13.8

Интеграл Ито

[6/100%]
Показать
LaTeX
Задача 13.8.1
?
(a)

Убедитесь непосредственно, что ∫0tsdWs=tWt−∫0tWsds\int_{0}^{t} s d W_{s} = t W_{t}-\int_{0}^{t} W_{s} d s.

(b)

Убедитесь непосредственно, что ∫0tWs2dWs=13Wt3−∫0tWsds\int_{0}^{t} W_{s}^{2} d W_{s} = \frac{1}{3} W_{t}^{3}-\int_{0}^{t} W_{s} d s.

(c)

Покажите, что E[[∫0tWsdWs]2]=∫0tE[Ws2]ds\mathbb {E}\left[\left[\int_{0}^{t} W_{s} d W_{s}\right]^{2}\right] = \int_{0}^{t} \mathbb {E}\left[W_{s}^{2}\right] d s.

Задача 13.8.2

Пусть Xt=∫0tWsdsX_{t} = \int_{0}^{t} W_{s} d s. Покажите, что XX — гауссовский процесс, и найдите его автоковариационную и автокорреляционную функции.

?
Задача 13.8.3

Пусть (Ω,F,P)(\Omega , \mathcal{F}, \mathbb {P}) — вероятностное пространство, и предположим, что Xn→ с.к. XX_{n} \xrightarrow {\text{ с.к. }} X при n→∞n \rightarrow \infty. Если G⊆F\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}, покажите, что E[Xn∣g]→ с.к. E[X∣g]\mathbb {E}\left[X_{n} \mid g\right] \xrightarrow {\text{ с.к. }} \mathbb {E}\left[X \mid g\right].

?
Задача 13.8.4

Пусть ψ1\psi_{1} и ψ2\psi_{2} — предсказуемые ступенчатые функции, и покажите, что

E[I(ψ1)I(ψ2)]=E[∫0∞ψ1(t)ψ2(t)dt] \mathbb {E}\left[I\left(\psi _{1}\right) I\left(\psi _{2}\right)\right] = \mathbb {E}\left[\int _{0}^{\infty } \psi _{1}(t) \psi _{2}(t) d t\right]

всякий раз, когда обе стороны существуют.

?
Задача 13.8.5

Предполагая, что гауссовский белый шум Gt=dWt/dtG_{t} = d W_{t} / d t существует в достаточном числе смыслов, чтобы фигурировать в качестве подынтегрального выражения, покажите, интегрируя стохастическое дифференциальное уравнение dXt=−βXtdt+dWtd X_{t} = -\beta X_{t} d t+d W_{t}, что

Xt=Wt−β∫0te−β(t−s)Wsds X_{t} = W_{t}-\beta \int _{0}^{t} e^{-\beta (t-s)} W_{s} d s

если X0=0X_{0} = 0.

?
Задача 13.8.6

Пусть ψ\psi — согласованный процесс с ∥ψ∥<∞\left\| \psi \right\| < \infty. Покажите, что ∥I(ψ)∥2=∥ψ∥\left\| I(\psi )\right\|_{2} = \left\| \psi \right\|.

?