Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши. Возрастание и убывание функций. Неравенства

Доказать, что корни производной от полинома $y = x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$ вещественные, и указать пределы, между которыми они заключены.

Доказать, что производная от полинома, все корни которого вещественны, не имеет мнимых корней.

Доказать, что полином Лежандра

имеет все корни вещественные и лежащие в интервале $(-1, 1)$.

Доказать, что у полинома Лагерра

все корни положительные.

Доказать, что у полинома Эрмита--Чебышева $e^{x^{2}} \dfrac {d^{n} e^{-x^{2}}}{dx^{n}}$ все корни вещественные.

Существует равенство $\dfrac {d^{n} \arctg x}{dx^{n}} = \dfrac {P_{n-1}(x)}{(1+x^{2})^{n}}$, где $P_{n-1}(x)$ — полином степени $n-1$. Доказать, что все корни этого полинома вещественны.

При каких значениях $x$ функция $\dfrac {x}{1+x^{2}}$ возрастает?

При каких значениях $x$ функция $x^{3}(1-x)$ убывает?

Доказать, что функция $x^{n}e^{-x}$, где $n > 0$, возрастает при $0 < x < n$ и убывает при $x > n$.

Доказать, что при $0 < x < \pi$ функция $\dfrac {\sin x}{x}$ убывает.

Доказать, что при увеличении числа сторон периметр правильного вписанного многоугольника возрастает, а периметр описанного — убывает.

Доказать, с помощью теорем о возрастании функций, что $\left(1+\dfrac {1}{n}\right)^{n}$ возрастает при любых $n > 0$.

Пользуясь формулой Лагранжа доказать неравенство $n(b-a)a^{n-1} < b^{n}-a^{n} < n(b-a)b^{n-1}$ при $b > a > 0$, $n > 1$.

Пользуясь формулой Лагранжа доказать неравенство $\dfrac {x}{1+x} < \ln (1+x) < x$ при $x > 0$.

Пользуясь формулой Лагранжа доказать неравенство $e^{x} > 1+x$.

Пользуясь формулой Лагранжа доказать неравенство $e^{x} > ex$ при $x > 1$.

Пользуясь формулой Лагранжа доказать неравенство $x^{\delta }\left|\ln x\right| < \dfrac {1}{\delta e}$ при $0 < x < 1$, $\delta > 0$.

Доказать теорему: если при $x=0$ функции $\varphi (x), \varphi '(x), \ldots , \varphi^{(n-1)}(x)$ обращаются в нуль, а функция $\varphi^{(n)}(n)$ положительна при $x > 0$, то $\varphi (x) > 0$ при положительных $x$.

Доказать теорему: если

и $\varphi^{(n)}(x) > \psi^{(n)}(x)$ при $x > 0$, то при положительных $x$ справедливо неравенство $\varphi (x) > \psi (x)$.

Доказать неравенство $x-\dfrac {x^{3}}{6} < \sin x < x$, при $x > 0$.

Доказать неравенство $x-\dfrac {x^{3}}{3} < \arctg x < x$, при $x > 0$.

Доказать неравенство $\tg x > x+\dfrac {x^{3}}{3}$, при $0 < x < \dfrac {\pi }{2}$.

Доказать неравенство $x-\dfrac {x^{2}}{2} < \ln (1+x) < x$; $x > 0$.

Непосредственным возведением в квадрат доказать неравенства

Доказать, что при $0 < x < 1$ величина $e^{2x}$ меньше, чем $\dfrac {1+x}{1-x}$.

Доказать, что если $p_{n}$ — периметр правильного вписанного, а $P_{n}$ — правильного описанного многоугольника, то $\dfrac {2}{3}p_{n}+\dfrac {1}{3}P_{n}$ больше длины окружности.

Доказать, что у геометрической прогрессии с положительными слагаемыми сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, меньше суммы крайних членов.

У арифметической и геометрической прогрессий число членов и крайние члены соответственно одинаковы, а все члены прогрессий положительны. Показать, что у арифметической прогрессии сумма членов больше, чем у геометрической.

Числа $m_{1}, m_{2}, \ldots , m_{n}$ положительны, а точки

лежат на кривой $y = \varphi (x)$. Доказать, что если кривая выпукла вниз, то имеет место неравенство

Если же кривая выпукла вверх, то знак неравенства меняется на обратный.

Следующие задачи (1414--1418) сводятся к задаче 1413. Числа $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots , \alpha_{n}$ в них положительны. Числа $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ предполагаются положительными и такими, что среди них имеются неодинаковые.

Доказать, что при $m > 1$ справедливо неравенство

где $\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots +\alpha_{n}=1$.

Доказать, что среднее арифметическое положительных чисел меньше среднего квадратичного тех же чисел, т.е. что

Доказать, что при $m > 1$ и положительных числах $x_{1}, x_{2}, \ldots , x_{n}$ справедливо неравенство

Если числа $\alpha$ и числа $x$ положительны и $\alpha_{1}+\alpha_{2}+\ldots +\alpha_{n}=1$, то справедливо неравенство

В частности, среднее арифметическое положительных чисел больше среднего геометрического тех же чисел. Доказать.

При любых вещественных значениях коэффициентов $a_{\nu }$ и $b_{\nu }$, а также переменной $x$ имеет место очевидное неравенство

Исходя из него, получить неравенство Коши,

В следующих задачах (1419--1420) полезно применить преобразование координат.

Доказать, что на окружности $x^{2}+y^{2}=1$ выполняется неравенство

если кривая $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}=1$ есть эллипс с полуосями $a$ и $b$.

Поверхность $Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Exz+Fyz=1$ после соответственного поворота осей имеет уравнение $A_{1}x_{1}^{2}+B_{1}y_{1}^{2}+C_{1}z_{1}^{2}=1$, где $A_{1} < B_{1} < C_{1}$. Доказать неравенство