\lambda_{n}=1$.

Последовательные вершины ломаной лежат в точках

Доказать, что ломаная не может замкнуться ни при каком значении $k$.

Доказать, что уравнение

не может иметь корней, больших по модулю единицы.

Доказать, что равенства $\lambda_{1}z_{1}+\lambda_{2}z_{2}+\lambda_{3}z_{3}=0$, $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=0$, где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ вещественны, эквивалентны условию, что точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ лежат на одной прямой.

Доказать тождество:

и указать его геометрический смысл.

Доказать равносильность равенств

где $\lambda$ вещественно.

Доказать равенство:

Доказать равенство:

Определить вид кривой, заданной уравнением $z=z_{0}+te^{\alpha i}$, $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$, где $t$ — вещественный параметр.

Определить вид кривой, заданной уравнением $z=z_{0}+re^{ti}$, где $t$ — вещественный параметр.

Определить вид кривой, заданной уравнением $z=z_{0}+ae^{ti}+be^{-ti}$, где $t$ — вещественный параметр.

Определить вид кривой, заданной уравнением $z=ate^{ti}$, где $t$ — вещественный параметр.

Определить вид кривой, заданной уравнением $z=ae^{\alpha t}$, где $t$ — вещественный параметр, $a$ и $\alpha$ — комплексные постоянные.

Проследить, как изменяется аргумент величины $x(x-1)$, когда $x$ описывает в направлении против часовой стрелки замкнутую кривую, заключающую внутри точки $0$ и $1$.

Изучить изменение аргумента величин $\sqrt{x}$, $\sqrt{x-1}$ и $\sqrt{x(x-1)}$, когда $x$ описывает тот же контур, что и в задаче 2480 (замкнутую кривую, обходимую против часовой стрелки и заключающую внутри точки $0$ и $1$).

Как изменится функция $u=(z-a)^{\alpha }(z-b)^{\beta }$ при вещественных $\alpha$ и $\beta$, если $z$ опишет замкнутый контур, обходящий против часовой стрелки точки $a$ и $b$?

Тот же вопрос для функции $u=(z-a)^{\alpha }\ln (z-a)$ и контура, обходящего точку $a$ против часовой стрелки.

Определить $a$ и $b$ так, чтобы $x^{4}+3x^{2}+ax+b$ делилось без остатка на $x^{2}-2ax+2$.

Показать, что при целых $m$, $n$ и $p$ полином $x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$ делится на $x^{2}+x+1$.

Доказать, что $(x+y)^{n}-x^{n}-y^{n}$ при $n=6m+5$ делится на $x^{2}+xy+y^{2}$, а при $n=6m+1$ делится на $(x^{2}+xy+y^{2})^{2}$.

Уравнение $3x^{4}-5x^{3}+3x^{2}+4x-2=0$ имеет корень $1+i$. Найти остальные корни.

Доказать, что двойной корень уравнения $\varphi (x)^{2}+\psi (x)^{2}=0$ удовлетворяет уравнению $\varphi '(x)^{2}+\psi '(x)^{2}=0$, если полиномы $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ взаимно простые.

Доказать, что корень кратности $n$ уравнения

есть корень кратности $n-1$ уравнения $F\left(u'(x), v'(x)\right)=0$. Здесь $u(x)$, $v(x)$ — взаимно простые полиномы и $F(u,v)$ — однородная функция, не имеющая кратных линейных множителей.

Доказать, что полином $f(x)$ тогда и только тогда остается положительным при всех вещественных $x$, когда

где $\alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ — некоторые комплексные числа.

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

при нечетном или четном $n$ соответственно.

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Разложить на множители полином $(x+1)^{n}+(x-1)^{n}$.

Разложить на множители полином $x^{2n}+C_{2n}^{2}x^{2n-2}(x^{2}-1)+C_{2n}^{4}x^{2n-4}(x^{2}-1)^{2}+\ldots +(x^{2}-1)^{n}$.

Разложить на множители полином $x^{2n+1}+C_{2n+1}^{2}x^{2n-1}(x^{2}-1)+C_{2n+1}^{4}x^{2n-3}(x^{2}-1)^{2}+\ldots +x(x^{2}-1)^{n}$.

Вычислить произведение $(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)\ldots (x_{n}^{2}+1)$, где $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ — корни полинома $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}$, ($a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ — вещественные).

Корни полинома $f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}$ связаны соотношениями $x_{s}+x_{n-s}=m$, $s=1, 2, \ldots , n$. Доказать тождество: $f(x)=(-1)^{n}f(m-x)$.

Корни полинома $f(x)$ степени $2n$ связаны соотношением $x_{s}+x_{n+s}=2m$, $s=1, 2, \ldots , n$. Доказать, что один из корней $f'(x)$ равен $m$, а остальные попарно связаны формулами $y_{s}+y_{n+s-1}=2m$, $s=1, 2, \ldots , n-1$.

Уравнение $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}=0$, где $a_{0}a_{n} \neq 0$, имеет $k+1$ член. Показать, что оно не может иметь корней кратности выше, чем $k$.

Делится ли на $(x-1)^{4}$ многочлен

Найти зависимость между коэффициентами полинома $a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$, если между его корнями имеется зависимость: $x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}=2x_{1}x_{3}$.

Найти зависимость между $p$, $q$ и $r$, при которой корни уравнения $x^{3}+px^{2}+qx+r=0$ составляют геометрическую прогрессию.

При каких $\lambda$ и $\mu$ корни уравнения $x^{4}+2x^{3}-21x^{2}+\lambda x+\mu =0$ образуют арифметическую прогрессию и какую именно?

При каких $p$, $q$, $\alpha$ ($0 < \alpha < 4$) уравнение $x^{4}+px^{\alpha }+q=0$ имеет тройной корень?

Остатки от деления полинома на $(x-a)$, $(x-b)$, $(x-c)$ равны $A$, $B$, $C$. Найти остаток от деления на $(x-a)(x-b)(x-c)$.

Корни полинома $x^{3}+x^{2}-2$ равны $1$, $\alpha$ и $\beta$. Найти полином $\varphi (x)$ второй степени, для которого $\varphi (1)=1$, $\varphi (\alpha )=\beta$, $\varphi (\beta )=\alpha$, и доказать, что $\varphi (\varphi (x))-x$ делится на $x^{3}+x^{2}-2$.

Найти полином $f(x)$ седьмой степени, такой, чтобы $f(x)+1$ делилось на $(x-1)^{4}$, а $f(x)-1$ делилось на $(x+1)^{4}$.

Найти полином $f(x)$ степени $2n-1$, такой, чтобы $f(x)+1$ делилось на $(x-1)^{n}$, а $f(x)-1$ на $(x+1)^{n}$.

Найти полином степени $n$, который при делении на $(x-a_{1}), (x-a_{2}), \ldots , (x-a_{n})$ дает остатки $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$.

Доказать справедливость тождества Эйлера

где $\varphi (x)=(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n})$, числа $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{m}$ различны, а $\omega (x)$ — любой полином степени не выше, чем $m-2$.

В равенстве

обе части можно разложить по степеням $z$, если числа $\left|\lambda z\right|$, $\left|\lambda^{-1}z\right|$ и $\left|(\lambda +\lambda^{-1})z-z^{2}\right|$ меньше чем единица. Приравнивая в обеих частях коэффициенты при одинаковых степенях $z$, доказать тождество

Полагая в тождестве предыдущей задачи $\lambda =\cos \varphi +i\sin \varphi$ для полинома Чебышева $T_{n}(x)=2^{-(n-1)}\cos (n\arccos x)$, получить явное выражение

Учитывая характер изменения полинома $T_{n}(x)$ в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$, доказать, что всякий другой полином $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}$ с вещественными коэффициентами не может постоянно оставаться по абсолютной величине меньше, чем $2^{-(n-1)}$, т. е. что полином Чебышева наименее уклоняется от нуля в интервале $(-1, 1)$.

$F(x)=f(x)\varphi (x)^{k}$, где $f(x)$ и $\varphi (x)$ — взаимно простые полиномы без кратных корней. Положив $F(x)=P(x)Q(x)$, $F'(x)=P(x)R(x)$, где $Q(x)$ и $R(x)$ взаимно простые, доказать, что $\varphi (x)$ есть общий наибольший делитель полиномов $Q(x)$ и $R(x)-kQ'(x)$.

При каких $\lambda$ все корни полинома $x^{3}-3x+\lambda$ вещественны?

Многочлены

имеют корни: $a_{1} < b_{1} < a_{2} < b_{2} < \cdots < a_{n} < b_{n}$ вещественные и перемежающиеся. Доказать, что при $\lambda > 0$ корни полинома $\varphi (x)+\lambda \psi (x)$ вещественны и перемежаются с корнями полиномов $\varphi (x)$ и $\psi (x)$.

При тех же условиях и при $\mu > \lambda > 0$ доказать, что корни уравнений $\varphi (x)+\lambda \psi (x)=0$, $\varphi (x)+\mu \psi (x)=0$ вещественные, простые и взаимно перемежающиеся, где $\varphi (x)$, $\psi (x)$ — многочлены с вещественными и перемежающимися корнями $a_{1} < b_{1} < a_{2} < b_{2} < \cdots < a_{n} < b_{n}$, как в задаче 2525.

Доказать, что при тех же условиях (см. задачу 2525) корни уравнения $\varphi (x)+\lambda \psi (x)=0$ возрастают вместе с $\lambda$.

При каких значениях $p$ и $q$ уравнение $x^{5}+px+q=0$ имеет три вещественных корня?

Доказать, что уравнение $x^{m}=1+\alpha x^{m+n}$, где $m$ и $n$ нечетные, $\alpha > 0$, имеет при $(m+n)^{m+n}\alpha^{m} < m^{m}n^{n}$ два положительных корня.

Доказать, что при вещественности корней уравнения $x^{3}-3px+q=0$, $p > 0$ каждый из них по модулю меньше, чем $2\sqrt{p}$. Если же корни $x_{1}$ и $x_{2}$ комплексные, но не вещественные, то $\left|x_{3}\right| > 2\sqrt{p}$.

Доказать, что уравнение $x^{\lambda_{1}}+a_{1}x^{\lambda_{2}}+\ldots +a_{n}=0$, где $\lambda_{1} > \lambda_{2} > \cdots > \lambda_{n-1} > 0$, $a_{1}a_{2}\ldots a_{n} \neq 0$ не может иметь более чем $n$ положительных корней.