Процессы диффузии

Пусть $X = \left\{ X(t): t \geq 0\right\}$ — простой процесс рождения и гибели с параметрами $\lambda_{n} = n \lambda$ и $\mu_{n} = n \mu$. Предложите диффузионное приближение для $X$.

Пусть $D$ — диффузия с мгновенным средним и дисперсией $a(t, x)$ и $b(t, x)$, и пусть $M(t, \theta ) = \mathbb {E}\left[e^{\theta D(t)}\right]$ — производящая функция моментов $D(t)$. Используя прямое диффузионное уравнение, выведите уравнение Бартлетта:

где мы интерпретируем

если $g(t, x) = \sum_{n = 0}^{\infty } \gamma_{n}(t) x^{n}$.

Запишите уравнение Бартлетта для случая винеровского процесса $D$ со сносом $m$ и мгновенной дисперсией $1$, и решите его при граничном условии $D(0) = 0$.

Запишите уравнение Бартлетта для случая процесса Орнштейна-Уленбека $D$ с мгновенным средним $a(t, x) = -x$ и дисперсией $b(t, x) = 1$, и решите его при граничном условии $D(0) = 0$.

Пусть $W_{1}(t), W_{2}(t), W_{3}(t)$ — независимые винеровские процессы. Положительный процесс $R = R(t)$, такой что $R^{2} = W_{1}^{2}+W_{2}^{2}+W_{3}^{2}$, называется трёхмерным процессом Бесселя. Покажите, что $R$ — марковский процесс. Верен ли этот результат для произвольного числа $n$ измерений?

Покажите, что плотность перехода процесса Бесселя, определённого в Упражнении (13.3.5), равна

Если $W$ — винеровский процесс, а функция $g: \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ непрерывна и строго монотонна, покажите, что $g(W)$ — непрерывный марковский процесс.

Пусть $W$ — винеровский процесс. Какие из следующих выражений определяют мартингалы?

Экспоненциальный мартингал, геометрическое броуновское движение. Пусть $W$ — стандартный винеровский процесс, и определим $S(t) = e^{a t+b W(t)}$. Покажите, что:

Найдите плотность перехода для марковского процесса из Упражнения (13.3.9a).

Убедитесь, что плотность перехода (13.3.4) стандартного винеровского процесса удовлетворяет уравнениям Чепмена-Колмогорова в непрерывном времени.