Экстремальные значения функций нескольких переменных

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = x^{2}+xy+y^{2}-3ax-3by$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = x^{3}y^{2}(a-x-y)$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = x^{4}+y^{4}-2x^{2}+4xy-2y^{2}$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = x^{2}-xy+y^{2}+3x-2y+1$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = x^{2}+xy+y^{2}+\dfrac {a^{3}}{x}+\dfrac {a^{3}}{y}$, $x > 0$, $y > 0$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = x^{3}+y^{3}-3axy$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = x^{3}+y^{3}-9xy+27$ при $0 \leqslant x \leqslant a$, $0 \leqslant y \leqslant a$; $a > 3$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = x^{4}+y^{4}-2x^{2}+4xy-2y^{2}$ при $0 \leqslant x \leqslant a$, $0 \leqslant y \leqslant a$; $a > 1$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = e^{-x^{2}-y^{2}}(ax^{2}+by^{2})$; $a > 0$, $b > 0$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = \sqrt{(a-x)(a-y)(x+y-a)}$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = \dfrac {a+bx+cy}{\sqrt{1+x^{2}+y^{2}}}$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = \sin x+\sin y+\sin (x+y)$; $0 \leqslant x \leqslant \dfrac {\pi }{2}$; $0 \leqslant y \leqslant \dfrac {\pi }{2}$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = \sin x+\sin y+\cos (x+y)$; $0 \leqslant x \leqslant \dfrac {3\pi }{2}$; $0 \leqslant y \leqslant \dfrac {3\pi }{2}$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = \cos x \cos y \cos (x+y)$; $0 \leqslant x \leqslant \pi$, $0 \leqslant y \leqslant \pi$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = (a\cos x+b\cos y)^{2}+(a\sin x+b\sin y)^{2}$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $z = \cos x \cos \alpha +\sin x \sin \alpha \cos (y-\beta )$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $u = xyz(4a-x-y-z)$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $u = x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy+2z+x$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $u = \dfrac {x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}$; $x > 0$, $y > 0$, $z > 0$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $u = \dfrac {x}{y+z}+\dfrac {y}{x+z}+\dfrac {z}{x+y}$; $x > 0$, $y > 0$, $z > 0$.

Найти экстремальные значения функции, заданной в явном виде: $u = (ax+by+cz)e^{-x^{2}-y^{2}-z^{2}}$.

Между положительными числами $a$ и $b$ вставить $n$ других чисел $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ так, чтобы величина дроби

получила наибольшее значение.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z$, заданной неявно как функция от $x$ и $y$ уравнением $2x^{2}+2y^{2}+z^{2}+8xz-z+8 = 0$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z$, заданной неявно как функция от $x$ и $y$ уравнением $2x^{2}+6y^{2}+2z^{2}+8xz-4x-8y+3 = 0$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z$, заданной неявно как функция от $x$ и $y$ уравнением $6x^{2}+6y^{2}+6z^{2}+4x-8y-8z+5 = 0$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z$, заданной неявно как функция от $x$ и $y$ уравнением $5x^{2}+5y^{2}+5z^{2}-2xy-2xz-2yz-72 = 0$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z$, заданной неявно как функция от $x$ и $y$ уравнением $x^{3}y-3xy^{2}+6x+y^{2}+7y+z^{2}-3z-14 = 0$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $z$, заданной неявно как функция от $x$ и $y$ уравнением $x^{4}+y^{4}+z^{4} = 2a^{2}(x^{2}+y^{2}+z^{2})$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = x+y$ при условии $\dfrac {1}{x^{2}}+\dfrac {1}{y^{2}} = \dfrac {1}{a^{2}}$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = x^{m}+y^{m}$ при условии $x+y = 2a$; $a > 0$, $m > 1$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = x_{1}^{m}+x_{2}^{m}+\ldots +x_{n}^{m}$ при условии $x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n} = na$; $a > 0$, $m > 1$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = x_{1}^{m}+x_{2}^{m}+\ldots +x_{n}^{m}$ при условии $x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n} = na$; $a > 0$, $m < 1$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = xy$ при условии $x^{2}+y^{2} = 1$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = xyz$ при условии $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 3$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = x+y+z$ при условии $\dfrac {a}{x}+\dfrac {b}{y}+\dfrac {c}{z} = 1$; $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = x^{2}y^{3}z^{4}$ при условии $2x+3y+4z = a$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = x^{2}+2y^{2}+3z^{2}$ при условиях $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1$, $x+2y+3z = 0$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = xyz$ при условиях $x+y+z = 5$, $xy+yz+xz = 8$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = x^{2}+y^{2}+z^{2}$ при условиях $lx+my+nz = 0$, $(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2} = a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = \sin \dfrac {x}{2}\sin \dfrac {y}{2}\sin \dfrac {z}{2}$ при условии $x+y+z = \pi$; $x > 0$, $y > 0$, $z > 0$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = x-y$ при условии $\tg x = 3\tg y$; $0 \leqslant x \leqslant \dfrac {\pi }{2}$, $0 \leqslant y \leqslant \dfrac {\pi }{2}$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = \dfrac {\alpha_{1}}{x_{1}}+\dfrac {\alpha_{2}}{x_{2}}+\ldots +\dfrac {\alpha_{n}}{x_{n}}$ при условии $\beta_{1}x_{1}+\beta_{2}x_{2}+\ldots +\beta_{n}x_{n} = p$, где все $\alpha$ и $\beta$ положительны, так же как и числа $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz$ при условии $x^{2}+y^{2}+z^{2} = a^{2}$.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции $u = \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}$ при условиях $x^{2}+y^{2}+z^{2} = 1$, $lx+my+nz = 0$.

Неравенство Адамара для определителя третьего порядка

имеет вид

Доказать это неравенство.

Неравенства Маклорена: если $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n} \geqslant 0$ и $x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n} = na$, то

и т.д. Доказать эти неравенства.

Задачу Гюйгенса (см. задачу 1807) можно свести к доказательству неравенства:

если $u_{1}u_{2}\ldots u_{n} = q_{n}$. Доказать это неравенство.

Из всех треугольников с одинаковым периметром $2p$ найти треугольник с наибольшей площадью.

Найти наибольшую площадь треугольника с данными основанием $a$ и углом при вершине $A$.

Данный треугольник разделить на две равновеликие части отрезком наименьшей длины.

Доказать, что в треугольнике радиус вписанного круга не больше, чем половина радиуса описанного круга.

В данный треугольник вписать треугольник с наименьшим периметром.

В данный квадрат вписать четырехугольник с наименьшим периметром.

Внутри четырехугольника найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до вершин была бы наименьшей.

Найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до данных точек была бы наименьшей.

Найти наибольшую площадь четырехугольника с данными сторонами $a$, $b$, $c$, $d$.

Найти многоугольник с наибольшей площадью и с данными сторонами $a_{1}, a_{2}, \ldots$.

Найти наибольшую площадь многоугольника с $n$ сторонами, вписанного в круг радиуса $a$.

Найти наименьшую площадь многоугольника с $n$ сторонами, описанного около круга радиуса $a$.

В данный круг вписать треугольник, сумма квадратов сторон которого была бы наибольшей.

В данный круг вписать наибольший по площади четырехугольник с данным углом $\alpha$.

На плоскости треугольника найти точку, сумма квадратов расстояний от которой до сторон треугольника была бы наименьшей.

Из всех плоскостей, проходящих через данную точку, найти наиболее удаленную от начала координат.

На эллипсоиде

найти точку, наиболее удаленную от начала координат.

Найти наибольший объем параллелепипеда при данной сумме его ребер $12a$.

Найти наибольший объем прямоугольного параллелепипеда с данной полной поверхностью $6a^{2}$.

Около прямоугольного параллелепипеда с ребрами $2a$, $2b$ и $2c$ описать наименьший по объему эллипсоид.

Через точку $(a, b, c)$ провести плоскость, образующую с плоскостями координат тетраэдр наименьшего объема.

Определить размеры открытого сверху прямоугольного ящика так, чтобы при данных объеме $V$ и толщине стенок $h$ на него пошло наименьшее количество материала.

Определить размеры цилиндрического сосуда с данной поверхностью и наибольшим объемом.

В данный конус вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.

Какой из конусов с данной боковой поверхностью $S$ имеет наибольший объем?

Найти наибольший по объему сосуд формы усеченного конуса с данными основанием и образующей: $l = 4r$.

На эллипсе даны две точки. Где на том же эллипсе поместить третью так, чтобы получившийся треугольник имел наибольшую площадь?

Найти кратчайшее расстояние от точки $(p, 4p)$ до параболы $y^{2} = 2px$.

В заданный равнобедренный треугольник вписать параболический сегмент с общей осью и наибольшей площадью. Площадь сегмента параболы равна произведению $\dfrac {2}{3}$ основания на высоту.

В данный эллипс вписать равнобедренный треугольник наибольшей площади с основанием, параллельным оси.

На эллипсе найти точку, наиболее близкую к данной точке большой оси $(m, 0)$.

Около эллипса описать треугольник наименьшей площади с основанием, параллельным оси.

Найти нормаль эллипса, наиболее удаленную от центра.

Найти нормаль к эллипсу с полуосями $a$ и $b$, отрезок которой внутри эллипса имел бы наименьшую длину.

Провести к эллипсу касательную, отрезок которой между осями имеет наименьшую длину.

Найти площадь $S$ эллипса, полученного при сечении эллипсоида $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ плоскостью $lx+my+nz = 0$.

Провести к эллипсоиду $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ касательную плоскость с наименьшей суммой отрезков на осях.

Доказать, что из хорд, параллельных оси $Oz$ и заключенных между плоскостью $z = ax+by+c$ и эллиптическим параболоидом $z = Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F$, максимальная проходит через центр плоского сечения.

В сегмент эллиптического параболоида $z = \dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}$, вырезанный плоскостью $z = h$, вписать прямоугольный параллелепипед с наибольшим объемом.

К эллипсоиду $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ провести касательную плоскость так, чтобы центр тяжести треугольника, выделяемого на этой плоскости плоскостями координат, был наименее удален от начала.

К эллипсоиду $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}} = 1$ провести касательную плоскость, образующую с его плоскостями симметрии тетраэдр наименьшего объема.