Преобразование и решение уравнений

Корни уравнения $x^{3}+px+q=0$ вещественны при условии $4p^{3}+27q^{2} \leqslant 0$. Когда корни уравнения $x^{3}+ax^{2}+bx+c=0$ вещественны?

Решить уравнение $x^{4}+4x^{3}+11x^{2}+14x+12=0$ подстановкой $x=y+\sigma$ при подходящем выборе $\sigma$.

Следующее уравнение привести к уравнению с целыми коэффициентами и коэффициентом при старшем члене, равном единице, применяя подстановку вида $y=ax$: $5x^{4}-9x^{3}+15x^{2}-12x+18=0$.

Следующее уравнение привести к уравнению с целыми коэффициентами и коэффициентом при старшем члене, равном единице, применяя подстановку вида $y=ax$: $900x^{4}-750x^{3}+375x^{2}-13=0$.

Доказать, что уравнение $a_{0}x^{2n}+a_{1}x^{2n-2}+\ldots +a_{n}=0$ имеет невещественные¹ корни, если уравнение $a_{0}x^{2n}-a_{1}x^{2n-2}+\ldots +(-1)^{n}a_{n}=0$ имеет вещественные.

Найти уравнение, корни которого равны квадратам корней уравнения $x^{5}+x^{3}+x^{2}+2x+3=0$, и доказать, что у данного уравнения есть мнимые¹ корни.

У уравнения $x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x-1=0$ один из корней равен квадрату другого. Решить уравнение.

Решить уравнение $x^{4}-6mx^{3}+2(4m^{2}+n)x^{2}-6mnx+n^{2}=0$.

Решить уравнение $4(x^{2}-x+1)^{3}-27x^{2}(x-1)^{2}=0$.

При каком условии два из корней уравнения $x^{3}+px+q=0$ отличаются только знаком?

Доказать теорему: возвратное уравнение

подстановкой $y=\left(\dfrac {x+1}{x-1}\right)^{2}$ приводится к решению уравнения степени $n$ и квадратного уравнения.

Доказать теорему: возвратное уравнение с вещественными коэффициентами $x^{2n}+a_{1}x^{2n-1}+\ldots +a_{1}x+1=0$, у которого $\left|a_{n}\right| \leqslant 2$, имеет по крайней мере одну пару мнимых¹ корней.

Полином с вещественными коэффициентами

в интервале $(-2, 2)$ не может по абсолютной величине все время оставаться меньше, чем $2$.

Уравнение с вещественными коэффициентами

в интервале $(-2, 2)$ имеет хотя бы один корень, если $\left|m\right| < 2$.

Уравнение с вещественными коэффициентами

имеет корень в промежутке $(-2l, 2l)$, где $2l^{2n+1}=\left|m\right|$. (Чебышев.)

Преобразовать следующее уравнение указанной подстановкой (преобразование Чирнгауза): $x^{3}-x^{2}-4x+4=0$; $y=x^{2}+x-1$.

Преобразовать следующее уравнение указанной подстановкой (преобразование Чирнгауза): $2x^{3}-5x^{2}+x+2=0$; $y=2x^{2}+3x-1$.

Преобразовать следующее уравнение указанной подстановкой (преобразование Чирнгауза): $x^{3}-6x^{2}+15x-14=0$; $2y=x^{2}-5x+8$.

Преобразовать следующее уравнение указанной подстановкой (преобразование Чирнгауза): $x^{4}+2x^{3}-13x^{2}-14x+48=0$; $y=x^{2}+x-7$.

Найти уравнение для $y$, корни которого выражаются через корни данного уравнения указанным образом: $x^{3}+2x-1=0$; $y_{1}=x_{1}x_{2}$, $y_{2}=x_{1}x_{3}$, $y_{3}=x_{2}x_{3}$.

Найти уравнение для $y$, корни которого выражаются через корни данного уравнения указанным образом: $x^{3}-x^{2}-3=0$; $y_{1}=\dfrac {x_{1}}{x_{2}+x_{3}-x_{1}}$ и т.д.

Найти уравнение для $y$, корни которого выражаются через корни данного уравнения указанным образом: $x^{3}+px+q=0$; $y_{1}=x_{1}^{2}+x_{1}x_{2}+x_{2}^{2}$.

Найти уравнение для $y$, корни которого выражаются через корни данного уравнения указанным образом: $x^{3}+3x^{2}-4x+3=0$; $y_{1}=\dfrac {x_{1}x_{2}-x_{3}^{2}}{x_{1}+x_{2}-2x_{3}}$.

Найти уравнение для $y$, корни которого выражаются через корни данного уравнения указанным образом: $ax^{3}+3a_{1}x^{2}+3a_{2}x+a_{3}=0$; $y_{1}=(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})$.

Решить уравнение $x^{3}-3ax^{2}+(3a^{2}-b^{2})x-a^{3}+ab^{2}=0$.

Решить уравнение $x^{3}-3(a-b)x^{2}+(3a^{2}-6ab-b^{2})x-a^{3}+3a^{2}b+ab^{2}-3b^{3}=0$.

Решить уравнение $x^{3}-(a+1)^{2}x^{2}+(2a^{3}+a^{2}+2a-1)x-a^{4}+1=0$.

Решить уравнение $x^{3}-5x^{2}+3x+6=0$.

Решить уравнение $x^{4}-12ax^{3}+(45a^{2}-b^{2})x^{2}-2a(29a^{2}-5b^{2})x+24a^{2}(a^{2}-b^{2})=0$.

Решить уравнение $x^{4}-4(a+1)x^{3}+(5a^{2}+14a+4)x^{2}-(2a^{3}+14a^{2}+12a)x+4a^{3}+8a^{2}=0$.

Решить уравнение $2x^{4}+7x^{3}+10x^{2}+11x+6=0$.

Решить уравнение $x^{3}-6x-9=0$ по формуле Кардано и способу Феррари.

Решить уравнение $x^{3}+6x-7=0$ по формуле Кардано и способу Феррари (см. задачу 2730).

Решить уравнение $x^{3}+3x-2=0$ по формуле Кардано и способу Феррари (см. задачу 2730).

Решить уравнение $x^{3}+3x-4=0$ по формуле Кардано и способу Феррари (см. задачу 2730).

Решить уравнение $x^{3}-7x-6=0$ по формуле Кардано и способу Феррари (см. задачу 2730).

Решить уравнение $x^{4}+3x^{2}+2x+3=0$ по формуле Кардано и способу Феррари (см. задачу 2730).

Решить уравнение $x^{4}+2x^{2}+4x+8=0$ по формуле Кардано и способу Феррари (см. задачу 2730).

Решить уравнение $x^{4}-x^{3}+3x^{2}-5x+2=0$ по формуле Кардано и способу Феррари (см. задачу 2730).

Решить уравнение $x^{4}-17x^{2}-20x-6=0$ по формуле Кардано и способу Феррари (см. задачу 2730).