Банк задач по математике

Задача 13.9.1

Пусть $X$ и $Y$ — независимые стандартные винеровские процессы. Покажите, что при $R_{t}^{2} = X_{t}^{2}+Y_{t}^{2}$ ,

Z_{t} = \int _{0}^{t} \frac{X_{s}}{R_{s}} d X_{s}+\int _{0}^{t} \frac{Y_{s}}{R_{s}} d Y_{s}

— винеровский процесс. [Указание: Используйте Теорему (13.8.11) и Пример (12.7.10).] Отсюда покажите, что процесс квадрата, $R^{2}$ , называемый квадратом процесса Бесселя, удовлетворяет

R_{t}^{2} = 2 \int _{0}^{t} R_{s} d W_{s}+2 t

Обобщите этот результат на $n$ измерений.

?

Задача 13.9.2

Запишите СДУ, полученное с помощью формулы Ито, для процесса $Y_{t} = W_{t}^{4}$ , и выведите, что $\mathbb {E}\left[W_{t}^{4}\right] = 3 t^{2}$ .

?

Задача 13.9.3

Покажите, что $Y_{t} = t W_{t}$ — процесс Ито, и запишите соответствующее СДУ.

?

Задача 13.9.4

Винеровский процесс на окружности. Пусть $Y_{t} = e^{i W_{t}}$ . Покажите, что $Y = X_{1}+i X_{2}$ — процесс на единичной окружности, удовлетворяющий

d X_{1} = -\frac{1}{2} X_{1} d t-X_{2} d W, \quad d X_{2} = -\frac{1}{2} X_{2} d t+X_{1} d W

?

Задача 13.9.5

(a)(b)(c)

Найдите СДУ, которым удовлетворяют следующие процессы:

?

(a)

$X_{t} = W_{t} /(1+t)$ ,

(b)

$X_{t} = \sin W_{t}$ ,

(c)

[Винеровский процесс на эллипсе] $X_{t} = a \cos W_{t}, Y_{t} = b \sin W_{t}$ , где $a b \neq 0$ .

Задача 13.9.6

Найдите случайную функцию $X(t)$ , удовлетворяющую

d X(t) = \left(\frac{1}{2} X+\sqrt{1+X^{2}}\right) d t+\sqrt{1+X^{2}} d W(t)

с $X(0) = 0$ .

?

Формула Ито