Разложение полинома на множители, связь между коэффициентами и корнями

Определить $a$ и $b$ так, чтобы $x^{4}+3x^{2}+ax+b$ делилось без остатка на $x^{2}-2ax+2$.

Показать, что при целых $m$, $n$ и $p$ полином $x^{3m}+x^{3n+1}+x^{3p+2}$ делится на $x^{2}+x+1$.

Доказать, что $(x+y)^{n}-x^{n}-y^{n}$ при $n=6m+5$ делится на $x^{2}+xy+y^{2}$, а при $n=6m+1$ делится на $(x^{2}+xy+y^{2})^{2}$.

Уравнение $3x^{4}-5x^{3}+3x^{2}+4x-2=0$ имеет корень $1+i$. Найти остальные корни.

Доказать, что двойной корень уравнения $\varphi (x)^{2}+\psi (x)^{2}=0$ удовлетворяет уравнению $\varphi '(x)^{2}+\psi '(x)^{2}=0$, если полиномы $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ взаимно простые.

Доказать, что корень кратности $n$ уравнения

есть корень кратности $n-1$ уравнения $F\left(u'(x), v'(x)\right)=0$. Здесь $u(x)$, $v(x)$ — взаимно простые полиномы и $F(u,v)$ — однородная функция, не имеющая кратных линейных множителей.

Доказать, что полином $f(x)$ тогда и только тогда остается положительным при всех вещественных $x$, когда

где $\alpha_{0}, \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ — некоторые комплексные числа.

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

при нечетном или четном $n$ соответственно.

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Доказать тождество:

Разложить на множители полином $(x+1)^{n}+(x-1)^{n}$.

Разложить на множители полином $x^{2n}+C_{2n}^{2}x^{2n-2}(x^{2}-1)+C_{2n}^{4}x^{2n-4}(x^{2}-1)^{2}+\ldots +(x^{2}-1)^{n}$.

Разложить на множители полином $x^{2n+1}+C_{2n+1}^{2}x^{2n-1}(x^{2}-1)+C_{2n+1}^{4}x^{2n-3}(x^{2}-1)^{2}+\ldots +x(x^{2}-1)^{n}$.

Вычислить произведение $(x_{1}^{2}+1)(x_{2}^{2}+1)\ldots (x_{n}^{2}+1)$, где $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ — корни полинома $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}$, ($a_{1}, a_{2}, \ldots , a_{n}$ — вещественные).

Корни полинома $f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}$ связаны соотношениями $x_{s}+x_{n-s}=m$, $s=1, 2, \ldots , n$. Доказать тождество: $f(x)=(-1)^{n}f(m-x)$.

Корни полинома $f(x)$ степени $2n$ связаны соотношением $x_{s}+x_{n+s}=2m$, $s=1, 2, \ldots , n$. Доказать, что один из корней $f'(x)$ равен $m$, а остальные попарно связаны формулами $y_{s}+y_{n+s-1}=2m$, $s=1, 2, \ldots , n-1$.

Уравнение $a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}=0$, где $a_{0}a_{n} \neq 0$, имеет $k+1$ член. Показать, что оно не может иметь корней кратности выше, чем $k$.

Делится ли на $(x-1)^{4}$ многочлен

Найти зависимость между коэффициентами полинома $a_{0}x^{3}+a_{1}x^{2}+a_{2}x+a_{3}=0$, если между его корнями имеется зависимость: $x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}=2x_{1}x_{3}$.

Найти зависимость между $p$, $q$ и $r$, при которой корни уравнения $x^{3}+px^{2}+qx+r=0$ составляют геометрическую прогрессию.

При каких $\lambda$ и $\mu$ корни уравнения $x^{4}+2x^{3}-21x^{2}+\lambda x+\mu =0$ образуют арифметическую прогрессию и какую именно?

При каких $p$, $q$, $\alpha$ ($0 < \alpha < 4$) уравнение $x^{4}+px^{\alpha }+q=0$ имеет тройной корень?

Остатки от деления полинома на $(x-a)$, $(x-b)$, $(x-c)$ равны $A$, $B$, $C$. Найти остаток от деления на $(x-a)(x-b)(x-c)$.

Корни полинома $x^{3}+x^{2}-2$ равны $1$, $\alpha$ и $\beta$. Найти полином $\varphi (x)$ второй степени, для которого $\varphi (1)=1$, $\varphi (\alpha )=\beta$, $\varphi (\beta )=\alpha$, и доказать, что $\varphi (\varphi (x))-x$ делится на $x^{3}+x^{2}-2$.

Найти полином $f(x)$ седьмой степени, такой, чтобы $f(x)+1$ делилось на $(x-1)^{4}$, а $f(x)-1$ делилось на $(x+1)^{4}$.

Найти полином $f(x)$ степени $2n-1$, такой, чтобы $f(x)+1$ делилось на $(x-1)^{n}$, а $f(x)-1$ на $(x+1)^{n}$.

Найти полином степени $n$, который при делении на $(x-a_{1}), (x-a_{2}), \ldots , (x-a_{n})$ дает остатки $A_{1}, A_{2}, \ldots , A_{n}$.

Доказать справедливость тождества Эйлера

где $\varphi (x)=(x-x_{1})(x-x_{2})\ldots (x-x_{n})$, числа $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{m}$ различны, а $\omega (x)$ — любой полином степени не выше, чем $m-2$.

В равенстве

обе части можно разложить по степеням $z$, если числа $\left|\lambda z\right|$, $\left|\lambda^{-1}z\right|$ и $\left|(\lambda +\lambda^{-1})z-z^{2}\right|$ меньше чем единица. Приравнивая в обеих частях коэффициенты при одинаковых степенях $z$, доказать тождество

Полагая в тождестве предыдущей задачи $\lambda =\cos \varphi +i\sin \varphi$ для полинома Чебышева $T_{n}(x)=2^{-(n-1)}\cos (n\arccos x)$, получить явное выражение

Учитывая характер изменения полинома $T_{n}(x)$ в интервале $-1 \leqslant x \leqslant 1$, доказать, что всякий другой полином $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\ldots +a_{n}$ с вещественными коэффициентами не может постоянно оставаться по абсолютной величине меньше, чем $2^{-(n-1)}$, т. е. что полином Чебышева наименее уклоняется от нуля в интервале $(-1, 1)$.

$F(x)=f(x)\varphi (x)^{k}$, где $f(x)$ и $\varphi (x)$ — взаимно простые полиномы без кратных корней. Положив $F(x)=P(x)Q(x)$, $F'(x)=P(x)R(x)$, где $Q(x)$ и $R(x)$ взаимно простые, доказать, что $\varphi (x)$ есть общий наибольший делитель полиномов $Q(x)$ и $R(x)-kQ'(x)$.