Симметрические функции

Пользуясь основной теоремой о симметрических функциях, доказать, что целая рациональная симметрическая функция степени $m$ от корней уравнения

рационально выражается через $p_{1}, p_{2}, \ldots , p_{m}$.

Пользуясь результатом предыдущей задачи (см. задачу 2666), доказать, что суммы степеней корней уравнений $S_{1}, S_{2}, \ldots , S_{m}$ у уравнений

и

одни и те же. Здесь $m \leqslant n$.

Опираясь на результат двух предыдущих задач (см. задачи 2666, 2667), доказать, что при $m \leqslant n$ для сумм степеней корней уравнения

справедлива формула

Умножая на подходящую степень $x$ левую часть уравнения $x^{n}+p_{1}x^{n-1}+p_{2}x^{n-2}+\ldots +p_{n}=0$ получить равенство для сумм степеней корней уравнения при $m > n$:

Найти значение указанной симметрической функции корней данного уравнения: $x^{5}-3x^{3}-5x+1=0$; $\sum x_{\nu }^{4}$.

Найти значение указанной симметрической функции корней данного уравнения: $x^{3}+3x^{2}-x-7=0$; $\sum x_{\nu }^{6}$.

Найти значение указанной симметрической функции корней данного уравнения: $x^{4}+ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$; $\sum x_{\nu }^{3}x_{\mu }$; $\nu \neq \mu$.

Найти значение указанной симметрической функции корней данного уравнения: $x^{3}-x-1=0$; $\sum x_{1}(x_{2}-x_{3})^{2}$.

Найти значение указанной симметрической функции корней данного уравнения: $x^{4}-5x^{2}-2x+1=0$; $\sum (x_{1}-x_{2})^{2}(x_{3}-x_{4})^{2}$.

Найти значение указанной симметрической функции корней данного уравнения: $x^{n}+x^{n-1}+\ldots +x+1=0$; $\sum x_{1}^{3}x_{2}^{3}x_{3}^{3}$; $n > 8$.

Найти значение указанной симметрической функции корней данного уравнения: $x^{5}-4x^{3}+x^{2}+3x+1=0$; $\sum x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}x_{4}$.

$x^{n}+(a+b)x^{n-1}+(a^{2}+ab+b^{2})x^{n-2}+\ldots +(a^{n}+a^{n-1}b+\ldots +b^{n})=0$; найти $S_{m}$ при $m \leqslant n$.

$x^{n}+ax^{n-1}+\dfrac {a(a+1)}{1 \cdot 2}x^{n-2}+\ldots +\dfrac {a(a+1)\ldots (a+n-1)}{1 \cdot 2 \ldots n}=0$. Найти $S_{m}$ при $m \leqslant n+1$.

Доказать формулы Варинга, дающие выражения для $S_{m}$, суммы $m$-х степеней корней уравнений $x^{n}+p_{1}x^{n-1}+\ldots +p_{n}=0$, через коэффициенты уравнения. Эти формулы можно написать в таком виде:

В каждой из сумм в правой части индексы $\mu , \nu , \lambda , \ldots$ положительны, а их сумма равна $m$.

Для кубического уравнения $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ вычислить следующие симметрические функции: $\dfrac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{x_{1}+x_{2}}+\dfrac {x_{1}^{2}+x_{3}^{2}}{x_{1}+x_{3}}+\dfrac {x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}{x_{2}+x_{3}}$; $\dfrac {x_{1}^{2}+x_{2}x_{3}}{x_{2}+x_{3}}+\dfrac {x_{2}^{2}+x_{1}x_{3}}{x_{1}+x_{3}}+\dfrac {x_{3}^{2}+x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}$.

Для кубического уравнения $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ найти площадь треугольника со сторонами $x_{1}, x_{2}, x_{3}$.

Представить в виде целой функции от $x$ следующую дробную функцию корня данного уравнения (уничтожение иррациональности в знаменателе): $\dfrac {6+5x}{1+x+x^{2}}$; $x^{3}-2=0$.

Представить в виде целой функции от $x$ следующую дробную функцию корня данного уравнения (уничтожение иррациональности в знаменателе): $\dfrac {1}{x^{3}-x+2}$; $x^{4}-5=0$.

Представить в виде целой функции от $x$ следующую дробную функцию корня данного уравнения (уничтожение иррациональности в знаменателе): $\dfrac {1}{1+2x+x^{2}}$; $x^{3}-x-1=0$.

Представить в виде целой функции от $x$ следующую дробную функцию корня данного уравнения (уничтожение иррациональности в знаменателе): $\dfrac {1}{a+bx+cx^{2}}$; $x^{3}-N=0$.

Узнать, имеют ли общий корень полиномы $\varphi (x)=x^{3}-3x^{2}+x+1$, $\psi (x)=2x^{3}-4x+2$.

Узнать, имеют ли общий корень полиномы $\varphi (x)=x^{2}+x+1$, $\psi (x)=x^{3}+x-1$.

Узнать, имеют ли общий корень полиномы $\varphi (x)=x^{5}+x^{2}+1$, $\psi (x)=x^{5}-x^{3}+2$.

При каких $\lambda$ и $\mu$ уравнения $x^{3}-6x^{2}+\lambda x-3=0$, $x^{3}-x^{2}+\mu x+2=0$ имеют два общих корня?

Решить систему уравнений:

Решить систему уравнений:

Исключить $x$ из системы уравнений:

Исключить $x$ из системы уравнений:

Исключить $x$ из системы уравнений:

Найти дискриминант уравнения $x^{n}+a=0$.

То же для уравнения $x^{3}+px^{2}+qx+r=0$ (см. задачу 2695).

В выражение дискриминанта $D(a_{0}, a_{1}, \ldots , a_{n})$ входит член $Ma_{0}^{n-1}a_{n}^{n-1}$. Найти $M$.

Доказать теорему: если все корни уравнения с целыми коэффициентами $x^{n}+p_{1}x^{n-1}+\ldots +p_{n}=0$ по модулю равны единице, то они равны корням из единицы. (Кронекер.)