4.5

Ряды, их сходимость

[61/59%]
Показать
LaTeX
Задача 1585

Непосредственным делением по возрастающим степеням можно установить тождество:

11−x=1+x+x2+…+xn−1+xn1−x. \frac{1}{1-x} = 1+x+x^{2}+\ldots +x^{n-1}+\frac{x^{n}}{1-x}.

Исходя из него, показать, что ряд

1+x+x2+… 1+x+x^{2}+\ldots

сходится при ∣x∣<1\left|x\right| < 1 и его сумма равна 11−x\dfrac {1}{1-x}.

?
Задача 1586

Пользуясь тождеством 1ν−1ν+1=1ν(ν+1)\dfrac {1}{\nu }-\dfrac {1}{\nu +1} = \dfrac {1}{\nu (\nu +1)}, доказать, что ряд, сходимость которого следует установить непосредственно,

11⋅2+12⋅3+13⋅4+… \frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 4}+\ldots

сходится и имеет сумму, равную единице.

?
Задача 1587

Доказать равенство

11⋅3+13⋅5+15⋅7+…=12. \frac{1}{1 \cdot 3}+\frac{1}{3 \cdot 5}+\frac{1}{5 \cdot 7}+\ldots = \frac{1}{2}.
?
Задача 1588

Доказать равенство

11⋅2⋅3+12⋅3⋅4+13⋅4⋅5+…=14. \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\ldots = \frac{1}{4}.
?
Задача 1589

Пользуясь указанием задачи 1586 (1ν−1ν+1=1ν(ν+1)\dfrac {1}{\nu }-\dfrac {1}{\nu +1} = \dfrac {1}{\nu (\nu +1)}), найти сумму

11⋅4+12⋅5+13⋅6+14⋅7+15⋅8+… \frac{1}{1 \cdot 4}+\frac{1}{2 \cdot 5}+\frac{1}{3 \cdot 6}+\frac{1}{4 \cdot 7}+\frac{1}{5 \cdot 8}+\ldots
?
Задача 1590

Доказать равенство

∑n=1∞(vn−vn+1)=v1−v, \sum _{n=1}^{\infty }(v_{n}-v_{n+1}) = v_{1}-v,

где предполагается, что lim⁡n→∞vn=v\lim_{n \to \infty } v_{n} = v.

?
Задача 1591

Установив равенство

m(m+1)(m+2)+m(m+2)(m+3)+m(m+3)(m+4)+…=mm+1, \frac{m}{(m+1)(m+2)}+\frac{m}{(m+2)(m+3)}+\frac{m}{(m+3)(m+4)}+\ldots = \frac{m}{m+1},

доказать, что в данном случае при m→∞m \to \infty предел суммы ряда не равен сумме пределов членов ряда, именно: lim⁡m→∞(u1+u2+u3+…)=1\lim_{m \to \infty }(u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots ) = 1, а

lim⁡u1+lim⁡u2+lim⁡u3+…=0+0+0+…=0. \lim u_{1}+\lim u_{2}+\lim u_{3}+\ldots = 0+0+0+\ldots = 0.
?
Задача 1592

Исследовать сходимость ряда при разных значениях переменной xx:

x+x22+x33+x44+… x+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}+\ldots
?
Задача 1593

Исследовать сходимость ряда при разных значениях переменной xx:

x+x4+x16+x25+… x+x^{4}+x^{16}+x^{25}+\ldots
?
Задача 1594

Исследовать сходимость ряда при разных значениях переменной xx:

1−x3+x25−x37+… 1-\frac{x}{3}+\frac{x^{2}}{5}-\frac{x^{3}}{7}+\ldots
?
Задача 1595

Исследовать сходимость ряда при разных значениях переменной xx:

sin⁡x1⋅2+sin⁡2x2⋅3+sin⁡3x3⋅4+… \frac{\sin x}{1 \cdot 2}+\frac{\sin 2x}{2 \cdot 3}+\frac{\sin 3x}{3 \cdot 4}+\ldots
?
Задача 1596

Исследовать сходимость ряда при разных значениях переменной xx:

x−x33+x55−… x-\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}-\ldots
?
Задача 1597

Исследовать сходимость ряда при разных значениях переменной xx:

1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+1(x+2)(x+3)+… \frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}+\ldots
?
Задача 1598

Исследовать сходимость ряда при разных значениях переменной xx:

1x2+1x2+12+1x2+22+… \frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{2}+1^{2}}+\frac{1}{x^{2}+2^{2}}+\ldots
?
Задача 1599

Исследовать сходимость ряда:

1+x+x21⋅2+x31⋅2⋅3+… 1+x+\frac{x^{2}}{1 \cdot 2}+\frac{x^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots
?
Задача 1600

Исследовать сходимость ряда:

1+x+1⋅2x2+1⋅2⋅3x3+… 1+x+1 \cdot 2x^{2}+1 \cdot 2 \cdot 3x^{3}+\ldots
?
Задача 1601

Исследовать сходимость ряда:

x+2x2+x3+4x4+5x5+… x+2x^{2}+x^{3}+4x^{4}+5x^{5}+\ldots
?
Задача 1602

Исследовать сходимость ряда:

x+2x23+22x35+23x47+… x+\frac{2x^{2}}{3}+\frac{2^{2}x^{3}}{5}+\frac{2^{3}x^{4}}{7}+\ldots
?
Задача 1603

Исследовать сходимость ряда:

x+122x2+1⋅233x3+1⋅2⋅344x4+… x+\frac{1}{2^{2}}x^{2}+\frac{1 \cdot 2}{3^{3}}x^{3}+\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{4^{4}}x^{4}+\ldots
?
Задача 1604

Исследовать сходимость ряда:

x+1⋅21⋅3x2+1⋅2⋅31⋅3⋅5x3+1⋅2⋅3⋅41⋅3⋅5⋅7x4+… x+\frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 3}x^{2}+\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1 \cdot 3 \cdot 5}x^{3}+\frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}x^{4}+\ldots
?
Задача 1605

Исследовать сходимость ряда:

x−12+12(x−12)2+13(x−12)3+… \frac{x-1}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{2}+\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\frac{x-1}{2}\right)^{3}+\ldots
?
Задача 1606

Исследовать сходимость ряда:

1+12x2+14x23+18x34+116x45+… 1+\frac{1}{2x\sqrt{2}}+\frac{1}{4x^{2}\sqrt{3}}+\frac{1}{8x^{3}\sqrt{4}}+\frac{1}{16x^{4}\sqrt{5}}+\ldots
?
Задача 1607

Исследовать сходимость ряда при a>0a > 0, b>0b > 0:

x−3a+(x−3)2a+b+(x−3)3a+2b+(x−3)4a+3b+… \frac{x-3}{a}+\frac{(x-3)^{2}}{a+b}+\frac{(x-3)^{3}}{a+2b}+\frac{(x-3)^{4}}{a+3b}+\ldots
?
Задача 1608

Исследовать сходимость ряда:

xx+2−13(xx+2)3+15(xx+2)5−… \frac{x}{x+2}-\frac{1}{3}\left(\frac{x}{x+2}\right)^{3}+\frac{1}{5}\left(\frac{x}{x+2}\right)^{5}-\ldots
?
Задача 1609

Исследовать сходимость ряда:

1+xx+1x+5+x2(x+1x)2+25+x4(x+1x)3+125+x8(x+1x)4+… \frac{1+x}{x+\frac{1}{x}}+\frac{5+x}{2\left(x+\frac{1}{x}\right)^{2}}+\frac{25+x}{4\left(x+\frac{1}{x}\right)^{3}}+\frac{125+x}{8\left(x+\frac{1}{x}\right)^{4}}+\ldots
?
Задача 1610

Исследовать сходимость ряда:

tg⁡x−tg⁡2x5+tg⁡3x9−tg⁡4x13+… \tg x-\frac{\tg ^{2}x}{5}+\frac{\tg ^{3}x}{9}-\frac{\tg ^{4}x}{13}+\ldots
?
Задача 1611

Исследовать сходимость ряда:

1+2sin⁡x3+4sin⁡2x5+8sin⁡3x7+16sin⁡4x9+… 1+\frac{2\sin x}{3}+\frac{4\sin ^{2}x}{5}+\frac{8\sin ^{3}x}{7}+\frac{16\sin ^{4}x}{9}+\ldots
?
Задача 1612

Исследовать сходимость ряда:

x+x41⋅2+x91⋅2⋅3+…=∑n=1∞xn2n!. x+\frac{x^{4}}{1 \cdot 2}+\frac{x^{9}}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots = \sum _{n=1}^{\infty }\frac{x^{n^{2}}}{n!}.
?
Задача 1613

Исследовать сходимость ряда:

1ex−1+2e2x−1+3e3x−1+… \frac{1}{e^{x}-1}+\frac{2}{e^{2x}-1}+\frac{3}{e^{3x}-1}+\ldots
?
Задача 1614

Исследовать сходимость ряда ∑n=1∞un\sum_{n=1}^{\infty } u_{n}, если u1=1u_{1}=1, а un+1un=34+(−1)n2\dfrac {u_{n+1}}{u_{n}} = \dfrac {3}{4}+\dfrac {(-1)^{n}}{2}.

?
Задача 1615

Ряд u1+u2+u3+…u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots составлен по следующему закону: un=12mσu_{n} = \dfrac {1}{2^{m\sigma }}, где 2m≤n<2m+12^{m} \leq n < 2^{m+1}, σ\sigma — постоянное число. Доказать, что при σ>1\sigma > 1 ряд u1+u2+u3+…u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots сходится, а сумма его равна 2σ2σ−2\dfrac {2^{\sigma }}{2^{\sigma }-2}.

?
Задача 1616

Пользуясь предыдущим результатом (задача 1615), доказать, что при σ>1\sigma > 1 ряд 1+12σ+13σ+14σ+…1+\dfrac {1}{2^{\sigma }}+\dfrac {1}{3^{\sigma }}+\dfrac {1}{4^{\sigma }}+\ldots сходится.

?
Задача 1617

Члены ряда составляются по правилу:

un=12mσ, u_{n} = \frac{1}{2^{m\sigma }},

где 2m−1<n≤2m2^{m-1} < n \leq 2^{m}, σ\sigma — постоянное число. Доказать, что при 0<σ<10 < \sigma < 1 ряд u1+u2+u3+…u_{1}+u_{2}+u_{3}+\ldots расходится.

?
Задача 1618

Доказать, что ряд 1+12σ+13σ+14σ+…1+\dfrac {1}{2^{\sigma }}+\dfrac {1}{3^{\sigma }}+\dfrac {1}{4^{\sigma }}+\ldots при 0<σ≤10 < \sigma \leq 1 расходится.

?
Задача 1619

Установить, что ряд 1+12+13+14+…1+\dfrac {1}{\sqrt{2}}+\dfrac {1}{\sqrt{3}}+\dfrac {1}{\sqrt{4}}+\ldots — расходящийся, опираясь на неравенство

1n>2n+n+1=2(n+1−n). \frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{2}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}} = 2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).
?
Задача 1620

Исследовать сходимость ряда:

1+13+15+17+… 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\ldots
?
Задача 1621

Исследовать сходимость ряда:

1+12⋅12+1⋅32⋅4⋅13+1⋅3⋅52⋅4⋅6⋅14+… 1+\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}+\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 4} \cdot \frac{1}{3}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{2 \cdot 4 \cdot 6} \cdot \frac{1}{4}+\ldots
?
Задача 1622

Исследовать сходимость ряда:

1+21⋅12+2⋅41⋅3⋅13+2⋅4⋅61⋅3⋅5⋅14+… 1+\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{2}+\frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 3} \cdot \frac{1}{3}+\frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{1 \cdot 3 \cdot 5} \cdot \frac{1}{4}+\ldots
?
Задача 1623

Исследовать сходимость ряда при m>0m > 0:

1−m1+m(m−1)1⋅2−m(m−1)(m−2)1⋅2⋅3+… 1-\frac{m}{1}+\frac{m(m-1)}{1 \cdot 2}-\frac{m(m-1)(m-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots
?
Задача 1624

Исследовать сходимость рядов:

?
(а)

1−13+15−16+…1-\dfrac {1}{3}+\dfrac {1}{5}-\dfrac {1}{6}+\ldots;

(б)

1−12σ+13σ−14σ+…1-\dfrac {1}{2^{\sigma }}+\dfrac {1}{3^{\sigma }}-\dfrac {1}{4^{\sigma }}+\ldots; σ>0\sigma > 0.

Задача 1625

Исследовать сходимость ряда при m>−1m > -1:

1+m1+m(m−1)1⋅2+m(m−1)(m−2)1⋅2⋅3+… 1+\frac{m}{1}+\frac{m(m-1)}{1 \cdot 2}+\frac{m(m-1)(m-2)}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots
?
Задача 1626

Исследовать сходимость ряда:

1−21⋅12+2⋅41⋅3⋅13−2⋅4⋅61⋅3⋅5⋅14+… 1-\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{2}+\frac{2 \cdot 4}{1 \cdot 3} \cdot \frac{1}{3}-\frac{2 \cdot 4 \cdot 6}{1 \cdot 3 \cdot 5} \cdot \frac{1}{4}+\ldots
?
Задача 1627

Исследовать сходимость ряда:

sin⁡x−sin⁡sin⁡x+sin⁡sin⁡sin⁡x−… \sin x-\sin \sin x+\sin \sin \sin x-\ldots
?
Задача 1628

Исследовать сходимость ряда:

sin⁡x1+sin⁡2x2+sin⁡3x3+sin⁡4x4+… \frac{\sin x}{1}+\frac{\sin 2x}{2}+\frac{\sin 3x}{3}+\frac{\sin 4x}{4}+\ldots
?
Задача 1629

Исследовать сходимость ряда:

cos⁡x+cos⁡3x3+cos⁡5x5+cos⁡7x7+… \cos x+\frac{\cos 3x}{3}+\frac{\cos 5x}{5}+\frac{\cos 7x}{7}+\ldots
?
Задача 1630

Исследовать сходимость ряда:

1+12−23+14+15−26+17+18−29+… 1+\frac{1}{2}-\frac{2}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{2}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}-\frac{2}{9}+\ldots
?
Задача 1631

Исследовать сходимость ряда:

1+12−13−14+15+16−17−18+… 1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}-\frac{1}{7}-\frac{1}{8}+\ldots
?
Задача 1632

Пользуясь основным критерием сходимости, доказать, что сумма абсолютно сходящегося ряда не изменится, если расположить те же члены ряда в любом другом порядке.

?
Задача 1633

Показать, что сумма неабсолютно сходящегося ряда не меняется, если члены ряда переставить так, что ни один из них не удаляется со своего места больше, чем на mm мест, где mm — любое заданное число.

?
Задача 1634

Доказать равенство

1−12+13−14+15−16+…=2(1−12−14+13−16−18+15−110−112+…), 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots = 2\left(1-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\ldots \right),

показав тем самым, что у неабсолютно сходящихся рядов сумма существенно зависит от порядка слагаемых.

?
Задача 1635

Пользуясь равенствами

s=1−12+13−14+15−16+…=1−(12−13)−(14−15)−…, s = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\ldots = 1-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)-\ldots , s1=1−12+13+15−14+17+19−16+…=1−12+(13+15−14)+(17+19−16)+…, s_{1} = 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{6}+\ldots = 1-\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\frac{1}{6}\right)+\ldots ,

доказать, что s<1s < 1, а s1>1s_{1} > 1, и, следовательно, s1≠ss_{1} \neq s.

?
Задача 1636

Доказать, что ряд 1−12+13−14+15−16+…1-\dfrac {1}{\sqrt{2}}+\dfrac {1}{\sqrt{3}}-\dfrac {1}{\sqrt{4}}+\dfrac {1}{\sqrt{5}}-\dfrac {1}{\sqrt{6}}+\ldots — сходящийся, а ряд 1+13−12+15+17−14+19+111−16+…1+\dfrac {1}{\sqrt{3}}-\dfrac {1}{\sqrt{2}}+\dfrac {1}{\sqrt{5}}+\dfrac {1}{\sqrt{7}}-\dfrac {1}{\sqrt{4}}+\dfrac {1}{\sqrt{9}}+\dfrac {1}{\sqrt{11}}-\dfrac {1}{\sqrt{6}}+\ldots, полученный из первого перестановкой слагаемых, — расходящийся.

?
Задача 1637

Доказать, что ряд

x(1−x)+x2(1−x)+x3(1−x)+… x(1-x)+x^{2}(1-x)+x^{3}(1-x)+\ldots

сходится в сегменте 0≤x≤10 \leq x \leq 1, но неравномерно.

?
Задача 1638

Доказать, что ряд

1+x+x21⋅2+x31⋅2⋅3+… 1+x+\frac{x^{2}}{1 \cdot 2}+\frac{x^{3}}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\ldots

сходится при любом xx, но неравномерно. Тот же ряд сходится равномерно в любом конечном сегменте a≤x≤ba \leq x \leq b.

?
Задача 1639

Доказать, что ряд

∑n=1∞1x2+n2 \sum _{n=1}^{\infty } \frac{1}{x^{2}+n^{2}}

сходится равномерно на всей вещественной оси −∞<x<∞-\infty < x < \infty.

?
Задача 1640

Доказать, что ряд

sin⁡x+sin⁡2x23+sin⁡3x33+… \sin x+\frac{\sin 2x}{2^{3}}+\frac{\sin 3x}{3^{3}}+\ldots

можно дифференцировать почленно.

?
Задача 1641

Доказать, что ряд

cos⁡x1⋅2+cos⁡2x2⋅3+cos⁡3x3⋅4+… \frac{\cos x}{1 \cdot 2}+\frac{\cos 2x}{2 \cdot 3}+\frac{\cos 3x}{3 \cdot 4}+\ldots

представляет непрерывную функцию от xx.

?
Задача 1642

Пользуясь тождеством Абеля, доказать, что ряды

a1sin⁡x+a2sin⁡2x+a3sin⁡3x+…, a_{1}\sin x+a_{2}\sin 2x+a_{3}\sin 3x+\ldots , a1cos⁡x+a2cos⁡2x+a3cos⁡3x+… a_{1}\cos x+a_{2}\cos 2x+a_{3}\cos 3x+\ldots

при выполнении условий

a1≥a2≥a3≥a4≥…,lim⁡n→∞an=0 a_{1} \geq a_{2} \geq a_{3} \geq a_{4} \geq \ldots , \quad \lim _{n \to \infty } a_{n} = 0

сходятся равномерно во всяком сегменте, не заключающем ни внутри, ни на концах значений x=0,±2π,±4π,…x = 0, \pm 2\pi , \pm 4\pi , \ldots.

?
Задача 1643

Доказать, что сумма ряда

s(x)=∑n=1∞sin⁡2n2xan2,a>1, s(x) = \sum _{n=1}^{\infty } \frac{\sin 2^{n^{2}}x}{a^{n^{2}}}, \quad a > 1,

представляет непрерывную функцию.

?
Задача 1644

Доказать, что при a>2a > 2 сумма ряда задачи 1643, s(x)=∑n=1∞sin⁡2n2xan2s(x) = \sum_{n=1}^{\infty } \dfrac {\sin 2^{n^{2}}x}{a^{n^{2}}}, имеет производную:

s′(x)=∑n=1∞(2a)n2cos⁡2n2x. s'(x) = \sum _{n=1}^{\infty } \left(\frac{2}{a}\right)^{n^{2}}\cos 2^{n^{2}}x.
?
Задача 1645

Доказать, что при 1<a<21 < a < 2 функция s(x)s(x) задачи 1644 не имеет производной (будучи, однако, непрерывной).

?