Барьеры

Пусть $D$ — стандартный винеровский процесс со сносом $m$, начинающийся с $D(0) = d > 0$, и предположим, что в начале координат имеется отражающий барьер. Покажите, что функция плотности $f^{\mathrm{r}}(t, y)$ процесса $D(t)$ удовлетворяет $f^{\mathrm{r}}(t, y) \rightarrow 0$ при $t \rightarrow \infty$, если $m \geq 0$, тогда как $f^{\mathrm{r}}(t, y) \rightarrow 2\left|m\right| e^{-2\left|m\right| y}$ при $y > 0$, при $t \rightarrow \infty$, если $m < 0$.

Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, начатый в $W(0) = x \in (0, a)$, с поглощающими барьерами в 0 и $a$. Пусть $C$ — процесс $W$ при условии, что $W$ поглощается в $a$. Покажите, что мгновенные среднее и дисперсия $C$, когда $C(t) = c \in (0, a)$, равны $1 / c$ и $1$ соответственно.

Пусть $T$ — момент первого достижения точки $a$ процессом $C$. Покажите, что $\mathbb {E}_{x}\left[T\right] = \frac{1}{3}\left(a^{2}-x^{2}\right)$ при $x \in (0, a)$.