Рациональные дроби. Разложение на простейшие

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {x^{2}+1}{x(x^{2}-1)}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {2}{(x-1)(x-2)(x-3)}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {x^{5}-x^{3}-x^{2}}{x^{2}-1}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {x^{2}}{(x-1)^{2}(x+1)}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {4}{(x^{2}-1)^{2}}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {x^{6}-x^{2}+1}{(x-1)^{3}}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {x^{2}+1}{(x^{2}+x+1)^{2}}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {x^{4}+1}{x^{3}(x^{2}+1)}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {2}{x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+1}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {8}{x^{4}+4}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {2x^{4}}{x^{4}+x^{2}+1}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {x^{m-1}}{x^{n}-1}$; $m \leqslant n$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {1-x^{2}}{1-2x\cos \varphi +x^{2}}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {1}{x^{2n}+1}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {1}{x^{2n+1}+1}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {3x^{3}+15x+6}{x^{4}+x^{3}+3x^{2}+2x+2}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {2x^{3}+4x}{x^{4}+x^{2}+4}$.

Разложить следующую дробь на простейшие: $\dfrac {3x^{2}-3}{x^{3}-3x+1}$.

Определить коэффициенты в разложении функции

по убывающим степеням $x$, если корни знаменателя простые.

Найти сумму ряда $\sum_{n=0}^{\infty }u_{n}^{2}x^{n}$, где

Если $x_{1}$ по абсолютной величине больше остальных корней уравнения $f(x)=x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}=0$, то

где $u_{n}$ — коэффициент при $x^{-n}$ в разложении дроби $\dfrac {\varphi (x)}{f(x)}=\sum u_{n}x^{-n}$, если $f'(x_{1}) \neq 0$. Числа $u_{n}$ можно находить последовательно из равенства

Разложение в ряд правильной рациональной дроби имеет вид $\dfrac {\varphi (x)}{\psi (x)}=u_{0}+u_{1}x+u_{2}x^{2}+u_{3}x^{3}+\ldots$, где числа $u_{n}$ имеют значения $0$ и $\pm 1$. Доказать, что

где числа $a_{\nu }$ могут иметь лишь значения $0$ и $\pm 1$. (Лагерр.)

Доказать равенство

где $x_{\nu }$ — корни уравнения $x^{n}=1$, отличные от единицы.

Все корни уравнения $f(x)=0$ степени $n$ вещественные. Доказать, что в промежутке $\left(-\dfrac {x_{\nu }-x_{\nu -1}}{n}+x_{\nu }, \dfrac {x_{\nu +1}-x_{\nu }}{n}+x_{\nu }\right)$, где $x_{\nu -1}, x_{\nu }, x_{\nu +1}$ — три последовательных корня $f(x)$, нет корней $f'(x)$.

Все корни полинома $f(x)$ степени $n$ — вещественные, как и число $m$. Доказать, что модуль мнимой части каждого из корней уравнения $f(x)+imf'(x)=0$ меньше, чем $\left|nm\right|$.