Полином с вещественными коэффициентами. Теорема Ролля

При каких $\lambda$ все корни полинома $x^{3}-3x+\lambda$ вещественны?

Многочлены

имеют корни: $a_{1} < b_{1} < a_{2} < b_{2} < \cdots < a_{n} < b_{n}$ вещественные и перемежающиеся. Доказать, что при $\lambda > 0$ корни полинома $\varphi (x)+\lambda \psi (x)$ вещественны и перемежаются с корнями полиномов $\varphi (x)$ и $\psi (x)$.

При тех же условиях и при $\mu > \lambda > 0$ доказать, что корни уравнений $\varphi (x)+\lambda \psi (x)=0$, $\varphi (x)+\mu \psi (x)=0$ вещественные, простые и взаимно перемежающиеся, где $\varphi (x)$, $\psi (x)$ — многочлены с вещественными и перемежающимися корнями $a_{1} < b_{1} < a_{2} < b_{2} < \cdots < a_{n} < b_{n}$, как в задаче 2525.

Доказать, что при тех же условиях (см. задачу 2525) корни уравнения $\varphi (x)+\lambda \psi (x)=0$ возрастают вместе с $\lambda$.

При каких значениях $p$ и $q$ уравнение $x^{5}+px+q=0$ имеет три вещественных корня?

Доказать, что уравнение $x^{m}=1+\alpha x^{m+n}$, где $m$ и $n$ нечетные, $\alpha > 0$, имеет при $(m+n)^{m+n}\alpha^{m} < m^{m}n^{n}$ два положительных корня.

Доказать, что при вещественности корней уравнения $x^{3}-3px+q=0$, $p > 0$ каждый из них по модулю меньше, чем $2\sqrt{p}$. Если же корни $x_{1}$ и $x_{2}$ комплексные, но не вещественные, то $\left|x_{3}\right| > 2\sqrt{p}$.

Доказать, что уравнение $x^{\lambda_{1}}+a_{1}x^{\lambda_{2}}+\ldots +a_{n}=0$, где $\lambda_{1} > \lambda_{2} > \cdots > \lambda_{n-1} > 0$, $a_{1}a_{2}\ldots a_{n} \neq 0$ не может иметь более чем $n$ положительных корней.

Доказать, что полином $x^{n}+a_{1}x^{n_{1}}+a_{2}x^{n_{2}}+\ldots +a_{m-1}x^{n_{m-1}}+a_{m}$, где $n > n_{1} > n_{2} > \cdots > n_{m-1}$ — целые числа, $a_{1}a_{2}\ldots a_{m} \neq 0$, не может иметь более чем $2m$ вещественных корней.

Доказать, что все корни уравнения $\dfrac {d^{m}x^{m}(x-1)^{m}}{dx^{m}}=0$ лежат в интервале $(0, 1)$.

Все корни полинома $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}$ вещественные. Доказать, что и все корни полинома

тоже вещественны.

Доказать, что все корни полинома

лежат в интервале $(-1, 0)$.

Все корни полинома $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}$ вещественные. Доказать, что корни уравнения

тоже вещественные.

При том же условии (см. задачу 2536) доказать неравенства:

Корни полинома $f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}$ вещественны и различны. Доказать, что полином

не имеет вещественных корней.

Все корни полинома $f(x)$ вещественные. Доказать, что корни полинома $f(x)+\lambda f'(x)$ тоже вещественные, если $\lambda$ вещественно.

При том же условии (см. задачу 2539) дано, что полином $f(x)+m$ имеет $k$ мнимых¹ корней. Доказать, что уравнение $f'(x)^{2}-f(x)f''(x)-mf'''(x)=0$ имеет не менее чем $k$ вещественных корней.

Доказать теорему: если все корни полинома $f(x)$ вещественные, то при $\lambda > 0$ и все корни полинома $xf'(x)+\lambda f(x)$ тоже вещественные. (Лагерр.)

Доказать теорему: если у полинома $f(x)=a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}$ все корни вещественные, а у полинома $\varphi (\nu )$ все корни вещественные неположительные, то и у полинома $F(x)=\sum a_{\nu }\varphi (\nu )x^{\nu }$ все корни вещественные. (Лагерр.)

Доказать теорему: если у полинома $f(x)=a+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n}$ все корни вещественны, то вещественны и все корни полинома $F(x)=\sum a_{\nu }\psi (\nu )x^{\nu }$, где $\psi (\nu )=e^{A\nu }\prod \left(1+\dfrac {\nu }{a_{\nu }}\right)e^{-\frac{\nu }{a_{\nu }}}$, числа $a_{\nu }$ положительны, $A$ вещественно. (Лагерр.)

Если корни полинома $f(x)=\sum a_{\nu }x^{\nu }$ и точка $x=0$ лежат внутри некоторого выпуклого контура, то внутри того же контура лежат и корни полинома $F(x)=\sum a_{\nu }\psi (\nu )x^{\nu }$, где $\psi (\nu )=e^{A\nu }\prod \left(1+\dfrac {\nu }{a_{\nu }}\right)e^{-\frac{\nu }{a_{\nu }}}$, числа $a_{\nu }$ положительны, $A < 0$.

Корни полиномов $f'(x)$, $f''(x)$, , $f^{(n-1)}(x)$, где $f(x)$ — полином степени $n$, лежат внутри любого выпуклого контура, внутри которого лежат корни $f(x)$.

Если функция $\Phi (x)=f(x)+af'(x)+a^{2}f''(x)+\ldots +a^{n}f^{(n)}(x)$, где $f(x)$ — полином степени $n$, имеет корни вещественные, то и полином $f(x)$ — тоже.

Если корни полинома $f(x)=P(x)+iQ(x)$, где полиномы $P(x)$ и $Q(x)$ имеют вещественные коэффициенты, лежат по одну сторону вещественной оси, то корни уравнений $P(x)=0$ и $Q(x)=0$ вещественные и перемежающиеся. (Эрмит.)

Применяя теорему Ролля к функции $x^{m}e^{x}$, доказать, что уравнение

имеет все корни вещественные.

Доказать вещественность корней уравнения

Доказать вещественность корней уравнения $(1+x^{2})^{n+1}\dfrac {d^{n}(1+x^{2})^{-1}}{dx^{n}}=0$.

Доказать вещественность корней уравнения $x^{2n}e^{-\frac{1}{x}}\dfrac {d^{n}e^{\frac{1}{x}}}{dx^{n}}=0$.

Доказать вещественность корней уравнения $\dfrac {A_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac {A_{2}}{x-a_{2}}+\ldots +\dfrac {A_{n}}{x-a_{n}}=0$, $A_{\nu } > 0$, $a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}$.

Доказать вещественность корней уравнения $\dfrac {A_{1}}{x-a_{1}}+\dfrac {A_{2}}{x-a_{2}}+\ldots +\dfrac {A_{n}}{x-a_{n}}=0$, $a_{1} < a_{2} < \cdots < a_{n}$, $A_{\nu } > 0$ при $\nu < m$, $A_{\nu } < 0$ при $\nu \geqslant m$, $A_{1}+A_{2}+\ldots +A_{n}=0$.

Доказать, что корни полинома Эрмита--Чебышева $e^{x^{2}}\dfrac {d^{n}e^{-x^{2}}}{dx^{n}}$ вещественны и лежат в интервале $\left(-\sqrt{2n+1}, \sqrt{2n+1}\right)$.

Сколько вещественных корней имеет уравнение $1+x+\dfrac {x^{2}}{2!}+\dfrac {x^{3}}{3!}+\ldots +\dfrac {x^{n}}{n!}=0$?

Сколько вещественных корней имеет уравнение $1+x+\dfrac {x^{2}}{2}+\dfrac {x^{3}}{3}+\ldots +\dfrac {x^{n}}{n}=0$?

В разложении по степеням $\lambda$

коэффициент $\varphi_{n}(x)$ при $\lambda^{n}$ есть полином степени $n+1$. Доказать, что все корни $\varphi_{n}(x)$ лежат в интервале $(-1, 1)$. (Эрмит.)

Найти верхнюю границу для числа положительных и отрицательных и нижнюю границу для числа мнимых¹ корней уравнения $x^{10}-7x-2=0$.

В уравнении $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}=0$ при некотором $k$ имеется равенство: $a_{k}^{2}=a_{k-1}a_{k+1}$. Показать, что среди корней имеются мнимые¹.

В таком же уравнении четыре последовательных коэффициента образуют арифметическую прогрессию. Доказать, что уравнение имеет мнимые¹ корни. (Эрмит.)

Доказать, что уравнение

где $f(x)$ — полином степени не выше, чем $n-2$, имеет мнимые¹ корни.

Доказать, что при вещественных $a$ и $b$ уравнение

имеет не больше одного вещественного корня.