Комплексные числа

Представить в тригонометрической форме число $1+i$.

Представить в тригонометрической форме число $1+i\sqrt{3}$.

Представить в тригонометрической форме число $\sqrt{3}-i$.

Представить в тригонометрической форме число $1-\cos \alpha +i\sin \alpha$; $0 < \alpha < 2\pi$.

Представить в тригонометрической форме число $1+\sin \alpha -i\cos \alpha$.

Представить в тригонометрической форме число $1+i\tg \alpha$; $-\frac{\pi }{2} < \alpha < \frac{\pi }{2}$.

Вычислить следующее выражение, где $\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$:

Вычислить следующее выражение, где $\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$:

Вычислить следующее выражение, где $\omega =\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}$:

Вычислить квадратные корни: $\sqrt{i}$.

Вычислить квадратные корни: $\sqrt{3+4i}$.

Вычислить квадратные корни: $\sqrt{-7+24i}$.

Решить квадратное уравнение $x^{2}+(5-2i)x+5(1-i)=0$.

Решить квадратное уравнение $x^{2}+(1-2i)x-2i=0$.

Найти все значения следующего корня: $\sqrt[3]{i}$.

Найти все значения следующего корня: $\sqrt[3]{-1+i}$.

Найти все значения следующего корня: $\sqrt[6]{-64}$.

Найти все значения следующего корня: $\sqrt[6]{64}$.

Найти корни уравнения $\left(\dfrac {1+xi}{1-xi}\right)^{n}=\dfrac {1+i\tg \alpha }{1-i\tg \alpha }$.

Найти корни уравнения $(x+i)^{n}+(x-i)^{n}=0$.

Выразить через $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ функцию $\cos 3\varphi$.

Выразить через $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ функцию $\sin 3\varphi$.

Выразить через $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ функцию $\cos 4\varphi$.

Выразить через $\cos \varphi$ и $\sin \varphi$ функцию $\sin 5\varphi$.

Выразить через тригонометрические функции кратных углов функцию $\cos^{3}\varphi$.

Выразить через тригонометрические функции кратных углов функцию $\sin^{3}\varphi$.

Выразить через тригонометрические функции кратных углов функцию $\cos^{4}\varphi$.

Выразить через тригонометрические функции кратных углов функцию $\sin^{4}\varphi$.

Выразить через тригонометрические функции кратных углов функцию $\cos^{5}\varphi$.

Выразить через тригонометрические функции кратных углов функцию $\sin^{5}\varphi$.

Доказать равенство:

где $C_{n}^{k}=\dfrac {n(n-1)\ldots (n-k+1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots k}$.

Доказать равенство:

Доказать равенство:

Доказать равенство:

Вычислить сумму $1+2\cos x+2\cos 2x+\ldots +2\cos nx$.

Вычислить сумму $\sin x+\sin 3x+\sin 5x+\ldots +\sin (2n-1)x$.

Вычислить сумму $\cos \varphi +a\cos 3\varphi +\ldots +a^{n}\cos (2n+1)\varphi$.

Вычислить сумму $1+2a\cos \varphi +2a^{2}\cos 2\varphi +\ldots +2a^{n}\cos n\varphi$.

Найти величину $\ln (-e)$.

Найти величину $\ln (-2)$.

Найти величину $\ln i$.

Найти величину $\ln \dfrac {1+i}{\sqrt{2}}$.

Найти величину $\ln (x+iy)$.

Найти величину $e^{\pi i}$.

Найти величину $i^{i}$.

Найти величину $2^{i}$.

Найти величину $\left(\dfrac {1+i}{\sqrt{2}}\right)^{-i}$.

Найти величину $\tg \dfrac {\pi i}{2}$.

Найти величину $\sin (x+iy)$.

Найти величину $\cos (x+iy)$.

Найти величину $\arctg xi$.

При каком условии точка $z=x+iy$ лежит внутри круга радиуса $R$ с центром в точке $c=a+bi$?

В круг с радиусом $R$ и с центром в точке $c=a+bi$ вписан правильный $n$-угольник, одна из вершин которого — в точке $z_{0}=a+(b+R)i$. Где остальные вершины?

Две вершины правильного треугольника — в точках $z_{0}=1$ и $z_{1}=2+i$. Найти третью вершину.

Две смежные вершины правильного $n$-угольника — в точках $z_{0}$ и $z_{1}$. Найти следующую вершину.

Вершины многоугольника — в точках $z_{k}=1+z+z^{2}+\ldots +z^{k-1}$, $\left|z\right| < 1$. Выяснить, находится ли точка $z=0$ внутри многоугольника.

Три последовательные вершины параллелограмма — в точках $z_{1}$, $z_{2}$, $z_{3}$. Найти положение четвертой вершины.

Концы отрезка — в точках $z_{1}$ и $z_{2}$. Найти середину.

Массы $m_{1}, m_{2}, \ldots , m_{n}$ — в точках $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$. Найти положение центра тяжести.

Точки $z_{1}, z_{2}, \ldots , z_{n}$ — вершины выпуклого $n$-угольника. Найти геометрическое место точек $z=\lambda_{1}z_{1}+\lambda_{2}z_{2}+\ldots +\lambda_{n}z_{n}$, где $\lambda_{k} > 0$, $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\ldots +\lambda_{n}=1$.

Последовательные вершины ломаной лежат в точках

Доказать, что ломаная не может замкнуться ни при каком значении $k$.

Доказать, что уравнение

не может иметь корней, больших по модулю единицы.

Доказать, что равенства $\lambda_{1}z_{1}+\lambda_{2}z_{2}+\lambda_{3}z_{3}=0$, $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=0$, где $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ вещественны, эквивалентны условию, что точки $z_{1}, z_{2}, z_{3}$ лежат на одной прямой.

Доказать тождество:

и указать его геометрический смысл.

Доказать равносильность равенств

где $\lambda$ вещественно.

Доказать равенство:

Доказать равенство:

Определить вид кривой, заданной уравнением $z=z_{0}+te^{\alpha i}$, $z_{0}=x_{0}+iy_{0}$, где $t$ — вещественный параметр.

Определить вид кривой, заданной уравнением $z=z_{0}+re^{ti}$, где $t$ — вещественный параметр.

Определить вид кривой, заданной уравнением $z=z_{0}+ae^{ti}+be^{-ti}$, где $t$ — вещественный параметр.

Определить вид кривой, заданной уравнением $z=ate^{ti}$, где $t$ — вещественный параметр.

Определить вид кривой, заданной уравнением $z=ae^{\alpha t}$, где $t$ — вещественный параметр, $a$ и $\alpha$ — комплексные постоянные.

Проследить, как изменяется аргумент величины $x(x-1)$, когда $x$ описывает в направлении против часовой стрелки замкнутую кривую, заключающую внутри точки $0$ и $1$.

Изучить изменение аргумента величин $\sqrt{x}$, $\sqrt{x-1}$ и $\sqrt{x(x-1)}$, когда $x$ описывает тот же контур, что и в задаче 2480 (замкнутую кривую, обходимую против часовой стрелки и заключающую внутри точки $0$ и $1$).

Как изменится функция $u=(z-a)^{\alpha }(z-b)^{\beta }$ при вещественных $\alpha$ и $\beta$, если $z$ опишет замкнутый контур, обходящий против часовой стрелки точки $a$ и $b$?

Тот же вопрос для функции $u=(z-a)^{\alpha }\ln (z-a)$ и контура, обходящего точку $a$ против часовой стрелки.