Приложения дифференциального исчисления к анализу

Доказать, что корни производной от полинома $y = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ вещественные, и указать пределы, между которыми они заключены.

Доказать, что производная от полинома, все корни которого вещественны, не имеет мнимых корней.

Доказать, что полином Лежандра

имеет все корни вещественные и лежащие в интервале $(-1, 1)$.

Доказать, что у полинома Лагерра

все корни положительные.

Доказать, что у полинома Эрмита--Чебышева $e^{x^{2}} \dfrac {d^{n} e^{-x^{2}}}{dx^{n}}$ все корни вещественные.

Существует равенство $\dfrac {d^{n} \arctg x}{dx^{n}} = \dfrac {P_{n-1}(x)}{(1+x^{2})^{n}}$, где $P_{n-1}(x)$ — полином степени $n-1$. Доказать, что все корни этого полинома вещественны.

При каких значениях $x$ функция $\dfrac {x}{1+x^{2}}$ возрастает?

При каких значениях $x$ функция $x^{3}(1-x)$ убывает?

Доказать, что функция $x^{n}e^{-x}$, где $n > 0$, возрастает при $0 < x < n$ и убывает при $x > n$.

Доказать, что при $0 < x < \pi$ функция $\dfrac {\sin x}{x}$ убывает.

Доказать, что при увеличении числа сторон периметр правильного вписанного многоугольника возрастает, а периметр описанного — убывает.

Доказать, с помощью теорем о возрастании функций, что $\left(1+\dfrac {1}{n}\right)^{n}$ возрастает при любых $n > 0$.

Пользуясь формулой Лагранжа доказать неравенство $n(b-a)a^{n-1} < b^{n}-a^{n} < n(b-a)b^{n-1}$ при $b > a > 0$, $n > 1$.

Пользуясь формулой Лагранжа доказать неравенство $\dfrac {x}{1+x} < \ln (1+x) < x$ при $x > 0$.

Пользуясь формулой Лагранжа доказать неравенство $e^{x} > 1+x$.

Пользуясь формулой Лагранжа доказать неравенство $e^{x} > ex$ при $x > 1$.

Пользуясь формулой Лагранжа доказать неравенство $x^{\delta }\left|\ln x\right| < \dfrac {1}{\delta e}$ при $0 < x < 1$, $\delta > 0$.

Доказать теорему: если при $x=0$ функции $\varphi (x), \varphi '(x), \ldots , \varphi^{(n-1)}(x)$ обращаются в нуль, а функция $\varphi^{(n)}(n)$ положительна при $x > 0$, то $\varphi (x) > 0$ при положительных $x$.

Доказать теорему: если

и $\varphi^{(n)}(x) > \psi^{(n)}(x)$ при $x > 0$, то при положительных $x$ справедливо неравенство $\varphi (x) > \psi (x)$.

Доказать неравенство $x-\dfrac {x^{3}}{6} < \sin x < x$, при $x > 0$.

Доказать неравенство $x-\dfrac {x^{3}}{3} < \arctg x < x$, при $x > 0$.

Доказать неравенство $\tg x > x+\dfrac {x^{3}}{3}$, при $0 < x < \dfrac {\pi }{2}$.

Доказать неравенство $x-\dfrac {x^{2}}{2} < \ln (1+x) < x$; $x > 0$.

Непосредственным возведением в квадрат доказать неравенства

Доказать, что при $0 < x < 1$ величина $e^{2x}$ меньше, чем $\dfrac {1+x}{1-x}$.

Доказать, что если $p_{n}$ — периметр правильного вписанного, а $P_{n}$ — правильного описанного многоугольника, то $\dfrac {2}{3}p_{n}+\dfrac {1}{3}P_{n}$ больше длины окружности.

Доказать, что у геометрической прогрессии с положительными слагаемыми сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, меньше суммы крайних членов.

У арифметической и геометрической прогрессий число членов и крайние члены соответственно одинаковы, а все члены прогрессий положительны. Показать, что у арифметической прогрессии сумма членов больше, чем у геометрической.

Числа $m_{1}, m_{2}, \ldots , m_{n}$ положительны, а точки

лежат на кривой $y = \varphi (x)$. Доказать, что если кривая выпукла вниз, то имеет место неравенство

Если же кривая выпукла вверх, то знак неравенства меняется на обратный.

Следующие задачи (1414--1418) сводятся к задаче 1413. Числа $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ в них положительны. Числа $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ предполагаются положительными и такими, что среди них имеются неодинаковые.

Доказать, что при $m > 1$ справедливо неравенство

где $\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots +\alpha_{n}=1$.

Доказать, что среднее арифметическое положительных чисел меньше среднего квадратичного тех же чисел, т.е. что

Доказать, что при $m > 1$ и положительных числах $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ справедливо неравенство

Если числа $\alpha$ и числа $x$ положительны и $\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots +\alpha_{n}=1$, то справедливо неравенство

В частности, среднее арифметическое положительных чисел больше среднего геометрического тех же чисел. Доказать.

При любых вещественных значениях коэффициентов $a_{\nu }$ и $b_{\nu }$, а также переменной $x$ имеет место очевидное неравенство

Исходя из него, получить неравенство Коши,

В следующих задачах (1419--1420) полезно применить преобразование координат.

Доказать, что на окружности $x^{2}+y^{2}=1$ выполняется неравенство

если кривая $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1$ есть эллипс с полуосями $a$ и $b$.

Поверхность $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz=1$ после соответственного поворота осей имеет уравнение $A_{1}x_{1}^{2}+B_{1}y_{1}^{2}+C_{1}z_{1}^{2}=1$, где $A_{1} < B_{1} < C_{1}$. Доказать неравенство

Найти максимум функции $y = 6x-x^{2}$.

Найти минимум функции $y = x^{2}-8x$.

Найти экстремальные значения функции $y = x^{3}-12x$.

Показать, что функция $y = x^{3}(8-x)$ имеет максимум при $x=6$ и не имеет экстремума при $x=0$.

Показать, что функция $y = x^{2}+\dfrac {1}{2}x^{2}\sin \dfrac {1}{x}$ имеет минимум при $x=0$, хотя первая производная при переходе $x$ через нуль не меняет знака ни с $-$ на $+$, ни с $+$ на $-$.

Найти экстремальные значения функции $y = x^{3}-3x^{2}+6x+7$.

Найти экстремальные значения функции $y = x^{3}-9x^{2}+15x-3$.

Найти экстремальные значения функции $y = a+(x-b)^{4}$.

Найти экстремальные значения функции $y = a+(x-b)^{3}$.

Найти экстремальные значения функции $y = x^{4}-8x^{3}+22x^{2}-24x+12$.

Найти экстремальные значения функции $y = x^{5}-5x^{4}+5x^{3}-1$.

Найти экстремальные значения функции $y = (x-4)^{4}(x+3)^{3}$.

Найти экстремальные значения функции $y = \dfrac {x}{1+x^{2}}$.

Найти экстремальные значения функции $y = x+\dfrac {1}{x}$.

Найти экстремальные значения функции $y = \dfrac {a^{2}}{x}+\dfrac {b^{2}}{a-x}$.

Найти экстремальные значения функции $y = \dfrac {x^{2}-7x+6}{x-10}$.

Найти экстремальные значения функции $y = \dfrac {x^{4}+1}{x^{2}}$.

Найти экстремальные значения функции $y = \dfrac {x^{2}}{x^{4}+4}$.

Найти экстремальные значения функции $y = x\ln x$.

Найти экстремальные значения функции $y = x^{2}\ln x$.

Найти экстремальные значения функции $y = x^{x}$.

Найти экстремальные значения функции $y = x\ln^{2} x$.

Найти экстремальные значения функции $y = x^{n}e^{-x}$, $n$ — положительное.

Найти экстремальные значения функции $y = x^{2}e^{-x^{2}}$.

Найти экстремальные значения функции $y = e^{x}+e^{-x}$.

Найти экстремальные значения функции $y = e^{-x}-e^{-2x}$.

Найти экстремальные значения функции $y = x^{3}\sqrt[3]{(x-1)^{2}}$ при $-2 \leq x \leq 2$.

Найти экстремальные значения функции $y = \ln x-\arctg x$.

Найти экстремальные значения функции $y = e^{x}\cos x$.

Найти экстремальные значения функции $y = \dfrac {\sin x}{1-a^{2}\cos^{2}x}$ при $a^{2} < 1$ (рассмотреть два случая: $2a^{2} > 1$ и $2a^{2} < 1$).

Найти экстремальные значения функции $y = \dfrac {\tg x}{\tg (x+a)}$ при $0 < a < \dfrac {\pi }{2}$.

Найти экстремальные значения функции $y = \dfrac {\tg^{3} x}{\tg 3x}$.

Найти экстремальные значения функции $y = \sin 3x-3\sin x$.

Найти экстремальные значения функции $y = \arcsin \sin x$.

Найти экстремальные значения функции $y$, заданной неявно уравнением $y^{2}+2yx^{2}+4x-3=0$.

Найти экстремальные значения функции $y$, заданной неявно уравнением $y^{2}+2yx^{2}-4x-3=0$.

Найти экстремальные значения функции $y$, заданной неявно уравнением $xy^{2}-x^{2}y=2a^{3}$.

Найти экстремальные значения функции $y$, заданной неявно уравнением $x^{2}+2xy+y^{2}-4x+2y-2=0$.

Найти экстремальные значения функции $y$, заданной неявно уравнением $x^{2}-2xy+5y^{2}-2x+4y+1=0$.

Найти экстремальные значения функции $y$, заданной неявно уравнением $x^{2}+4xy+4y^{2}+x+2y-1=0$.

Найти экстремальные значения функции $y$, заданной неявно уравнением $x^{3}+y^{3}-3axy=0$ при $a > 0$.

Найти экстремальные значения функции $y$, заданной неявно уравнением $x^{4}+y^{4}-4xy=0$.

Найти экстремальные значения функции $y$, заданной неявно уравнением $x^{4}+y^{4}=x^{2}+y^{2}$.

Построить график функции $y = x^{3}-3a^{2}x$.

Построить график функции $y = \dfrac {ax^{2}}{a^{2}+x^{2}}$.

Построить график функции $y = (x+1)^{2}(x-2)$.

Построить график функции $y = \dfrac {x-1}{x^{2}-3x-4}$.

Построить график функции $y = \dfrac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}$.

Построить график функции $y = Ae^{-x^{2}/a^{2}}$, $A > 0$.

Построить график функции $y = x^{n}e^{-x/a}$, $n > 0$, $a > 0$.

Построить график функции $y = x^{2}e^{-x^{2}/a^{2}}$.

Построить график функции $y = \dfrac {1}{x^{2}}-\dfrac {1}{(x-1)^{2}}$.

Построить график функции $y = \dfrac {x^{2}}{2}+\dfrac {1}{x}$.

Построить график функции $y = \dfrac {1}{x}+\dfrac {2x}{x^{2}-1}$.

Построить график функции $y = \dfrac {2x-1}{(x-1)^{2}}$.

Построить график функции $y = \dfrac {x^{2}+1}{x^{2}-4x+3}$.

Построить график функции $y = \pm \sqrt{\dfrac {x-1}{x+1}}$.

Построить график функции $y = \dfrac {10\sqrt[3]{(x-1)^{2}}}{x^{2}+9}$.

Построить график функции, заданной уравнением $2y = \sqrt{x^{2}+x+1}+\sqrt{x^{2}-x+1}$.

Построить график функции $y = \sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{x^{2}-x+1}$.

Построить график функции, заданной уравнением $y = \pm x^{2}\sqrt{x+1}$.

Построить график функции $y = (x+1)^{3}\sqrt[3]{x^{2}}$.

Построить график функции $y = \sqrt[3]{(x+1)^{2}}+\sqrt[3]{(x-1)^{2}}$.

Построить график функции $y = \sqrt[3]{(x+1)^{2}}-\sqrt[3]{(x-1)^{2}}$.

Построить график функции $y = \sqrt{x^{2}+1}-\sqrt{x^{2}-1}$.

Построить график функции, заданной уравнением $y = \pm \dfrac {x}{\sqrt{x+1}}$.

Построить график функции, заданной уравнением $y = \pm \sqrt{\dfrac {1-x}{x}}$.

Построить график функции, заданной уравнением $y = \pm \dfrac {x}{\sqrt{1-x^{2}}}$.

Построить график функции, заданной уравнением $y = \pm \dfrac {x\sqrt{1-x}}{1+x}$.

Построить график функции, заданной уравнением $ay = \pm x\sqrt{x(a-x)}$, $a > 0$.

Построить график функции, заданной уравнением $y^{2} = x^{3}+px+q$ при $4p^{3}+27q^{2} > 0$.

Построить график функции, заданной уравнением $y^{2} = x^{3}+px+q$ при $4p^{3}+27q^{2} < 0$.

Построить график функции, заданной уравнением $y^{2} = x^{3}+px+q$ при $4p^{3}+27q^{2} = 0$.

Построить график функции $y = \cos^{3}x+\sin^{3}x$.

Построить график функции $y = \cos^{4}x+\sin^{4}x$.

Построить график функции $y = \cos x+\dfrac {1}{2}\cos 2x+\dfrac {1}{3}\cos 3x$.

Построить график функции $y = \sin x+\dfrac {1}{2}\sin 2x+\dfrac {1}{3}\sin 3x$.

Построить график функции $y = \dfrac {\cos 2x}{\cos x}$.

Построить график функции $y = \dfrac {\tg 3x}{\tg x}$.

Построить график функции $y = \dfrac {\sin x}{x}$.

Построить график функции $y = \sin x^{2}$.

Построить график функции $y = x\ln x$.

Построить график функции $y = x^{2}\ln x$.

Построить график функции $y = \ln (x^{2}-1)$.

Построить график функции $y = \dfrac {1}{2}\ln \dfrac {1+x}{1-x}$.

Построить график функции $y = (1+x)^{1/x}$ при $x \geq -1$.

Определить число вещественных корней уравнения $12x^{4}-14x^{3}-3x^{2}-5=0$.

Определить число вещественных корней уравнения $x^{4}-4ax^{3}-2=0$.

Определить число вещественных корней уравнения $2x^{3}-3ax^{2}+1=0$.

Определить число вещественных корней уравнения $x\ln x=a$.

Определить число вещественных корней уравнения $\ln x=ax$.

Доказать, что уравнение $x^{3}+px+q=0$ при вещественных $p$ и $q$ имеет один вещественный корень при $4p^{3}+27q^{2} > 0$ и три вещественных корня при $4p^{3}+27q^{2} < 0$.

Доказать, что при $a > 1$ уравнение $a^{x}=bx$ имеет два вещественных корня при $b > e\ln a$, не имеет ни одного вещественного корня при $e\ln a > b > 0$ и имеет один корень при $b < 0$.

Определить, при каком значении параметра $m$ уравнение $3x^{4}+4x^{3}-6x^{2}-12x+m=0$ имеет два различных корня.

Определить, при каком значении параметра $m$ уравнение $2x^{3}-13x^{2}-20x+m=0$ имеет один корень.

Определить, при каком значении параметра $m$ уравнение $3x^{4}-14x^{3}-45x^{2}+m=0$ имеет четыре различных корня.

Определить, при каком значении параметра $m$ уравнение $2x^{3}-4x^{2}-30x+m=0$ имеет два совпадающих корня и один простой.

Определить, при каком значении параметра $m$ уравнение $x^{2}+x+e^{-x}+m=0$ имеет два совпадающих корня.

Определить, при каком значении параметра $m$ уравнение $x^{2}-x-\ln x+m=0$ не имеет ни одного корня.

Определить, при каком значении параметра $m$ уравнение $6\arctg x-x^{3}+m=0$ имеет три корня, из которых два совпадающих.

Определить наибольшую площадь прямоугольника с периметром $4a$.

Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса $a$.

Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в сегмент круга радиуса $a$, если центральный угол, замыкаемый сегментом, равен $2\alpha$.

Определить наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в параболический сегмент, ограниченный параболой $y^{2}=2px$ и прямой $x=\dfrac {m^{2}}{2p}$.

Определить наибольшую площадь прямоугольника, у которого одна сторона лежит на основании $a$ данного треугольника, а две вершины — на боковых сторонах треугольника, если треугольник имеет высоту $h$.

По углам прямоугольной пластинки со сторонами $a$ и $b$ вырезаны четыре равных квадрата. Из оставшейся крестообразной фигуры образована коробочка, высота которой равна стороне квадрата. Найти длину стороны вырезаемого квадрата, при которой получается наибольший объем коробочки.

Поперечное сечение бревна есть круг радиуса $a$. Из бревна вытесывается брус с прямоугольным поперечным сечением. Прочность бруса пропорциональна основанию и квадрату высоты поперечного сечения. Найти форму поперечного сечения, при которой брус имеет наибольшую прочность.

Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного симметрично в сектор круга радиуса $a$ с центральным углом $2\alpha$.

Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в шар радиуса $a$.

Найти наибольший объем цилиндра, у которого периметр осевого сечения равен $6m$.

Найти наибольшую боковую поверхность цилиндра, вписанного в шар радиуса $a$.

Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в данный конус.

Найти наибольший объем цилиндра, вписанного в сегмент параболоида $az=x^{2}+y^{2}$, $a > 0$, ограниченный плоскостью $z=h>0$.

Найти наибольший объем конуса, вписанного в шар радиуса $a$.

Найти наименьший объем конуса, описанного около полушара радиуса $a$.

Найти наименьший объем конуса, описанного около шара радиуса $a$.

Найти наибольший объем цилиндра, ось которого проходит по диагонали куба с ребром $a$, а основания которого касаются граней куба.

Найти наибольший объем цилиндра, ось которого пересекает под прямым углом ось данного цилиндра с радиусом $a$, а основания которого касаются боковой поверхности данного цилиндра.

Найти наибольший объем конуса с данной образующей $l$.

Из сектора круга данного радиуса свертывается коническая воронка. При каком центральном угле она имеет наибольший объем?

Найти наименьшую боковую поверхность конуса, имеющего данный объем $V$.

Периметр равнобедренного треугольника равен $2p$. Какими должны быть его стороны, чтобы объем тела, полученного от вращения этого треугольника вокруг его основания, был наибольшим.

Цилиндр завершен сверху полушаром того же радиуса. Дан объем всего тела $V$. При каком радиусе полная поверхность тела будет наименьшей?

Точки равномерно движутся по осям координат со скоростями $v_{1}$ и $v_{2}$. В начальный момент они занимали положения $(a, 0)$ и $(0, b)$. Найти кратчайшее расстояние между точками.

Найти кратчайшее расстояние от точки $(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ до точек прямой

Точка перемещается в среде I со скоростью $v_{1}$, а в среде II со скоростью $v_{2}$. Линия раздела сред прямолинейна. Доказать, что перемещение движущейся точки из точки $A$ в одной среде в точку $B$ в другой среде совершается в кратчайшее время при условии, что путь состоит из прямолинейных отрезков $AC$ и $CB$, где $C$ — на границе двух сред, причем $\dfrac {\cos \varphi_{1}}{\cos \varphi_{2}} = \dfrac {v_{1}}{v_{2}}$, где $\varphi_{1}$ и $\varphi_{2}$ — углы, образованные прямыми $AC$ и $CB$ с линией раздела.

Точка движется по плоскости со скоростью $v_{1}$, а попав на ось $Ox$, может двигаться со скоростью $v_{2} > v_{2}$. Найти скорейший путь из точки $A(0, a)$ в точку $B(b, 0)$.

От канала шириной $a$ под прямым углом к нему отходит канал шириной $b$. Стенки каналов прямолинейны вплоть до вершины угла. Найти наибольшую длину бревна $l$, которое можно сплавлять по этим каналам из одного в другой.

Рычаг второго рода имеет точку опоры на одном конце и уравновешивается силой $f$ на другом конце. При этом на расстоянии $a$ от точки опоры подвешен груз $p$, а вес единицы длины рычага равен $m$. Определить длину рычага $x$ так, чтобы сила $f$ была наименьшей.

Из точек $A$ и $A_{1}$ по прямым $AO$ и $A_{1}O$ по направлению к точке $O$ выходят одновременно два тела со скоростями $v$ и $v_{1}$. При этом $AO = l$, $A_{1}O = l_{1}$, а угол между $AO$ и $A_{1}O$ равен $\alpha$. Когда расстояние между телами наименьшее?

Чашка имеет форму полушара радиусом $a$. В нее опущен стержень длины $l > 2a$. При каком положении стержня его середина находится ниже всего (положение равновесия)?

Стержень длиной $2b$ опирается концами на две прямые в вертикальной плоскости, наклоненные к горизонту под углами $\alpha$ и $\beta$. При каком положении стержня его середина находится выше всего?

Светящаяся точка находится на линии двух шаров. При каком ее положении сумма освещенных частей поверхностей шаров будет наибольшая?

Яркость освещения выражается формулой $f = \dfrac {m\sin \varphi }{r^{2}}$, где $\varphi$ — угол наклона лучей, $r$ — расстояние от площадки до источника света, $m$ — постоянная (сила источника света). На какой высоте $h$ надо поместить фонарь на столбе, чтобы освещение горизонтальной площадки на расстоянии $a$ от столба было наибольшим?

Сосуд с вертикальной стенкой высотой $h$ стоит на горизонтальной плоскости. Из отверстия в стенке бьет струя. Определить положение отверстия, при котором дальность струи наибольшая, если скорость вытекающей жидкости по закону Торричелли равна $\sqrt{2gx}$, где $x$ — глубина отверстия.