Процессы диффузии

Покажите, что полная вариация стандартного винеровского процесса на любом нетривиальном интервале не существует. [Полная вариация $V_{a, b}(f)$ функции $f: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ на ограниченном интервале $[a, b]$ определяется как

где супремум берётся по всем возрастающим последовательностям $s_{0} = a, s_{1}, s_{2}, \ldots , s_{n} = b$. Может оказаться полезным тот факт, что квадратическая вариация винеровского процесса существует и почти наверное не равна нулю.]

Пусть $X = \left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ — простой процесс рождения и гибели с параметрами $\lambda_{n} = n \lambda$ и $\mu_{n} = n \mu$. Предложите диффузионное приближение для $X$.

Пусть $D$ — диффузия с мгновенным средним и дисперсией $a(t, x)$ и $b(t, x)$, и пусть $M(t, \theta ) = \mathbb {E}\left[e^{\theta D(t)}\right]$ — производящая функция моментов $D(t)$. Используя прямое диффузионное уравнение, выведите уравнение Бартлетта:

где мы интерпретируем

если $g(t, x) = \sum_{n = 0}^{\infty } \gamma_{n}(t) x^{n}$.

Запишите уравнение Бартлетта для случая винеровского процесса $D$ со сносом $m$ и мгновенной дисперсией $1$, и решите его при граничном условии $D(0) = 0$.

Запишите уравнение Бартлетта для случая процесса Орнштейна-Уленбека $D$ с мгновенным средним $a(t, x) = -x$ и дисперсией $b(t, x) = 1$, и решите его при граничном условии $D(0) = 0$.

Пусть $W_{1}(t), W_{2}(t), W_{3}(t)$ — независимые винеровские процессы. Положительный процесс $R = R(t)$, такой что $R^{2} = W_{1}^{2}+W_{2}^{2}+W_{3}^{2}$, называется трёхмерным процессом Бесселя. Покажите, что $R$ — марковский процесс. Верен ли этот результат для произвольного числа $n$ измерений?

Покажите, что плотность перехода процесса Бесселя, определённого в Упражнении (13.3.5), равна

Если $W$ — винеровский процесс, а функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и строго монотонна, покажите, что $g(W)$ — непрерывный марковский процесс.

Пусть $W$ — винеровский процесс. Какие из следующих выражений определяют мартингалы?

Экспоненциальный мартингал, геометрическое броуновское движение. Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и определим $S(t) = e^{a t+b W(t)}$. Покажите, что:

Найдите плотность перехода для марковского процесса из Упражнения (13.3.9a).

Убедитесь, что плотность перехода (13.3.4) стандартного винеровского процесса удовлетворяет уравнениям Чепмена-Колмогорова в непрерывном времени.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и пусть $X(t) = \exp \left\{ i \theta W(t)+\frac{1}{2} \theta^{2} t\right\}$, где $i = \sqrt{-1}$. Покажите, что $X$ — мартингал относительно фильтрации, заданной как $\mathcal{F}_{t} = \sigma (\left\{ W(u): u \leq t\right\} )$.

Пусть $T$ — (случайный) момент, в который стандартный винеровский процесс $W$ достигает «барьера» в пространстве-времени, заданного $y = a t+b$, где $a \leq 0$ и $b > 0$; то есть $T = \inf \left\{ t: W(t) = a t+b\right\}$. Используя результат Упражнения (13.4.1), покажите, что функция плотности $T$ имеет преобразование Лапласа, заданное как

Можете считать, что условия теоремы об опциональной остановке выполнены.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и пусть $T$ — момент последнего нуля $W$ до момента $t$. Покажите, что $\mathbb {P}\left(T \leq u\right) = (2 / \pi ) \sin^{-1} \sqrt{u / t}$ при $0 \leq u \leq t$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые стандартные винеровские процессы, так что $(X, Y)$ — плоский винеровский процесс. Покажите, что значение $Y$ в момент первого достижения $X$ уровня $x > 0$ имеет распределение Коши с плотностью $f(y) = x /\left[\pi \left(x^{2}+y^{2}\right)\right]$.

Пусть $D(t) = W(t)-a t$, где $W$ — стандартный винеровский процесс, а $a \leq 0$ — параметр сноса. Используя результат Упражнения (13.4.2), покажите, что функция плотности момента первого достижения точки $b > 0$ процессом $D$ равна

Покажите, что стандартный винеровский процесс $W(t)$ и его процесс максимума $M(t) = \sup \left\{ W(s): 0 \leq s \leq t\right\}$ удовлетворяют

где $\Phi$ — функция распределения $N(0,1)$.

Найдите функцию плотности $\sqrt{T(x)}$, где $T(x)$ — момент первого достижения точки $x$ стандартным винеровским процессом. Покажите, что она совпадает с плотностью $1 /\left|Z\right|$ для подходящей нормально распределённой случайной величины $Z$.

Покажите, что $T(x)$ имеет то же распределение, что и $T(1) x^{2}$, и выведите, что процесс $\left\{ T(x): x \geq 0\right\}$ самоподобен. Отсюда, или иным способом, покажите, что $T(x)$ имеет устойчивое распределение с показателем $\frac{1}{2}$. [См. Feller 1971, с. 174.]

Диффузионное приближение Феллера для ветвящегося процесса, снова к Примеру (13.3.12).

Пусть $X = \left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ — диффузионная модель из Примера (13.3.12) с $X(0) = x > 0$, и с мгновенным средним и дисперсией $a x$ и $b x$, где $a < 0$ и $b > 0$. Пусть $Y = \int_{0}^{T} X(u) d u$ — интегрированный размер накопленной популяции до момента вымирания $T = \inf \left\{ t \geq 0: X(t) = 0\right\}$. Покажите, что производящая функция моментов $m(x, \psi ) = \mathbb {E}_{x}\left[e^{-\psi Y}\right]$ удовлетворяет

Выведите, что $Y$ имеет распределение типа «первого достижения», как в Упражнении (13.4.2), и укажите, какое именно.

Пусть $D$ — стандартный винеровский процесс со сносом $m$, начинающийся с $D(0) = d > 0$, и предположим, что в начале координат имеется отражающий барьер. Покажите, что функция плотности $f^{\mathrm{r}}(t, y)$ процесса $D(t)$ удовлетворяет $f^{\mathrm{r}}(t, y) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$, если $m \geq 0$, тогда как $f^{\mathrm{r}}(t, y) \rightarrow 2\left|m\right| e^{-2\left|m\right| y}$ при $y > 0$, при $t \rightarrow \infty$, если $m < 0$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, начатый в $W(0) = x \in (0, a)$, с поглощающими барьерами в 0 и $a$. Пусть $C$ — процесс $W$ при условии, что $W$ поглощается в $a$. Покажите, что мгновенные среднее и дисперсия $C$, когда $C(t) = c \in (0, a)$, равны $1 / c$ и $1$ соответственно.

Пусть $T$ — момент первого достижения точки $a$ процессом $C$. Покажите, что $\mathbb {E}_{x}\left[T\right] = \frac{1}{3}\left(a^{2}-x^{2}\right)$ при $x \in (0, a)$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что условная функция плотности $W(t)$ при условии, что $W(u) > 0$ при $0 < u < t$, равна $g(x) = (x / t) e^{-x^{2} /(2 t)}, x > 0$.

Покажите, что автоковариационная функция броуновского моста равна $c(s, t) = \min \left\{ s, t\right\} -s t, 0 \leq s, t \leq 1$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и пусть $\widehat{W}(t) = W(t)-t W(1)$. Покажите, что $\left\{ \widehat{W}(t): 0 \leq t \leq 1\right\}$ — броуновский мост.

Если $W$ — винеровский процесс с $W(0) = 0$, покажите, что $\widetilde{W}(t) = (1-t) W(t /(1-t))$ при $0 \leq t < 1$, $\widetilde{W}(1) = 0$, определяет броуновский мост.

Выведите, с помощью Следствия (13.4.14), что вероятность того, что броуновский мост когда-либо поднимется выше уровня $m > 0$, равна $e^{-2 m^{2}}$.

Пусть $0 < s < t < 1$. Покажите, что вероятность того, что броуновский мост не имеет нулей на интервале $(s, t)$, равна $(2 / \pi ) \cos^{-1} \sqrt{(t-s) /[t(1-s)]}$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и покажите, что

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Зафиксируем $t > 0, n \geq 1$, и пусть $\delta = t / n$. Покажите, что $Z_{n} = \sum_{j = 0}^{n-1}\left(W_{(j+1) \delta }-W_{j \delta }\right)^{2}$ удовлетворяет $Z_{n} \rightarrow t$ в среднеквадратичном при $n \rightarrow \infty$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Зафиксируем $t > 0, n \geq 1$, и пусть $\delta = t / n$. Пусть $V_{j} = W_{j \delta }$ и $\Delta_{j} = V_{j+1}-V_{j}$. Найдите пределы следующих выражений при $n \rightarrow \infty$:

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что $U(t) = e^{-\beta t} W\left(e^{2 \beta t}\right)$ определяет стационарный процесс Орнштейна-Уленбека.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что $U_{t} = W_{t}-\beta \int_{0}^{t} e^{-\beta (t-s)} W_{s} d s$ определяет процесс Орнштейна-Уленбека.

Пусть $X_{t} = \int_{0}^{t} W_{s} d s$. Покажите, что $X$ — гауссовский процесс, и найдите его автоковариационную и автокорреляционную функции.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P})$ — вероятностное пространство, и предположим, что $X_{n} \xrightarrow {\text{ с.к. }} X$ при $n \rightarrow \infty$. Если $\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}$, покажите, что $\mathbb {E}\left[X_{n} \mid g\right] \xrightarrow {\text{ с.к. }} \mathbb {E}\left[X \mid g\right]$.

Пусть $\psi_{1}$ и $\psi_{2}$ — предсказуемые ступенчатые функции, и покажите, что

всякий раз, когда обе стороны существуют.

Предполагая, что гауссовский белый шум $G_{t} = d W_{t} / d t$ существует в достаточном числе смыслов, чтобы фигурировать в качестве подынтегрального выражения, покажите, интегрируя стохастическое дифференциальное уравнение $d X_{t} = -\beta X_{t} d t+d W_{t}$, что

если $X_{0} = 0$.

Пусть $\psi$ — согласованный процесс с $\left\| \psi \right\| < \infty$. Покажите, что $\left\| I(\psi )\right\|_{2} = \left\| \psi \right\|$.

Пусть $X$ и $Y$ — независимые стандартные винеровские процессы. Покажите, что при $R_{t}^{2} = X_{t}^{2}+Y_{t}^{2}$,

— винеровский процесс. [Указание: Используйте Теорему (13.8.11) и Пример (12.7.10).] Отсюда покажите, что процесс квадрата, $R^{2}$, называемый квадратом процесса Бесселя, удовлетворяет

Обобщите этот результат на $n$ измерений.

Запишите СДУ, полученное с помощью формулы Ито, для процесса $Y_{t} = W_{t}^{4}$, и выведите, что $\mathbb {E}\left[W_{t}^{4}\right] = 3 t^{2}$.

Покажите, что $Y_{t} = t W_{t}$ — процесс Ито, и запишите соответствующее СДУ.

Винеровский процесс на окружности. Пусть $Y_{t} = e^{i W_{t}}$. Покажите, что $Y = X_{1}+i X_{2}$ — процесс на единичной окружности, удовлетворяющий

Найдите СДУ, которым удовлетворяют следующие процессы:

Найдите случайную функцию $X(t)$, удовлетворяющую

с $X(0) = 0$.

Рассмотрим портфель, который в момент $t$ содержит $\xi (t, S)$ единиц акции и $\psi (t, S)$ единиц облигации, и предположим, что эти величины зависят только от значений $S_{u}$ при $0 \leq u \leq t$. Найдите функцию $\psi$, при которой портфель является самофинансируемым, в трёх случаях:

Предположим, что цена акции $S_{t}$ сама является винеровским процессом, а процентная ставка $r$ равна $0$, так что единица облигации имеет единичную стоимость во всякий момент времени. В обозначениях Упражнения (13.10.2), какие из следующих определяют самофинансируемые портфели?

«Американский опцион колл» отличается от европейского опциона колл тем, что он может быть исполнен покупателем в любой момент вплоть до даты истечения. Покажите, что стоимость американского опциона колл совпадает со стоимостью соответствующего европейского опциона колл, и что держателю такого опциона нет никакой выгоды исполнять его строго до истечения срока.

Покажите, что стоимость Блэка-Шоулза в момент 0 европейского опциона колл является возрастающей функцией начальной цены акции, даты исполнения, процентной ставки и волатильности, и убывающей функцией цены исполнения.

Пусть $G$ — замкнутый шар радиуса $\epsilon$ с центром в начале координат $\mathbb {R}^{d}$, где $d \geq 3$. Пусть $\mathbf{W}$ — $d$-мерный винеровский процесс, начинающийся с $\mathbf{W}(0) = \mathbf{w} \notin G$. Покажите, что вероятность того, что $\mathbf{W}$ посетит $G$, равна $(\epsilon / r)^{d-2}$, где $r = \left|\mathbf{w}\right|$.

Пусть $G$ — бесконечный связный граф с конечными степенями вершин. Пусть $\Delta_{n}$ — множество вершин $x$, находящихся на расстоянии $n$ от 0 (то есть кратчайший путь от $x$ до 0 содержит $n$ рёбер), и пусть $N_{n}$ — общее число рёбер, соединяющих пары $x, y$ вершин, где $x \in \Delta_{n}, y \in \Delta_{n+1}$. Покажите, что случайное блуждание на $G$ возвратно, если $\sum_{i} N_{i}^{-1} = \infty$.

Пусть $G$ — связный граф с конечными степенями вершин, и пусть $H$ — связный подграф $G$. Покажите, что случайное блуждание на $H$ возвратно, если случайное блуждание на $G$ возвратно, но что обратное утверждение в общем случае неверно.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, то есть процесс с независимыми приращениями и непрерывными траекториями, такой что $W(s+t)-W(s)$ имеет распределение $N(0, t)$ при $t > 0$. Пусть $\alpha$ — положительная постоянная. Покажите, что:

Пусть $X = \left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ — гауссовский процесс с непрерывными траекториями, нулевыми средними и автоковариационной функцией $c(s, t) = u(s) v(t)$ при $s \leq t$, где $u$ и $v$ — непрерывные функции. Предположим, что отношение $r(t) = u(t) / v(t)$ непрерывно и строго возрастает, с обратной функцией $r^{-1}$. Покажите, что $W(t) = X\left(r^{-1}(t)\right) / v\left(r^{-1}(t)\right)$ — стандартный винеровский процесс на подходящем промежутке времени.

Если $c(s, t) = s(1-t)$ при $s \leq t < 1$, выразите $X$ через $W$.

Пусть $\beta > 0$, и покажите, что $U(t) = e^{-\beta t} W\left(e^{2 \beta t}-1\right)$ — процесс Орнштейна-Уленбека, если $W$ — стандартный винеровский процесс.

Пусть $V = \left\{ V(t): t \geq 0\right\}$ — процесс Орнштейна-Уленбека с мгновенным средним $a(t, x) = -\beta x$, где $\beta > 0$, с мгновенной дисперсией $b(t, x) = \sigma^{2}$, и с $U(0) = u$. Покажите, что $V(t)$ имеет распределение $N\left(u e^{-\beta t}, \sigma^{2}\left(1-e^{-2 \beta t}\right) /(2 \beta )\right)$. Выведите, что $V(t)$ асимптотически имеет распределение $N\left(0, \frac{1}{2} \sigma^{2} / \beta \right)$ при $t \rightarrow \infty$, и покажите, что $V$ строго стационарен, если $V(0)$ имеет распределение $N\left(0, \frac{1}{2} \sigma^{2} / \beta \right)$.

Покажите, что такой процесс — единственный стационарный гауссовский марковский процесс с непрерывной автоковариационной функцией, и найдите его спектральную плотность.

Диффузионное приближение Феллера для ветвящегося процесса. Пусть $D = \left\{ D(t): t \geq 0\right\}$ — диффузионный процесс с мгновенным средним $a(t, x) = \alpha x$ и мгновенной дисперсией $b(t, x) = \beta x$, где $\alpha$ и $\beta$ — положительные постоянные. Пусть $D(0) = d$. Покажите, что производящая функция моментов $D(t)$ равна

Найдите среднее и дисперсию $D(t)$, и покажите, что $\mathbb {P}\left(D(t) = 0\right) \rightarrow e^{-2 d \alpha / \beta }$ при $t \rightarrow \infty$.

Пусть $D$ — процесс Орнштейна-Уленбека с $D(0) = 0$, и разместим отражающие барьеры в $-c$ и $d$, где $c, d > 0$. Найдите предельное распределение $D$ при $t \rightarrow \infty$.

Пусть $X_{0}, X_{1}, \ldots$ — независимые $N(0,1)$ величины, и покажите, что

определяет стандартный винеровский процесс на $[0, \pi ]$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс с $W(0) = 0$. Разместим поглощающие барьеры в $-b$ и $b$, где $b > 0$, и пусть $W^{\text{a }}$ — процесс $W$, поглощённый на этих барьерах. Покажите, что $W^{\mathrm{a}}(t)$ имеет функцию плотности

которую можно также выразить как

где $a_{n} = b^{-1} \sin \left(\frac{1}{2} n \pi \right)$ и $\lambda_{n} = n^{2} \pi^{2} /\left(8 b^{2}\right)$. Отсюда вычислите $\mathbb {P}\left(\sup_{0 \leq s \leq t}|W(s)| > b\right)$ для неограниченного процесса $W$.

Пусть $D$ — винеровский процесс со сносом $m$, и предположим, что $D(0) = 0$. Разместим поглощающие барьеры в точках $x = -a$ и $x = b$, где $a$ и $b$ — положительные действительные числа. Покажите, что вероятность $p_{a}$ того, что процесс поглощается в $-a$, задаётся как

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и пусть $F(u, v)$ — событие, что $W$ не имеет нулей на интервале $(u, v)$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что

Положите $t = 2^{n}$ и $w = 2^{2 n / 3}$ и используйте лемму Бореля-Кантелли, чтобы показать, что $t^{-1} W(t) \rightarrow 0$ п.н. при $t \rightarrow \infty$.

Пусть $\mathbf{W}$ — двумерный винеровский процесс с $\mathbf{W}(0) = \mathbf{w}$, и пусть $F$ — единичная окружность. Какова вероятность того, что $\mathbf{W}$ посетит верхнюю полуокружность $G$ окружности $F$ раньше, чем нижнюю полуокружность $H$?

Пусть $W_{1}$ и $W_{2}$ — независимые стандартные винеровские процессы; пара $\mathbf{W}(t) = \left(W_{1}(t), W_{2}(t)\right)$ представляет положение частицы, испытывающей броуновское движение на плоскости. Пусть $l$ — некоторая прямая в $\mathbb {R}^{2}$, и пусть P — точка на $l$, ближайшая к началу координат O. Нарисуйте диаграмму. Покажите, что

Пусть $\phi (x+i y) = u(x, y)+i v(x, y)$ — аналитическая функция на комплексной плоскости с вещественной частью $u(x, y)$ и мнимой частью $v(x, y)$, и предположим, что

Пусть $\left(W_{1}, W_{2}\right)$ — плоский винеровский процесс из Задачи (13.12.13) выше. Покажите, что пара $u\left(W_{1}, W_{2}\right)$, $v\left(W_{1}, W_{2}\right)$ также является плоским винеровским процессом.

Пусть $M(t) = \max_{0 \leq s \leq t} W(s)$, где $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что $M(t)-W(t)$ имеет то же распределение, что и $M(t)$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, $u \in \mathbb {R}$, и пусть $Z = \left\{ t: W(t) = u\right\}$. Покажите, что $Z$ — нулевое множество (то есть имеет лебегову меру нуль) с вероятностью единица.

Пусть $M(t) = \max_{0 \leq s \leq t} W(s)$, где $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что $M(t)$ достигается ровно в одной точке $[0, t]$ с вероятностью единица.