4.6

Разложение в ряды

[43/0%]
LaTeX
Задача 1646

Непосредственным делением, расположив многочлены по возрастающим степеням переменной xx, доказать разложения в ряды:

?
(а)

1a−bx=1a+bxa2+b2x2a3+…\dfrac {1}{a-bx} = \dfrac {1}{a}+\dfrac {bx}{a^{2}}+\dfrac {b^{2}x^{2}}{a^{3}}+\ldots;

(б)

1a+bx=1a−bxa2+b2x2a3−…\dfrac {1}{a+bx} = \dfrac {1}{a}-\dfrac {bx}{a^{2}}+\dfrac {b^{2}x^{2}}{a^{3}}-\ldots, (∣x∣<∣ab∣)\left(\left|x\right| < \left|\dfrac {a}{b}\right|\right).

Задача 1647

Пользуясь тождеством 5−2x6−5x+x2=12−x+13−x\dfrac {5-2x}{6-5x+x^{2}} = \dfrac {1}{2-x}+\dfrac {1}{3-x}, доказать разложение в ряд:

5−2x6−5x+x2=56+1336x+35216x2+…+(12n+13n)xn−1+…,∣x∣<2. \frac{5-2x}{6-5x+x^{2}} = \frac{5}{6}+\frac{13}{36}x+\frac{35}{216}x^{2}+\ldots +\left(\frac{1}{2^{n}}+\frac{1}{3^{n}}\right)x^{n-1}+\ldots , \quad \left|x\right| < 2.
?
Задача 1648

Предполагая законным разложение в ряд

11−x−x2=a0+a1x+a2x2+a3x3+… \frac{1}{1-x-x^{2}} = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots

и умножая обе части равенства на 1−x−x21-x-x^{2}, доказать, что a0=1a_{0}=1, a1=1a_{1}=1, a2=2a_{2}=2, a3=3a_{3}=3, a4=5,…a_{4}=5, \ldots и вообще a0,a1,a2,…a_{0}, a_{1}, a_{2}, \ldots — числа Фибоначчи, определяемые равенствами an=an−1+an−2a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2} при n≥2n \geq 2, a0=1a_{0}=1, a1=1a_{1}=1.

?
Задача 1649

Воспользовавшись тождеством

11−x−x2=15(15+12+x+15−12−x), \frac{1}{1-x-x^{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1}{\frac{\sqrt{5}+1}{2}+x}+\frac{1}{\frac{\sqrt{5}-1}{2}-x}\right),

найти формулу, дающую общий член ana_{n} ряда Фибоначчи.

?
Задача 1650

Доказать, что в разложении в ряд дроби

a+bx+cx2A+Bx+Cx2+Dx3=a0+a1x+a2x2+a3x3+…, \frac{a+bx+cx^{2}}{A+Bx+Cx^{2}+Dx^{3}} = a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\ldots ,

имеющем место при A≠0A \neq 0 и при достаточно малых значениях ∣x∣\left|x\right|, между коэффициентами ana_{n} существует соотношение: Aan+Ban−1+Can−2+Dan−3=0Aa_{n}+Ba_{n-1}+Ca_{n-2}+Da_{n-3}=0; n>2n > 2.

?
Задача 1651

Разложить по степеням x−2x-2 полином x4−5x3+5x2+x+2x^{4}-5x^{3}+5x^{2}+x+2.

?
Задача 1652

Разложить по степеням x+1x+1 полином x5+2x4−x2+x+1x^{5}+2x^{4}-x^{2}+x+1.

?
Задача 1653

Доказать равенства:

sin⁡(a+x)=sin⁡acos⁡+cos⁡asin⁡x, \sin (a+x) = \sin a \cos +\cos a \sin x, cos⁡(a+x)=cos⁡acos⁡x−sin⁡asin⁡x, \cos (a+x) = \cos a \cos x-\sin a \sin x,

разложив левые части по степеням xx.

?
Задача 1654

В разложении для ln⁡(1+x)\ln (1+x) заменить xx на −x-x, исходя из рядов для ln⁡(1+x)\ln (1+x) и ln⁡(1−x)\ln (1-x), получить ряд Грегори:

ln⁡1+x1−x=2(x+x33+x55+…),∣x∣<1. \ln \frac{1+x}{1-x} = 2\left(x+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+\ldots \right), \quad \left|x\right| < 1.
?
Задача 1655

Получить равенство

ln⁡(N+1)−ln⁡N=2(12N+1+13(2N+1)3+15(2N+1)5+…),N>0. \ln (N+1)-\ln N = 2\left(\frac{1}{2N+1}+\frac{1}{3(2N+1)^{3}}+\frac{1}{5(2N+1)^{5}}+\ldots \right), \quad N > 0.
?
Задача 1656

Из ряда для exe^{x} получить разложение для e−xe^{-x}, а также разложения:

ch⁡x≡ex+e−x2=1+x22!+x44!+…, \ch x \equiv \frac{e^{x}+e^{-x}}{2} = 1+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}+\ldots , sh⁡x≡ex−e−x2=x+x33!+x55!+…, \sh x \equiv \frac{e^{x}-e^{-x}}{2} = x+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}+\ldots ,

годные при всяком xx.

?
Задача 1657

Пользуясь формулой Эйлера eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix} = \cos x+i\sin x, найти сумму 1+cos⁡x+cos⁡2x+…+cos⁡(n−1)x1+\cos x+\cos 2x+\ldots +\cos (n-1)x.

?
Задача 1658

Пользуясь формулой Эйлера eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix} = \cos x+i\sin x, найти сумму cos⁡x+cos⁡3x+cos⁡5x+…+cos⁡(2n−1)x\cos x+\cos 3x+\cos 5x+\ldots +\cos (2n-1)x.

?
Задача 1659

Пользуясь формулой Эйлера eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix} = \cos x+i\sin x, найти сумму sin⁡x+sin⁡2x+sin⁡3x+…+sin⁡nx\sin x+\sin 2x+\sin 3x+\ldots +\sin nx.

?
Задача 1660

Пользуясь формулой Эйлера eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix} = \cos x+i\sin x, найти сумму sin⁡x−sin⁡2x+…−sin⁡2nx\sin x-\sin 2x+\ldots -\sin 2nx.

?
Задача 1661

Пользуясь формулой Эйлера eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix} = \cos x+i\sin x, найти сумму sin⁡2x−sin⁡23x+sin⁡25x−…+(−1)n−1sin⁡2(2n−1)x\sin^{2}x-\sin^{2}3x+\sin^{2}5x-\ldots +(-1)^{n-1}\sin^{2}(2n-1)x.

?
Задача 1662

Пользуясь формулой Эйлера eix=cos⁡x+isin⁡xe^{ix} = \cos x+i\sin x, найти сумму xsin⁡a+x2sin⁡2a+…+xn−1sin⁡(n−1)xx\sin a+x^{2}\sin 2a+\ldots +x^{n-1}\sin (n-1)x.

?
Задача 1663

Доказать равенство

∑n=0∞x4n(4n)!=14(ex+e−x+2cos⁡x). \sum _{n=0}^{\infty } \frac{x^{4n}}{(4n)!} = \frac{1}{4}(e^{x}+e^{-x}+2\cos x).
?
Задача 1664

Доказать равенство

∑n=0∞x3n(3n)!=13(ex+2e−x/2cos⁡x32). \sum _{n=0}^{\infty } \frac{x^{3n}}{(3n)!} = \frac{1}{3}\left(e^{x}+2e^{-x/2}\cos \frac{x\sqrt{3}}{2}\right).
?
Задача 1665

Доказать равенство

excos⁡x=∑n=0∞2n/2cos⁡πn4n!xn. e^{x}\cos x = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{2^{n/2}\cos \frac{\pi n}{4}}{n!}x^{n}.

Здесь, как и в других случаях, считается, что 0!=10! = 1.

?
Задача 1666

Доказать равенство

ch⁡x⋅cos⁡x=∑n=0∞(−1)n22nx4n(4n)!. \ch x \cdot \cos x = \sum _{n=0}^{\infty } (-1)^{n}\frac{2^{2n}x^{4n}}{(4n)!}.
?
Задача 1667

Доказать равенство

exctg⁡acos⁡x=∑n=0∞cos⁡nasin⁡na⋅xnn!. e^{x\ctg a}\cos x = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{\cos na}{\sin ^{n}a} \cdot \frac{x^{n}}{n!}.
?
Задача 1668

Доказать равенство

(1+x2)m/2sin⁡(marctg⁡x)=∑ν=0∞(−1)νm(m−1)…(m−2ν)(2ν+1)!x2ν+1,∣x∣<1. (1+x^{2})^{m/2}\sin (m\arctg x) = \sum _{\nu =0}^{\infty } (-1)^{\nu }\frac{m(m-1)\ldots (m-2\nu )}{(2\nu +1)!}x^{2\nu +1}, \quad \left|x\right| < 1.
?
Задача 1669

Доказать равенство

(1+x2)−m/2cos⁡(marctg⁡x)=∑ν=0∞(−1)νm(m+1)…(m+2ν−1)(2ν)!x2ν,∣x∣<1. (1+x^{2})^{-m/2}\cos (m\arctg x) = \sum _{\nu =0}^{\infty } (-1)^{\nu }\frac{m(m+1)\ldots (m+2\nu -1)}{(2\nu )!}x^{2\nu }, \quad \left|x\right| < 1.
?
Задача 1670

Применив формулу Лагранжа к φ(x)−φ(π)\varphi (x)-\varphi (\pi ), где

φ(x)=x2+sin⁡x1+sin⁡2x2+…+sin⁡nxn+cos⁡(n+12)x(2n+1)sin⁡x2, \varphi (x) = \frac{x}{2}+\frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 2x}{2}+\ldots +\frac{\sin nx}{n}+\frac{\cos \left(n+\frac{1}{2}\right)x}{(2n+1)\sin \frac{x}{2}},

доказать, что при 0<x<2π0 < x < 2\pi имеет место равенство

sin⁡x1+sin⁡2x2+…+sin⁡nxn+…=π−x2. \frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 2x}{2}+\ldots +\frac{\sin nx}{n}+\ldots = \frac{\pi -x}{2}.
?
Задача 1671

Применив формулу Лагранжа к φ(x)−φ(π2)\varphi (x)-\varphi \left(\dfrac {\pi }{2}\right), где

φ(x)=sin⁡x1+sin⁡3x3+…+sin⁡(2n−1)x2n−1+cos⁡2nx4nsin⁡x, \varphi (x) = \frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 3x}{3}+\ldots +\frac{\sin (2n-1)x}{2n-1}+\frac{\cos 2nx}{4n\sin x},

доказать, что при 0<x<π0 < x < \pi имеет место равенство

sin⁡x1+sin⁡3x3+sin⁡5x5+…+sin⁡(2n−1)x2n−1+…=π4. \frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 5x}{5}+\ldots +\frac{\sin (2n-1)x}{2n-1}+\ldots = \frac{\pi }{4}.
?
Задача 1672

Пользуясь биномом Ньютона, получить разложение

11−x2=1+12x2+1⋅32⋅4x4+1⋅3⋅52⋅4⋅6x6+…,∣x∣<1. \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} = 1+\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}x^{4}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}x^{6}+\ldots , \quad \left|x\right| < 1.
?
Задача 1673

Доказать, что при ∣x∣<1\left|x\right| < 1 справедливы равенства:

1(1−x)2=1+2x+3x2+4x3+…=∑n=0∞(n+1)xn, \frac{1}{(1-x)^{2}} = 1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\ldots = \sum _{n=0}^{\infty } (n+1)x^{n}, 1(1−x)3=1+3x+6x2+10x3+…=∑n=0∞(n+1)(n+2)2xn. \frac{1}{(1-x)^{3}} = 1+3x+6x^{2}+10x^{3}+\ldots = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{(n+1)(n+2)}{2}x^{n}.
?
Задача 1674

Доказать равенство:

1a2+x2=1a−12x2a3+1⋅32⋅4x4a5−1⋅3⋅52⋅4⋅6x6a7+…,∣x∣<a. \frac{1}{\sqrt{a^{2}+x^{2}}} = \frac{1}{a}-\frac{1}{2}\frac{x^{2}}{a^{3}}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\frac{x^{4}}{a^{5}}-\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\frac{x^{6}}{a^{7}}+\ldots , \quad \left|x\right| < a.
?
Задача 1675

Доказать равенство:

(a+x)n=an+nxan−1+n(n−1)1⋅2x2an−2+…,∣x∣<a. (a+x)^{n} = a^{n}+nxa^{n-1}+\frac{n(n-1)}{1 \cdot 2}x^{2}a^{n-2}+\ldots , \quad \left|x\right| < a.
?
Задача 1676

Разложить по степеням xx функцию 1+x\sqrt{1+x}.

?
Задача 1677

Разложить по степеням xx функцию ln⁡a+xa−x\ln \dfrac {a+x}{a-x}.

?
Задача 1678

Разложить по степеням xx функцию ln⁡(1−x+x2)\ln (1-x+x^{2}).

?
Задача 1679

Разложить по степеням xx функцию ln⁡(2−3x+x2)\ln (2-3x+x^{2}).

?
Задача 1680

Разложить по степеням xx функцию (1+x)2xln⁡(1+x)\dfrac {(1+x)^{2}}{x}\ln (1+x).

?
Задача 1681

Доказать равенство

ln⁡(1−2xcos⁡φ+x2)=−2∑n=1∞cos⁡nφnxn,∣x∣<1. \ln (1-2x\cos \varphi +x^{2}) = -2\sum _{n=1}^{\infty } \frac{\cos n\varphi }{n}x^{n}, \quad \left|x\right| < 1.
?
Задача 1682

Проверить, что

1−acos⁡x1−2acos⁡x+a2=∑n=0∞ancos⁡nx,∣a∣<1. \frac{1-a\cos x}{1-2a\cos x+a^{2}} = \sum _{n=0}^{\infty } a^{n}\cos nx, \quad \left|a\right| < 1.
?
Задача 1683

Проверить, что

asin⁡x1−2acos⁡x+a2=∑n=1∞ansin⁡nx,∣a∣<1. \frac{a\sin x}{1-2a\cos x+a^{2}} = \sum _{n=1}^{\infty } a^{n}\sin nx, \quad \left|a\right| < 1.
?
Задача 1684

С помощью подходящей замены переменной получить разложение в ряд:

ln⁡x+1x−1=2(1x+13x3+15x5+…),∣x∣>1. \ln \frac{x+1}{x-1} = 2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{3x^{3}}+\frac{1}{5x^{5}}+\ldots \right), \quad \left|x\right| > 1.
?
Задача 1685

С помощью подходящей замены переменной получить разложение в ряд:

ln⁡x=2(x−1x+1+13(x−1x+1)3+15(x−1x+1)5+…),x>0. \ln x = 2\left(\frac{x-1}{x+1}+\frac{1}{3}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{3}+\frac{1}{5}\left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{5}+\ldots \right), \quad x > 0.
?
Задача 1686

С помощью подходящей замены переменной получить разложение в ряд:

x1+x=xx+1+12(xx+1)2+1⋅32⋅4(xx+1)3+…,x>−12. \frac{x}{\sqrt{1+x}} = \frac{x}{x+1}+\frac{1}{2}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{2}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{3}+\ldots , \quad x > -\frac{1}{2}.
?
Задача 1687

Получить разложение в ряд:

ln⁡(x+1+x2)=∑n=0∞(−1)n1⋅3⋅…⋅(2n−1)2⋅4⋅…⋅2nx2n+12n+1,∣x∣<1. \ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right) = \sum _{n=0}^{\infty } (-1)^{n}\frac{1 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot (2n-1)}{2 \cdot 4 \cdot \ldots \cdot 2n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}, \quad \left|x\right| < 1.
?
Задача 1688

Получить разложение в ряд:

ln⁡2(1−1−x)x=12⋅x2+1⋅32⋅4x24+1⋅3⋅52⋅4⋅6x36+1⋅3⋅5⋅72⋅4⋅6⋅8x48+…,∣x∣<1. \ln \frac{2\left(1-\sqrt{1-x}\right)}{x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x}{2}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4}\frac{x^{2}}{4}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6}\frac{x^{3}}{6}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}\frac{x^{4}}{8}+\ldots , \quad \left|x\right| < 1.
?