6.5

Определители. Системы линейных уравнений

[50/72%]
Показать
LaTeX
Задача 2588

Вычислить определитель

∣−1222−1222−1∣. \begin{vmatrix} -1 & 2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & 2 & -1 \end{vmatrix} .
?
Задача 2589

Вычислить определитель

∣10−51011−2102−14−5∣. \begin{vmatrix} 10 & -5 & 10 \\ 11 & -2 & 10 \\ 2 & -14 & -5 \end{vmatrix} .
?
Задача 2590

Вычислить определитель

∣362236623∣. \begin{vmatrix} 3 & 6 & 2 \\ 2 & 3 & 6 \\ 6 & 2 & 3 \end{vmatrix} .
?
Задача 2591

Вычислить определитель

∣50421−12141201111∣. \begin{vmatrix} 5 & 0 & 4 & 2 \\ 1 & -1 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} .
?
Задача 2592

Вычислить определитель

∣31234−1241−1114−125∣. \begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 & 3 \\ 4 & -1 & 2 & 4 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 4 & -1 & 2 & 5 \end{vmatrix} .
?
Задача 2593

Вычислить определитель

∣14916491625916253616253649∣. \begin{vmatrix} 1 & 4 & 9 & 16 \\ 4 & 9 & 16 & 25 \\ 9 & 16 & 25 & 36 \\ 16 & 25 & 36 & 49 \end{vmatrix} .
?
Задача 2594

Вычислить определитель

∣11111+a1111+b∣. \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+a & 1 \\ 1 & 1 & 1+b \end{vmatrix} .
?
Задача 2595

Вычислить определитель

∣1+a11111+b11111+c11111+d∣. \begin{vmatrix} 1+a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+c & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1+d \end{vmatrix} .
?
Задача 2596

Вычислить определитель

∣xyx+yyx+yxx+yxy∣. \begin{vmatrix} x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y \end{vmatrix} .
?
Задача 2597

Вычислить определитель

∣(b+c)2a2a2b2(c+a)2b2c2c2(a+b)2∣. \begin{vmatrix} (b+c)^{2} & a^{2} & a^{2} \\ b^{2} & (c+a)^{2} & b^{2} \\ c^{2} & c^{2} & (a+b)^{2} \end{vmatrix} .
?
Задача 2598

Вычислить определитель

∣1c−b−c1ab−a1∣. \begin{vmatrix} 1 & c & -b \\ -c & 1 & a \\ b & -a & 1 \end{vmatrix} .
?
Задача 2599

Вычислить определитель

∣a100−1b100−1c100−1d∣. \begin{vmatrix} a & 1 & 0 & 0 \\ -1 & b & 1 & 0 \\ 0 & -1 & c & 1 \\ 0 & 0 & -1 & d \end{vmatrix} .
?
Задача 2600

Вычислить определитель

∣111xyzx2y2z2∣. \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ x & y & z \\ x^{2} & y^{2} & z^{2} \end{vmatrix} .
?
Задача 2601

Найти величину определителя Вандермонда

Δ=∣111…1x1x2x3…xnx12x22x32…xn2\hdotsfor5x1n−1x2n−1x3n−1…xnn−1∣, \Delta =\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} & \ldots & x_{n} \\ x_{1}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & \ldots & x_{n}^{2} \\ \hdotsfor {5} \\ x_{1}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & x_{3}^{n-1} & \ldots & x_{n}^{n-1} \end{vmatrix},

предполагая сначала, что числа x1,x2,…,xnx_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n} различны между собой.

?
Задача 2602

Вычислить определители Δn\Delta_{n} и Δn+1\Delta_{n+1}, получающиеся из определителя Вандермонда (см. задачу 2601) заменой в последней строчке показателя n−1n-1 на nn или на n+1n+1.

?
Задача 2603

Вычислить величины Δ1\Delta_{1} и Δ2\Delta_{2} определителей, получающихся из определителя Вандермонда Δ\Delta (см. задачу 2601) дифференцированием по x1x_{1} и заменой x1x_{1} на x2x_{2} или x1x_{1} и x2x_{2} на x3x_{3}:

Δ1=∣011…11x2x3…xn2x22x22x32…xn2\hdotsfor5(n−1)x2n−1x2n−1x3n−1…xnn−1∣; \Delta _{1}=\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & \ldots & 1 \\ 1 & x_{2} & x_{3} & \ldots & x_{n} \\ 2x_{2}^{2} & x_{2}^{2} & x_{3}^{2} & \ldots & x_{n}^{2} \\ \hdotsfor {5} \\ (n-1)x_{2}^{n-1} & x_{2}^{n-1} & x_{3}^{n-1} & \ldots & x_{n}^{n-1} \end{vmatrix}; Δ2=∣001…101x3…xn22x3x32…xn2\hdotsfor5n(n−1)x3n−2(n−1)x3n−1x3n−1…xnn−1∣. \Delta _{2}=\begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 & \ldots & 1 \\ 0 & 1 & x_{3} & \ldots & x_{n} \\ 2 & 2x_{3} & x_{3}^{2} & \ldots & x_{n}^{2} \\ \hdotsfor {5} \\ n(n-1)x_{3}^{n-2} & (n-1)x_{3}^{n-1} & x_{3}^{n-1} & \ldots & x_{n}^{n-1} \end{vmatrix} .
?
Задача 2604

Доказать равенство:

∣11…1(x11)(x21)…(xn1)(x12)(x22)…(xn2)\hdotsfor4(x1n−1)(x2n−1)…(xnn−1)∣=Δ1!2!3!…(n−1)!, \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ \binom {x_{1}}{1} & \binom {x_{2}}{1} & \ldots & \binom {x_{n}}{1} \\ \binom {x_{1}}{2} & \binom {x_{2}}{2} & \ldots & \binom {x_{n}}{2} \\ \hdotsfor {4} \\ \binom {x_{1}}{n-1} & \binom {x_{2}}{n-1} & \ldots & \binom {x_{n}}{n-1} \end{vmatrix}=\dfrac {\Delta }{1!2!3!\ldots (n-1)!},

где (xm)=x(x−1)…(x−m+1)1⋅2…m\dbinom {x}{m}=\dfrac {x(x-1)\ldots (x-m+1)}{1 \cdot 2 \ldots m}, Δ\Delta — определитель Вандермонда (см. задачу 2601).

?
Задача 2605

Вычислить определитель

∣cos⁡(a−b)cos⁡(b−c)cos⁡(c−a)cos⁡(a+b)cos⁡(b+c)cos⁡(c+a)sin⁡(a+b)sin⁡(b+c)sin⁡(c+a)∣. \begin{vmatrix} \cos (a-b) & \cos (b-c) & \cos (c-a) \\ \cos (a+b) & \cos (b+c) & \cos (c+a) \\ \sin (a+b) & \sin (b+c) & \sin (c+a) \end{vmatrix} .
?
Задача 2606

Вычислить определитель

∣sin⁡acos⁡asin⁡2asin⁡bcos⁡bsin⁡2bsin⁡ccos⁡csin⁡2c∣. \begin{vmatrix} \sin a & \cos a & \sin 2a \\ \sin b & \cos b & \sin 2b \\ \sin c & \cos c & \sin 2c \end{vmatrix} .
?
Задача 2607

Вычислить определитель

∣sin⁡asin⁡bsin⁡csin⁡3asin⁡3bsin⁡3csin⁡5asin⁡5bsin⁡5c∣. \begin{vmatrix} \sin a & \sin b & \sin c \\ \sin 3a & \sin 3b & \sin 3c \\ \sin 5a & \sin 5b & \sin 5c \end{vmatrix} .
?
Задача 2608

Вычислить определитель

∣sin⁡3αsin⁡2αcos⁡αsin⁡αcos⁡2αcos⁡3αsin⁡3βsin⁡2βcos⁡βsin⁡βcos⁡2βcos⁡3βsin⁡3γsin⁡2γcos⁡γsin⁡γcos⁡2γcos⁡3γsin⁡3δsin⁡2δcos⁡δsin⁡δcos⁡2δcos⁡3δ∣. \begin{vmatrix} \sin ^{3}\alpha & \sin ^{2}\alpha \cos \alpha & \sin \alpha \cos ^{2}\alpha & \cos ^{3}\alpha \\ \sin ^{3}\beta & \sin ^{2}\beta \cos \beta & \sin \beta \cos ^{2}\beta & \cos ^{3}\beta \\ \sin ^{3}\gamma & \sin ^{2}\gamma \cos \gamma & \sin \gamma \cos ^{2}\gamma & \cos ^{3}\gamma \\ \sin ^{3}\delta & \sin ^{2}\delta \cos \delta & \sin \delta \cos ^{2}\delta & \cos ^{3}\delta \end{vmatrix} .
?
Задача 2609

Доказать равенство: Dn=anDn−1+Dn−2D_{n}=a_{n}D_{n-1}+D_{n-2};

Dn=∣a110…00−1a21…000−1a3…00\hdotsfor6000…an−11000…−1an∣. D_{n}=\begin{vmatrix} a_{1} & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ -1 & a_{2} & 1 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & a_{3} & \ldots & 0 & 0 \\ \hdotsfor {6} \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & a_{n-1} & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & a_{n} \end{vmatrix} .
?
Задача 2610

Доказать равенство

∣a1λ…λλa2…λ\hdotsfor4λλ…an∣=φ(λ)−λdφdλ, \begin{vmatrix} a_{1} & \lambda & \ldots & \lambda \\ \lambda & a_{2} & \ldots & \lambda \\ \hdotsfor {4} \\ \lambda & \lambda & \ldots & a_{n} \end{vmatrix}=\varphi (\lambda )-\lambda \dfrac {d\varphi }{d\lambda },

где φ(λ)=(a1−λ)(a2−λ)…(an−λ)\varphi (\lambda )=(a_{1}-\lambda )(a_{2}-\lambda )\ldots (a_{n}-\lambda ).

?
Задача 2611

Доказать равенство

∣a1a2a3…ana2a3a4…a1\hdotsfor5ana1a2…an−1∣=(−1)(n−1)(n−2)2φ(α1)φ(α2)…φ(αn), \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} & \ldots & a_{n} \\ a_{2} & a_{3} & a_{4} & \ldots & a_{1} \\ \hdotsfor {5} \\ a_{n} & a_{1} & a_{2} & \ldots & a_{n-1} \end{vmatrix}=(-1)^{\frac{(n-1)(n-2)}{2}}\varphi (\alpha _{1})\varphi (\alpha _{2})\ldots \varphi (\alpha _{n}),

где φ(α)=a1+a2α+…+anαn−1\varphi (\alpha )=a_{1}+a_{2}\alpha +\ldots +a_{n}\alpha^{n-1}; α\alpha — корень уравнения αn=1\alpha^{n}=1.

?
Задача 2612

Доказать равенство

∣123…n234…1\hdotsfor5n12…n−1∣=(−1)n(n−1)2⋅n(n+1)2nn−2. \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \ldots & n \\ 2 & 3 & 4 & \ldots & 1 \\ \hdotsfor {5} \\ n & 1 & 2 & \ldots & n-1 \end{vmatrix}=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}} \cdot \dfrac {n(n+1)}{2}n^{n-2} .
?
Задача 2613

Доказать неравенство:

Δ=∣A1a2a3…anb1B2b3…bn\hdotsfor5m1m2m3…Mn∣≠0, \Delta =\begin{vmatrix} A_{1} & a_{2} & a_{3} & \ldots & a_{n} \\ b_{1} & B_{2} & b_{3} & \ldots & b_{n} \\ \hdotsfor {5} \\ m_{1} & m_{2} & m_{3} & \ldots & M_{n} \end{vmatrix} \neq 0,

где A1>∣a2∣+∣a3∣+…+∣an∣A_{1} > \left|a_{2}\right|+\left|a_{3}\right|+\ldots +\left|a_{n}\right|, B2>∣b1∣+∣b3∣+…+∣bn∣,…B_{2} > \left|b_{1}\right|+\left|b_{3}\right|+\ldots +\left|b_{n}\right|, \ldots, Mn>∣m1∣+∣m2∣+…+∣mn−1∣M_{n} > \left|m_{1}\right|+\left|m_{2}\right|+\ldots +\left|m_{n-1}\right|.

?
Задача 2614

Доказать, что определитель из предыдущей задачи (см. задачу 2613) положителен, если, при тех же условиях, его элементы вещественны.

?
Задача 2615

Доказать, что определитель, у которого элементы aνμa_{\nu \mu } и aμνa_{\mu \nu }, симметричные относительно главной диагонали, — комплексно сопряженные, имеет вещественное значение.

?
Задача 2616

Элементы определителя порядка nn связаны равенствами aνν=0a_{\nu \nu }=0, aνμ=iaμνa_{\nu \mu }=ia_{\mu \nu }, ν>μ\nu > \mu, где aνμa_{\nu \mu } — вещественное число. Найти значения nn, при которых определители имеют вещественное значение при любом выборе aμνa_{\mu \nu }.

?
Задача 2617

При каких nn тот же определитель (см. задачу 2616) равен чисто мнимому числу?

?
Задача 2618

Показать, что при нечетных nn тот же определитель (см. задачу 2616) равен A(1±i)A(1 \pm i), где AA — вещественное.

?
Задача 2619

Доказать равенство:

∣1+x1y11+x1y2…1+x1yn1+x2y11+x2y2…1+x2yn\hdotsfor41+xny11+xny2…1+xnyn∣=0,n>2. \begin{vmatrix} 1+x_{1}y_{1} & 1+x_{1}y_{2} & \ldots & 1+x_{1}y_{n} \\ 1+x_{2}y_{1} & 1+x_{2}y_{2} & \ldots & 1+x_{2}y_{n} \\ \hdotsfor {4} \\ 1+x_{n}y_{1} & 1+x_{n}y_{2} & \ldots & 1+x_{n}y_{n} \end{vmatrix}=0, \quad n > 2 .
?
Задача 2620

Найти величину определителя

Δ=∣αβγα1β1γ1α2β2γ2∣, \Delta =\begin{vmatrix} \alpha & \beta & \gamma \\ \alpha _{1} & \beta _{1} & \gamma _{1} \\ \alpha _{2} & \beta _{2} & \gamma _{2} \end{vmatrix},

элементы которого — косинусы углов новых осей со старыми; координатные системы предполагаются прямоугольными.

?
Задача 2621

Показать, что определитель

∣x1y1z1x2y2z2x3y3z3∣, \begin{vmatrix} x_{1} & y_{1} & z_{1} \\ x_{2} & y_{2} & z_{2} \\ x_{3} & y_{3} & z_{3} \end{vmatrix},

элементы которого суть проекции трех векторов на оси, не меняется при преобразовании прямоугольных координат.

?
Задача 2622

Решить систему уравнений

{2x+4y−z=1,2x+4y−z=1,−x+8y+3z=2. \begin{cases} 2x \hphantom {{}+4y} -z=1, \\ 2x+4y-z=1, \\ -x+8y+3z=2 . \end{cases}
?
Задача 2623

Решить систему уравнений

{x+y+z=a,x+(1+a)y+z=2a,x+y+(1+a)z=0. \begin{cases} x+y+z=a, \\ x+(1+a)y+z=2a, \\ x+y+(1+a)z=0 . \end{cases}
?
Задача 2624

Решить систему уравнений

{x+2y+z+t=0,2x+y+z+2t=0,x+2y+2z+t=0,x+y+z+t=0. \begin{cases} x+2y+z+t=0, \\ 2x+y+z+2t=0, \\ x+2y+2z+t=0, \\ x+y+z+t=0 . \end{cases}
?
Задача 2625

Решить систему уравнений

{5x+4z+2t=3,x−y+2z+t=1,4x+y+2z=1,x+y+z+t=0. \begin{cases} 5x+4z+2t=3, \\ x-y+2z+t=1, \\ 4x+y+2z=1, \\ x+y+z+t=0 . \end{cases}
?
Задача 2626

Решить систему уравнений

{x−4y+2z=−1,2x−3y−z−5t=−7,3x−7y+z−5t=−8,y−z−t=−1. \begin{cases} x-4y+2z=-1, \\ 2x-3y-z-5t=-7, \\ 3x-7y+z-5t=-8, \\ y-z-t=-1 . \end{cases}
?
Задача 2627

Из системы уравнений

{x+y+2z=0,2x−y+z=0,x+y+z=t,2x−2y+z=u \begin{cases} x+y+2z=0, \\ 2x-y+z=0, \\ x+y+z=t, \\ 2x-2y+z=u \end{cases}

найти uu как функцию от tt.

?
Задача 2628

Решить систему:

{x1+x2+x3+…+xn=n,x1+2x2+3x3+…+nxn=n(n+1)2,x1+3x2+6x3+…+n(n+1)2xn=n(n+1)(n+2)6,\hdotsfor1x1+nx2+n(n+1)2x3+…+n(n+1)…(2n−2)1⋅2⋅3…(n−1)xn=n(n+1)…(2n−1)1⋅2⋅3…n. \begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots +x_{n}=n, \\ x_{1}+2x_{2}+3x_{3}+\ldots +nx_{n}=\dfrac {n(n+1)}{2}, \\ x_{1}+3x_{2}+6x_{3}+\ldots +\dfrac {n(n+1)}{2}x_{n}=\dfrac {n(n+1)(n+2)}{6}, \\ \hdotsfor {1} \\ x_{1}+nx_{2}+\dfrac {n(n+1)}{2}x_{3}+\ldots +\dfrac {n(n+1)\ldots (2n-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots (n-1)}x_{n}=\dfrac {n(n+1)\ldots (2n-1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n} . \end{cases}
?
Задача 2629

Решить систему:

{x2+x3+…+xn−1+xn=1,x1+x3+…+xn−1+xn=2,x1+x2+…+xn−1+xn=3,\hdotsfor1x1+x2+x3+…+xn−1=n. \begin{cases} x_{2}+x_{3}+\ldots +x_{n-1}+x_{n}=1, \\ x_{1}+x_{3}+\ldots +x_{n-1}+x_{n}=2, \\ x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n-1}+x_{n}=3, \\ \hdotsfor {1} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3}+\ldots +x_{n-1}=n . \end{cases}
?
Задача 2630

Показать, что в том случае, когда определитель Δ\Delta, составленный из n2n^{2} элементов aμνa_{\mu \nu }, равен нулю, имеет место пропорциональность A1μA1ν=A2μA2ν=⋯=AnμAnν\dfrac {A_{1\mu }}{A_{1\nu }}=\dfrac {A_{2\mu }}{A_{2\nu }}=\cdots =\dfrac {A_{n\mu }}{A_{n\nu }}, где AklA_{kl} — алгебраическое дополнение элемента akla_{kl}.

?
Задача 2631

Решить систему уравнений:

aν1x1+aν2x2+…+aνnxn=λν,ν=1,2,…,n, a_{\nu 1}x_{1}+a_{\nu 2}x_{2}+\ldots +a_{\nu n}x_{n}=\lambda _{\nu }, \quad \nu =1,2,\ldots ,n,

предполагая, что таблица, составленная из коэффициентов этих уравнений, — ортогональная. Найдя решение, показать, что Aνμ=aνμ⋅ΔA_{\nu \mu }=a_{\nu \mu } \cdot \Delta, где AνμA_{\nu \mu } — алгебраическое дополнение элемента aνμa_{\nu \mu }.

?
Задача 2632

Дано

Δ=∣a11a12…a1pa21a22…a2p\hdotsfor4ap1ap2…app∣≠0, \Delta =\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2p} \\ \hdotsfor {4} \\ a_{p1} & a_{p2} & \ldots & a_{pp} \end{vmatrix} \neq 0,

а все определители порядка p+1p+1 матрицы

(a11a12…a1ma21a22…a2m\hdotsfor4an1an2…anm),m>p,  n>p, \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \ldots & a_{2m} \\ \hdotsfor {4} \\ a_{n1} & a_{n2} & \ldots & a_{nm} \end{pmatrix}, \quad m > p, \; n > p,

содержащие Δ\Delta как минор, равны нулю. Доказать, что ранг матрицы равен pp.

?
Задача 2633

При каком условии три точки (x1,y1)(x_{1},y_{1}), (x2,y2)(x_{2},y_{2}), (x3,y3)(x_{3},y_{3}) лежат на одной прямой?

?
Задача 2634

При каком условии три прямые a1x+b1y+c1=0a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0, a2x+b2y+c2=0a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0, a3x+b3y+c3=0a_{3}x+b_{3}y+c_{3}=0 пересекаются в одной точке?

?
Задача 2635

При каком условии четыре точки M1(x1,y1,z1)M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}), M2(x2,y2,z2)M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}), M3(x3,y3,z3)M_{3}(x_{3},y_{3},z_{3}), M4(x4,y4,z4)M_{4}(x_{4},y_{4},z_{4}) лежат в одной плоскости?

?
Задача 2636

При каких условиях nn точек Mν(xν,yν,zν)M_{\nu }(x_{\nu },y_{\nu },z_{\nu }), ν=1,2,…,n\nu =1,2,\ldots ,n, лежат в одной плоскости и при каком лежат на одной прямой?

?
Задача 2637

При каких условиях nn плоскостей Aνx+Bνy+Cνz+Dν=0A_{\nu }x+B_{\nu }y+C_{\nu }z+D_{\nu }=0, ν=1,2,…,n\nu =1,2,\ldots ,n, пересекаются в одной точке или по одной прямой?

?