Экскурсии и броуновский мост

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс. Покажите, что условная функция плотности $W(t)$ при условии, что $W(u) > 0$ при $0 < u < t$, равна $g(x) = (x / t) e^{-x^{2} /(2 t)}, x > 0$.

Покажите, что автоковариационная функция броуновского моста равна $c(s, t) = \min \left\{ s, t\right\} -s t, 0 \leq s, t \leq 1$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и пусть $\widehat{W}(t) = W(t)-t W(1)$. Покажите, что $\left\{ \widehat{W}(t): 0 \leq t \leq 1\right\}$ — броуновский мост.

Если $W$ — винеровский процесс с $W(0) = 0$, покажите, что $\widetilde{W}(t) = (1-t) W(t /(1-t))$ при $0 \leq t < 1$, $\widetilde{W}(1) = 0$, определяет броуновский мост.

Выведите, с помощью Следствия (13.4.14), что вероятность того, что броуновский мост когда-либо поднимется выше уровня $m > 0$, равна $e^{-2 m^{2}}$.

Пусть $0 < s < t < 1$. Покажите, что вероятность того, что броуновский мост не имеет нулей на интервале $(s, t)$, равна $(2 / \pi ) \cos^{-1} \sqrt{(t-s) /[t(1-s)]}$.