Банк задач по математике

Задача 1689

Найти сумму ряда $s = 1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\ldots$ , воспользовавшись равенством:

\begin{aligned} s = {} & 1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+\ldots + \\ {} & +x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+\ldots + \\ {} & +x^{2}+x^{3}+x^{4}+x^{5}+\ldots + \\ {} & +x^{3}+x^{4}+x^{5}+\ldots + \\ {} & +x^{4}+x^{5}+\ldots + \\ {} & +x^{5}+\ldots + \end{aligned}

?

Задача 1690

Найти сумму ряда $s = 1+3x+5x^{2}+7x^{3}+\ldots$ , составив произведения $xs$ и $x^{2}s$ .

?

Задача 1691

Заметив, что коэффициенты ряда

1+4x+9x^{2}+16x^{3}+25x^{4}+\ldots

связаны соотношением: $a_{n+2}-2a_{n+1}+a_{n}=2$ , где $a_{n}$ — коэффициент при $x^{n}$ , найти сумму ряда умножением ее на $1-2x+x^{2}$ .

?

Задача 1692

У ряда

1+x+2x^{2}+4x^{3}+7x^{4}+13x^{5}+24x^{6}+\ldots

каждый следующий коэффициент равен сумме трех предыдущих. Найти сумму ряда.

?

Задача 1693

Перемножить два ряда: $s = 1+2x+3x^{2}+4x^{3}+\ldots$ и $s_{1} = 1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\ldots$ .

?

Задача 1694

Непосредственным умножением доказать, что

(1+x)s_{m}(x) = s_{m+1}(x),

где $s_{m} = 1+mx+\dfrac {m(m-1)}{1 \cdot 2}x^{2}+\dfrac {m(m-1)(m-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}x^{3}+\ldots$ .

?

Задача 1695

Перемножением рядов доказать равенство

\left(1+x+\frac{x^{2}}{1 \cdot 2}+\frac{x^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots \right) \times \left(1+\frac{y}{1}+\frac{y^{2}}{1 \cdot 2}+\frac{y^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots \right) = 1+\frac{(x+y)}{1}+\frac{(x+y)^{2}}{1 \cdot 2}+\frac{(x+y)^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots

?

Задача 1696

Доказать равенства:

\frac{\ln (1+x)}{1+x} = x-\left(1+\frac{1}{2}\right)x^{2}+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)x^{3}-\ldots , \quad \left|x\right| < 1,

\frac{1}{2x(1-x^{2})}\ln \frac{1+x}{1-x} = 1+\left(1+\frac{1}{3}\right)x^{2}+\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)x^{4}+\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}\right)x^{6}+\ldots , \quad \left|x\right| < 1.

?

Задача 1697

Непосредственным суммированием найти $S_{n}$ и проверить, что при $\left|x\right| < 1$

\frac{x}{1+x}+\frac{2x^{2}}{1+x^{2}}+\frac{4x^{4}}{1+x^{4}}+\frac{8x^{8}}{1+x^{8}}+\ldots = \frac{x}{1-x},

\frac{x}{1-x^{2}}+\frac{x^{2}}{1-x^{4}}+\frac{x^{4}}{1-x^{8}}+\frac{x^{8}}{1-x^{16}}+\ldots = \frac{x}{1-x}.

?

Задача 1698

Для ряда Моргана

\frac{x}{1+x^{2}}+\frac{x}{1+x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{1+x^{4}}+\frac{x}{1+x^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{1+x^{4}} \cdot \frac{x^{4}}{1+x^{8}}+\ldots

можно (при $\left|x\right| \neq 1$ ) получить

S_{n} = x\frac{1-x^{2^{n+2}-2}}{1-x^{2^{n+1}}}

и потому ряд всегда сходится, но

S = \begin{cases} x, & \text{если } \left|x\right| \leq 1, \\ \dfrac {1}{x}, & \text{если } \left|x\right| \geq 1. \end{cases}

Доказать это.

?

Задача 1699

Найти прямым дифференцированием производную от ряда $x-\dfrac {x^{2}}{2}+\dfrac {x^{3}}{3}-\dfrac {x^{4}}{4}+\ldots$ , $\left|x\right| < 1$ .

?

Задача 1700

Найти прямым дифференцированием производную от ряда $x-\dfrac {x^{3}}{3}+\dfrac {x^{5}}{5}-\dfrac {x^{7}}{7}+\ldots$ , $\left|x\right| < 1$ .

?

Задача 1701

Найти прямым дифференцированием производную от ряда $x-\dfrac {x^{3}}{3!}+\dfrac {x^{5}}{5!}-\dfrac {x^{7}}{7!}+\ldots$ .

?

Задача 1702

Найти прямым дифференцированием производную от ряда $1+x+\dfrac {x^{2}}{1 \cdot 2}+\dfrac {x^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\dfrac {x^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\ldots$ .

?

Задача 1703

Проверить, что

\lim _{n \to \infty } \cos \frac{x}{2} \cdot \cos \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{8} \ldots \cos \frac{x}{2^{n}} = \frac{\sin x}{x}

и отсюда получить:

\frac{1}{2}\tg \frac{x}{2}+\frac{1}{4}\tg \frac{x}{4}+\frac{1}{8}\tg \frac{x}{8}+\ldots = \frac{1}{x}-\ctg x

и

\sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{2^{2n}\cos ^{2}\frac{x}{2^{n}}} = \frac{1}{\sin ^{2}x}-\frac{1}{x^{2}}.

?

Задача 1704

Доказать, что сумма гипергеометрического ряда Гаусса

F(\alpha , \beta , \gamma , x) = 1+\frac{\alpha \beta }{1 \cdot \gamma }x+\frac{\alpha (\alpha +1)}{1 \cdot 2} \cdot \frac{\beta (\beta +1)}{\gamma (\gamma +1)}x^{2}+\ldots , \quad \left|x\right| < 1,

удовлетворяет уравнению

x(x-1)y''+\left(-\gamma +(1+\alpha +\beta )x\right)y'+\alpha \beta y = 0,

где

y = F(\alpha , \beta , \gamma , x).

?

Задача 1705

Функция Бесселя $J_{0}(x)$ определяется рядом

J_{0}(x) = 1-\frac{x^{2}}{2^{2}}+\frac{x^{4}}{2^{2} \cdot 4^{2}}-\frac{x^{6}}{2^{2} \cdot 4^{2} \cdot 6^{2}}+\ldots

Доказать, что она удовлетворяет дифференциальному уравнению

xy''+y'+xy = 0.

?

Задача 1706

Доказать, что

y = 1-\frac{x^{3}}{2 \cdot 3}+\frac{x^{6}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6}-\frac{x^{9}}{2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 9}+\ldots

удовлетворяет дифференциальному уравнению

y''+xy = 0.

?

Задача 1707

Составив для соответствующей функции дифференциальное уравнение, доказать разложение в ряд при $\left|x\right| < 1$ :

\frac{1}{2}\left(\frac{\ln (1+x)}{x}\right)^{2} = \frac{1}{2}-\left(1+\frac{1}{2}\right)\frac{x}{3}+\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\frac{x^{2}}{4}-\ldots

?

Задача 1708

Составив для соответствующей функции дифференциальное уравнение, доказать разложение в ряд при $\left|x\right| < 1$ :

\left(\frac{\arctg x}{x}\right)^{2} = 1-\left(1+\frac{1}{3}\right)\frac{x^{2}}{2}+\left(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)\frac{x^{4}}{3}-\ldots

?

Задача 1709

Составив для соответствующей функции дифференциальное уравнение, доказать разложение в ряд при $\left|x\right| < 1$ :

\frac{1}{2}\arctg x \cdot \ln (1+x^{2}) = \left(1+\frac{1}{2}\right)\frac{x^{3}}{3}-\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\frac{x^{5}}{5}+\ldots

?

Задача 1710

Доказать разложение в ряд:

\sin (\mu \arcsin x) = \frac{\mu }{1}x-\frac{\mu (\mu ^{2}-1)}{3!}x^{3}+\frac{\mu (\mu ^{2}-1)(\mu ^{2}-3^{2})}{5!}x^{5}-\ldots

?

Задача 1711

Доказать разложение в ряд:

\cos (\mu \arcsin x) = 1-\frac{\mu ^{2}}{1 \cdot 2}x^{2}+\frac{\mu ^{2}(\mu ^{2}-2^{2})}{4!}x^{4}-\ldots

?

Задача 1712

Доказать, что $\cos (\mu \arccos x) = A\sin \dfrac {\mu \pi }{2}+B\cos \dfrac {\mu \pi }{2}$ , где $A$ и $B$ — ряды двух предыдущих задач (1710 и 1711).

?

Задача 1713

Доказать разложение в ряд:

e^{m\arcsin x} = 1+mx+\sum _{\nu =1}^{\infty } \frac{m(m^{2}+1^{2})(m^{2}+3^{2})\ldots (m^{2}+(2\nu -1)^{2})}{(2\nu +1)!}x^{2\nu +1}+\sum _{\nu =0}^{\infty } \frac{m^{2}(m^{2}+2^{2})(m^{2}+4^{2})\ldots (m^{2}+4\nu ^{2})}{(2\nu +2)!}x^{2\nu +2}.

?

Задача 1714

Из задачи 1713 ( $e^{m\arcsin x} = 1+mx+\sum_{\nu =1}^{\infty } \frac{m(m^{2}+1^{2})(m^{2}+3^{2})\ldots (m^{2}+(2\nu -1)^{2})}{(2\nu +1)!}x^{2\nu +1}+\sum_{\nu =0}^{\infty } \frac{m^{2}(m^{2}+2^{2})(m^{2}+4^{2})\ldots (m^{2}+4\nu^{2})}{(2\nu +2)!}x^{2\nu +2}$ ) получить

\arcsin x = 2\sum _{n=0}^{\infty } \frac{(2n)!}{(n!)^{2} \cdot (2n+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+1};

(\arcsin x)^{2} = \frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\infty } \frac{((n-1)!)^{2}}{(2n)!}(2x)^{(2n)}.

?

Задача 1715

Разложив двумя способами $e^{e^{x}}$ , проверить, что

\frac{1^{3}}{1}+\frac{2^{3}}{2!}+\frac{3^{3}}{3!}+\frac{4^{3}}{4!}+\ldots = 5e,

\frac{1^{4}}{1}+\frac{2^{4}}{2!}+\frac{3^{4}}{3!}+\frac{4^{4}}{4!}+\ldots = 15e.

?

Задача 1716

Замечая, что $\sec x$ — четная функция, можем заключить, что разложение $\sec x$ имеет вид

\sec x = \sum _{n=0}^{\infty } \frac{E_{n}}{(2n)!}x^{2n},

где $E_{n}$ — соответствующие коэффициенты (числа Эйлера). Умножая почленно на равенство

\cos x = \sum _{m=0}^{\infty } \frac{(-1)^{m}}{(2m)!}x^{2m},

получить рекуррентную формулу для чисел Эйлера:

\frac{E_{n}}{(2n)!}-\frac{E_{n-1}}{2!(2n-2)!}+\frac{E_{n-2}}{4!(2n-4)!}-\ldots = 0.

Так как $E_{0}=1$ , то из этой формулы следует, что

E_{1}=1, \quad E_{2}=5, \quad E_{3}=61, \quad E_{4}=1385, \quad \ldots

Проверить это.

?

Задача 1717

Известно, что $1-\dfrac {x}{2}\ctg \dfrac {x}{2} = \sum \dfrac {B_{n}}{(2n)!}x^{2n}$ , где $B_{n}$ — коэффициенты (называемые числами Бернулли). Доказать, что для чисел Бернулли существует рекуррентная формула:

\frac{B_{n}}{2(2n)!}-\frac{B_{n-1}}{2^{3}3!(2n-2)!}+\frac{B_{n-2}}{2^{5} \cdot 5!(2n-4)!}-\ldots +\frac{(-1)^{n-1}B_{1}}{2^{2n-1}(2n-1)!2!}+\frac{(-1)^{n}2n}{2^{2n+1}(2n+1)!} = 0.

Из этой формулы следует, что

B_{1}=\frac{1}{6}, \quad B_{2}=\frac{1}{30}, \quad B_{3}=\frac{1}{42}, \quad B_{4}=\frac{1}{30}, \ldots

Проверить это.

?

Задача 1718

Написать первые пять членов разложения по степеням $x$ для функции $\ln (1+e^{x})$ .

?

Задача 1719

Написать первые пять членов разложения по степеням $x$ для функции $e^{\sin x}$ .

?

Задача 1720

Написать первые пять членов разложения по степеням $x$ для функции $(1+x)^{x}$ .

?

Задача 1721

Написать первые пять членов разложения по степеням $x$ для функции $\dfrac {1}{e^{x}-1}-\dfrac {1}{x}$ .

?

Задача 1722

Доказать, что при малости величины $\dfrac {b}{a^{2}}$ приближенное равенство $\sqrt{a^{2}+b} \approx a+\dfrac {b}{2a}$ имеет погрешность, приблизительно равную $\dfrac {a}{8}\left(\dfrac {b}{a^{2}}\right)^{2}$ , и вычислить с помощью этого равенства значения радикалов:

?

(а)

$\sqrt{2}$ ;

(б)

$\sqrt{24}$ ;

(в)

$\sqrt{84}$ ;

(г)

$\sqrt{235}$ ;

(д)

$\sqrt{240}$ .

Задача 1723

Доказать приближенную формулу

\sqrt[n]{a^{n}+x} \approx a+\frac{x}{na^{n-1}}

и вычислить с ее помощью корни: $\sqrt[5]{245}$ , $\sqrt[7]{129}$ , $\sqrt[9]{515}$ , $\sqrt[10]{1027}$ .

?

Задача 1724

Существует следующая приближенная формула для извлечения корней:

\sqrt[n]{N} = \sqrt[n]{a^{n}+b} \approx a+\frac{2ab}{2nN-(n+1)b},

где $a^{n}$ — точная степень, близкая к $N$ . Доказать, что погрешность этой формулы приближенно равна $\dfrac {n^{2}-1}{12n^{3}}\left(\dfrac {b}{a^{n}}\right)^{3}$ .

?

Задача 1725

Вычислить по формуле задачи 1724 ( $\sqrt[n]{N} = \sqrt[n]{a^{n}+b} \approx a+\dfrac {2ab}{2nN-(n+1)b}$ ) следующие корни:

?

(а)

$\sqrt[3]{30}$ ;

(б)

$\sqrt[3]{70}$ ;

(в)

$\sqrt[3]{500}$ ;

(г)

$\sqrt[5]{250}$ ;

(д)

$\sqrt{60}$ ;

(е)

$\sqrt{84}$ .

Задача 1726

Воспользовавшись биномом Ньютона и равенством

\sqrt[3]{2} = \frac{1}{4}\sqrt[3]{128} = \frac{5}{4}\sqrt[3]{1+\frac{3}{125}},

вычислить с 10 знаками величину $\sqrt[3]{2}$ .

?

Задача 1727

С помощью бинома Ньютона и тождества

\sqrt{2} = \frac{1}{5}\sqrt{50} = \frac{7}{5}\sqrt{1+\frac{1}{49}}

вычислить $\sqrt{2}$ с 10 знаками.

?

Задача 1728

С помощью ряда для $\ln (1+x)$ при $x = -\dfrac {1}{10}, -\dfrac {1}{25}$ и $\dfrac {1}{80}$ , а также тождеств

\ln \frac{9}{10} = 2\ln 3-\ln 2-\ln 5, \qquad \ln \frac{24}{25} = 3\ln 2+\ln 3-2\ln 5,

\ln \frac{81}{80} = 4\ln 3-4\ln 2-\ln 5

вычислить натуральные логарифмы чисел $2, 3, 5$ и $10$ с 10 знаками после запятой.

?

Задача 1729

Доказать, что величины

\Delta \ln n = \ln (n+1)-\ln n,

\Delta ^{2} \ln n = \ln (n+2)-2\ln (n+1)+\ln n,

\Delta ^{3} \ln n = \ln (n+3)-3\ln (n+2)+3\ln (n+1)-\ln n

имеют соответственно следующие разложения в ряды:

\Delta \ln n = 2\left(\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{3(2n+1)^{3}}+\frac{1}{5(2n+1)^{5}}+\ldots \right),

\Delta ^{2} \ln n = -\left(\frac{1}{(n+1)^{2}}+\frac{1}{2(n+1)^{4}}+\frac{1}{3(n+1)^{6}}+\ldots \right),

\Delta ^{3} \ln n = 2\left(\frac{8}{(2n+3)^{3}}+\frac{48}{(2n+3)^{5}}+\frac{312}{(2n+3)^{7}}+\ldots \right).

?

Задача 1730

Доказать, что табличная разность обыкновенных пятизначных логарифмов чисел, т.е. $\lg (n+1)-\lg n$ , при $1000 < n < 10000$ приближенно выражается формулой $\Delta = 10^{5} \cdot \dfrac {M}{n} = \dfrac {43429}{n}$ ; $M = 0{,}43429$ — логарифмический модуль, $\Delta$ выражена в стотысячных долях.

?

Задача 1731

Доказать, что табличная разность логарифмов синусов, данных через одну минуту, выраженная в стотысячных долях, может быть дана приближенной формулой

\Delta \lg \sin x \approx 12{,}6\ctg x.

?

Задача 1732

Доказать, что формулы того же рода для синусов и для логарифмов тангенсов имеют вид:

\Delta \sin x \approx 29{,}1\cos x, \qquad \Delta \lg \tg x \approx \frac{25{,}2}{\sin 2x}.

?

Задача 1733

Приближенные равенства $\sin x \approx x$ , $\tg x \approx x$ обладают высокой точностью для малых углов (в некоторых случаях нужны более точные формулы $\sin x \approx x-\dfrac {x^{3}}{6}$ , $\tg x \approx x+\dfrac {x^{3}}{3}$ ). Под каким углом зрения виден за 10 км диаметр фабричной трубы с радиусом 2 м?

?

Задача 1734

Диск Солнца виден под углом $30'$ . Во сколько раз расстояние до Солнца больше диаметра Солнца?

?

Задача 1735

Полотно железной дороги имеет уклон $0{,}012$ . Какой угол с горизонталью оно составляет?

?

Задача 1736

За сутки земной шар пробегает приблизительно дугу в $1^{\circ }$ своей орбиты, радиус которой $150 \cdot 10^{6}$ км. Определить, на сколько отклоняется от прямой линии путь Земли за 1 секунду (27 км) и за 1 минуту?

?

Задача 1737

Дуга $1^{\circ }$ земного меридиана имеет около 112 км. На сколько она длиннее своей хорды?

?

Задача 1738

Доказать приближенную формулу: $l = \sqrt{13h}$ , где $h$ — высота наблюдателя над горизонтом в метрах, а $l$ — дальность до горизонта в километрах.

?

Задача 1739

При измерении расстояния между точками отсчет на протянутой ленте показал 12 м. Зная, что провес ленты был 20 см, и считая форму ленты дугой круга, определить расстояние между точками с поправкой на провес.

?

Задача 1740

Вычислить с помощью рядов $\sin 1^{\circ }$ с точностью до $10^{-5}$ .

?

Задача 1741

Вычислить с помощью рядов $\cos 1^{\circ }$ с точностью до $10^{-5}$ .

?

Задача 1742

Вычислить с помощью рядов $\sin 10^{\circ }$ с точностью до $10^{-4}$ .

?

Задача 1743

Вычислить $\pi$ с точностью до $10^{-10}$ с помощью тождества

\frac{\pi }{4} = 4\arctg \frac{1}{5}-\arctg \frac{1}{239}.

?

Задача 1744

Шенкс вычислил $\pi$ с 707 знаками с помощью тождества задачи 1743 ( $\dfrac {\pi }{4} = 4\arctg \dfrac {1}{5}-\arctg \dfrac {1}{239}$ ). Сколько членов в разложениях $\arctg \dfrac {1}{5}$ и $\arctg \dfrac {1}{239}$ он должен был удерживать?

?

Задача 1745

Одно из правил Гюйгенса для вычисления длины окружности эквивалентно равенству

2\pi = \frac{P_{n}+2p_{n}}{3r},

где $P_{n}$ и $p_{n}$ — периметры описанного и вписанного правильных многоугольников, $r$ — радиус круга. Доказать, что погрешность этого равенства приближенно равна $\dfrac {30}{n^{4}}$ .

?

Ряды и действия с ними